微專題二彈簧模型

微專題二彈簧模型角度1平衡中的彈簧模型【例1】(多選)(2022·湖南教研聯(lián)盟二次聯(lián)考)如圖1所示，在粗糙的水平面上，有四個(gè)完全相同的物塊，放在一等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)上，用四根完全相同的彈簧將它們連接起來，且da之間、ab之間、bc之間的彈簧長度相等，是cd之間的彈簧長度的一半。系統(tǒng)靜止在水平地面上，已知da之間彈簧彈力的大小是cd之間彈簧彈力大小的一半，a受到的摩擦力大小為Ff，則()圖1A.cd之間的彈簧一定是拉伸的B.b受到的合力指向∠abc的角平分線方向C.d受到的摩擦力大小為eq\r(3)FfD.c受到的摩擦力大小為eq\r(2)Ff答案AC解析依題意，可得Fcd＝kΔxcd＝2Fab＝2kΔxab，則Δxcd＝2Δxab，又因?yàn)閤cd＝2xab，所以彈簧ad處于壓縮狀態(tài)，彈簧cd處于拉伸狀態(tài)，故A正確；b物體靜止，合力為0，故B錯(cuò)誤；對a進(jìn)行受力分析，由如圖甲可得ad、ab之間的彈簧彈力大小等于Ff，對c進(jìn)行受力分析，由圖乙可得Ffc＝eq\r(3)Ff根據(jù)對稱性，可知d受到的摩擦力大小也為eq\r(3)Ff，故D錯(cuò)誤，C正確。角度2動力學(xué)中的彈簧模型【例2】(多選)(2022·黑龍江哈爾濱模擬)如圖2甲所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定，下端連接一質(zhì)量為1kg的物體，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。用一豎直向上的外力F作用于物體上，物體從靜止開始豎直向上做一段勻加速直線運(yùn)動，外力F與物體離開靜止位置的位移x的關(guān)系如圖乙所示，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g＝10m/s2。下列說法正確的是()圖2A.物體運(yùn)動的加速度大小為2m/s2B.彈簧開始時(shí)形變量為2cmC.彈簧的勁度系數(shù)為250N/mD.從物體開始運(yùn)動時(shí)計(jì)時(shí)，當(dāng)t＝0.1s時(shí)彈簧的形變量為1cm答案AC解析物體從靜止開始運(yùn)動時(shí)重力與彈簧彈力平衡，從圖上讀出外力F＝2N，則開始運(yùn)動時(shí)合力為F合＝2N，根據(jù)牛頓第二定律F合＝ma，解得物體運(yùn)動的加速度為a＝2m/s2，A正確；當(dāng)F＝12N時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律F－mg＋F1＝ma，解得彈簧彈力F1＝0，從圖上讀出此時(shí)的位移為4cm，則彈簧開始時(shí)形變量為x0＝4cm，B錯(cuò)誤；開始時(shí)彈簧彈力F0＝mg＝10N，根據(jù)胡克定律F0＝kx0，解得彈簧的勁度系數(shù)為k＝250N/m，C正確；物體做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動，當(dāng)t＝0.1s時(shí)位移為x＝eq\f(1,2)at2＝0.01m，則此時(shí)彈簧的形變量為x1＝x0－x＝3cm，D錯(cuò)誤。角度3功能關(guān)系中的彈簧模型【例3】(2022·河北衡水3月聯(lián)考)如圖3所示，半徑R＝0.42m的光滑圓環(huán)沿豎直方向固定放置，O為圓心，A為圓環(huán)最高點(diǎn)。輕彈簧勁度系數(shù)k＝200N/m，一端固定在A點(diǎn)，另一端與穿在圓環(huán)上的小球連接。彈簧原長時(shí)，小球位于B點(diǎn)，彈簧與豎直直徑成53°角。靜止釋放小球，當(dāng)小球運(yùn)動至C點(diǎn)時(shí)，其速度達(dá)到最大，速度值為v＝1.2m/s，此時(shí)彈簧與豎直直徑成37°角。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，計(jì)算結(jié)果均保留一位小數(shù)，下列說法正確的是()圖3A.小球的質(zhì)量為1.5kgB.小球由B至C，其重力勢能減少了4.9JC.小球由B至C，其機(jī)械能減少了6.8JD.小球由B至C，其機(jī)械能減少了1.5J答案B解析由題意可知小球運(yùn)動至C點(diǎn)時(shí)所受合外力為零，如圖所示，根據(jù)胡克定律可知此時(shí)彈簧彈力大小為T＝k·2R(cos37°－cos53°)＝33.6N，根據(jù)力的矢量三角形與幾何三角形相似可知eq\f(T,2Rcos37°)＝eq\f(mg,R)，解得小球的質(zhì)量為m＝2.1kg，故A錯(cuò)誤；小球由B至C，其重力勢能的減少量為ΔEp＝mgh＝mg(2Rcos237°－2Rcos253°)＝4.9392J≈4.9J，故B正確；小球由B至C，設(shè)除重力之外的力對小球做功的代數(shù)和為W，根據(jù)動能定理有eq\f(1,2)mv2＝ΔEp＋W，解得W≈－3.4J，根據(jù)功能關(guān)系可知小球機(jī)械能減少了3.4J，故C、D錯(cuò)誤。角度4動量關(guān)系中的彈簧模型在處理與輕彈簧相關(guān)的動量守恒問題中，物體與彈簧相互作用時(shí)，彈簧彈力一般是變力，若將彈簧及其兩端的物體作為系統(tǒng)，彈簧彈力是內(nèi)力，系統(tǒng)動量守恒時(shí)不討論彈簧彈力的變化，處理此類問題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：(1)與彈簧兩端相連的兩個(gè)物體速度相等時(shí)，彈簧的長度最長或最短，此時(shí)彈簧中儲存的彈性勢能最大。(2)對于碰撞問題，由于碰撞時(shí)間極短，碰撞過程中物體的位移忽略不計(jì)，彈簧的長度來不及變化，彈性勢能不變。(3)由于彈簧一般會發(fā)生彈性形變，涉及彈性勢能的變化問題時(shí)，還要運(yùn)用能量守恒定律解題。【例4】(2022·湖北省重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考)如圖4所示，帶有擋板的小車質(zhì)量為m，上表面光滑，靜止于光滑水平面上。輕質(zhì)彈簧左端固定在小車上，右端處于自由伸長狀態(tài)。質(zhì)量也為m的小球，以速度v從右側(cè)滑上小車，在小球剛接觸彈簧至與彈簧分離的過程中，以下判斷正確的是()圖4A.彈簧的最大彈性勢能為eq\f(1,2)mv2B.彈簧的最大彈性勢能為eq\f(1,4)mv2C.彈簧對小車做的功為eq\f(1,4)mv2D.彈簧對小球做功為eq\f(1,2)mv2答案B解析當(dāng)小球和小車的速度相同時(shí)彈簧的彈性勢能最大，取向左為正方向，由系統(tǒng)動量守恒和機(jī)械能守恒分別有mv＝2mv′，eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)·2mv′2＋Ep，聯(lián)立得到彈簧最大的彈性勢能為Ep＝eq\f(1,4)mv2，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)小球與彈簧分離時(shí)，小車和小球的速度分別為v1和v2，由系統(tǒng)動量守恒和機(jī)械能守恒分別得到mv＝mv1＋mv2，eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，解得v1＝v，v2＝0，對小車，由動能定理得彈簧對小車做的功W1＝eq\f(1,2)mve