2021-2022學(xué)年遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．半徑為2cm，圓心角為1rad的扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式進行計算即可.【詳解】扇形的弧長，則扇形的面積.故選：D.2．化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系求解.【詳解】解：，，，，故選：C3．下列函數(shù)中，以為最小正周期的偶函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義和周期函數(shù)定義逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，，定義域關(guān)于原點對稱，，為偶函數(shù)，又，所以周期為，故正確；對于B，，定義域關(guān)于原點對稱，，為偶函數(shù)，但，不是周期函數(shù)，故錯誤；對于C，，定義域關(guān)于原點對稱，，為奇函數(shù)，故錯誤；對于D，，定義域關(guān)于原點對稱，，為偶函數(shù)，又周期為，故錯誤；故選：A.4．在中，，，點M在邊AB上，且滿足，則（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】以和為基底，利用所給的條件將表示出來，根據(jù)數(shù)量積的運算規(guī)則即可.【詳解】如圖：，，，；故選：C.5．已知角終邊上一點P的坐標(biāo)為，則角的一個可能值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定的象限后．再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出角的表達式判斷，【詳解】，，因此是第四象限角，，因此，所以，只有B符合．故選：B．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則圖中m的值為（

）A．1 B．或2 C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，求出，再利用正弦函數(shù)的對稱性可求得結(jié)果【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，由，得，所以的對稱軸方程為，所以由圖象可得，得，故選：D7．已知函數(shù)，若對恒成立，且，則的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對恒成立，得是函數(shù)最值點，可求得的表達式，首先排除兩個選項，然后進行驗證選項A是否滿足【詳解】因為對恒成立，所以，，，排除BD，若，即，，不符合題意，排除A．只有選項C中符合．故選：C．8．在銳角中，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得；再結(jié)合正弦定理將中的角化邊，化簡整理后可求得；根據(jù)銳角和，可推出，，再根據(jù)正弦定理可得，最后結(jié)合正弦的兩角差公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解．【詳解】由，得，，，．由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又銳角，且，，，解得，，，，，，，，，的取值范圍為．故選：A．二、多選題9．已知中，，若三角形有兩解，則x不可能的取值是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有兩解，則，結(jié)合正弦定理即可求解【詳解】解：因為中，，且三角形有兩解，所以，由正弦定理得，所以，解得，因為，所以，所以，故選：ACD10．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用三角恒等變換公式化簡計算可得；【詳解】解：對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，所以，所以，故C正確；對于D：，故D錯誤；故選：AC11．已知函數(shù)（a為常數(shù)，）的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)，則下面說法正確的是（

）A．將的圖像向左平移個單位可以得到的圖像B．的圖像關(guān)于點對稱C．在上單調(diào)遞減D．的最大值為1【答案】ABC【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)，為的最大值，由此求得值，然后由兩角和的正弦公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與最值判斷各選項．【詳解】由題意，，，，將的圖像向左平移個單位所得圖像的解析式為，A正確；，B正確；時，，此時是減函數(shù)，C正確；的最大值為，D錯誤．故選：ABC．12．下列說法正確的是（

）A．已知，，若與的夾角為鈍角，則．B．在中，若，則為等邊三角形．C．在中，若，則為等腰三角形．D．已知的外接圓的圓心為O，，，M為BC上一點，且有，則．【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的坐標(biāo)表示一一計算可得；【詳解】解：對于A：若與的夾角為鈍角，則，解得，又，即時，與共線反向，故，綜上可得且，故A錯誤；對于B：若，即，即，所以，即，同理可得，即，所以為等邊三角形，故B正確；對于C：是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，所以在的角平分線上，又，所以，即的角平分線與對邊垂直，所以為等腰三角形，故C正確；對于D：因為，所以，所以，同理可得，所以，故D正確；故選：BCD三、填空題13．______．【答案】【分析】首先由誘導(dǎo)公式求出，再利用二倍角公式計算可得；【詳解】解：因為，又，所以，所以，因為，所以；故答案為：14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為______．【答案】【分析】先求出函數(shù)增區(qū)間的通式，再根據(jù)包含關(guān)系求解即可【詳解】對應(yīng)的增區(qū)間應(yīng)滿足，解得，當(dāng)時，，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足，，解得，則的最大值是1故答案為：115．若，且，則______．【答案】【分析】由，利用二倍角公式和兩角差的正弦公式化簡得到，再利用平方關(guān)系求得求解.【詳解】解：因為，且，所以，化簡得，平方得，則，即，兩式聯(lián)立得，所以，故答案為：四、雙空題16．如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，則∠ACB＝________；現(xiàn)要在空地中修建一個三角形的綠化區(qū)域，其三個頂點為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點，若使，則BD＋BE最小值為________平方千米．【答案】

【分析】在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；設(shè)分別在，中，利用正弦定理分別求得BD，BE，再由；令轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】在中，由余弦定理得，則根據(jù)正弦定理有所以，；設(shè)則在中，由正弦定理得在中，由正弦定理得則；令則則易知分母且是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，則是一個單調(diào)遞減的函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，．故答案為：；.五、解答題17．已知向量，滿足，，．(1)求向量與向量的夾角．(2)求向量在向量方向上的投影的數(shù)量．【答案】(1)；(2).【分析】（1）對兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求解即可；（2）根據(jù)投影公式求解即可【詳解】(1)因為，所以，所以，，解得，又，故向量與向量的夾角為．(2)．18．已知向量，．(1)若，求的值；(2)令，把函數(shù)的圖像上每一點的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖像沿x軸向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值，有最小值．【分析】（1）由，求出，利用二倍角公式，再進行弦化切代入即可求得；（2）先求出，利用整體代換，求出的最大值和最小值．【詳解】(1)因為，所以，所以，所以．(2)由題可得則當(dāng)時，，當(dāng)時有最大值，當(dāng)時有最小值．19．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足______．(1)求角C的大小；(2)若點D為邊BC上的一點，且AD=3，，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】(1)分別選擇條件①和②，運用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作圖，先求，再求，運用面積公式即可.【詳解】(1)選①，因為，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理，因為，所以；選②，因為，所以，所以，，因為，所以，所以，因為，所以；(2)由第一問可知，作圖如下：在中，由余弦定理，所以，，在中，由正弦定理，即，解得，，，；綜上，，三角形ADC的面積為.20．已知角，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，得到，，再根據(jù)得到，然后由求解.（2）（方法一），由第一問得到，由求解.（方法二），由，得到，再由求解．【詳解】(1)解：因為，，所以，且，，又因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以．所以，，，；(2)（方法一），由第一問知，，所以，所以；（方法二），由，得，由第一問知，，則，所以．21．扇形的圓心角為，所在圓半徑OA為2，它按如圖（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．圖（Ⅰ）矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上，頂點E在圓弧AB上，頂點F在半徑OA上，設(shè)；圖（Ⅱ）點M是圓弧的中點，矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對稱，頂點C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；設(shè)圖（Ⅰ）下矩形CDEF面積的最大值為，圖（Ⅱ）下矩形CDEF面積的最大值為，求出與，并比較與的大小．【答案】，，【分析】圖（Ⅰ）用表示出求出面積，然后利用二倍角公式、兩角和與差的正弦公式變形求得最大值，圖（Ⅱ）中用表示出矩形的邊長，求出面積，同樣利用三角函數(shù)的恒等變換求得最大值．比較后可得．【詳解】圖（Ⅰ），在直角中，設(shè)，則，又由，所以．當(dāng)，即時，矩形CDEF的面積最大，最大值為，即．圖（Ⅱ），令ED與OM的交點為N，F(xiàn)C與OM的交點為P，設(shè)，，則，，又由，所以，當(dāng)時，即時，矩形CDEF的面積最大，最大值為，即．因為，所以．22．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，B，C分別為最高點與最低點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在，上有且僅有三個不同的零點，，，（），求實數(shù)m的取