（精校版）2018年江蘇數(shù)學(xué)高考試題文檔版（含答案）

絕密★啟用前2019年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ留意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀本留意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共4頁(yè)，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一片交回。2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3．請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符。學(xué)科@網(wǎng)4．作答試題，必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清晰，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。參考公式：錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，那么▲．2．若復(fù)數(shù)滿意，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為▲．3．已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為▲．4．一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最終輸出的S的值為▲．5．函數(shù)的定義域?yàn)椤?．某愛好小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參與活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值是▲．8．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是▲．9．函數(shù)滿意，且在區(qū)間上，則的值為10．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為▲．11．若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為▲．12．在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為▲．13．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為▲．14．已知集合，．將的全部元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的n的最小值為▲．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在平行六面體中，．求證：（1）平面；（2）平面平面．16．（本小題滿分14分）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．17．（本小題滿分14分）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形態(tài)為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形態(tài)為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．18．（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．19．（本小題滿分16分）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿意且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；（3）已知函數(shù)，．對(duì)隨意，推斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．20．（本小題滿分16分）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．（1）設(shè)，若對(duì)均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對(duì)均成立，并求的取值范圍（用表示）．學(xué)@科網(wǎng)數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本運(yùn)算和基本思想方法．每小題5分，共計(jì)70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞） 6． 7． 8．29． 10． 11．–3 12．313．9 14．27二、解答題15．本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象實(shí)力和推理論證實(shí)力．滿分14分．證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B．又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因?yàn)锳1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和（差）及二倍角的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．滿分14分．解：（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，因此，．?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)?，所以，因此．因?yàn)?，所以，因此，?7．本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力．滿分14分．解：（1）連結(jié)PO并延長(zhǎng)交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10．過(guò)O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過(guò)N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當(dāng)θ∈[θ0，）時(shí)，才能作出滿意條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．（2）因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當(dāng)θ∈（θ0，）時(shí)，，所以f（θ）為增函數(shù)；當(dāng)θ∈（，）時(shí)，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當(dāng)θ=時(shí)，f（θ）取到最大值．答：當(dāng)θ=時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．18．本小題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等學(xué)問(wèn)，考查分析問(wèn)題實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力．滿分16分．解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為．因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為．（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即．由消去y，得因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以．因?yàn)椋裕虼?，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而．設(shè)，由（*）得，所以因?yàn)?，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為．綜上，直線l的方程為．19．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討初等函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理實(shí)力．滿分16分．解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程組無(wú)解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點(diǎn)．（2）函數(shù)，，則．設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得，即，（*）得，即，則．當(dāng)時(shí)，滿意方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)．因此，a的值為．（3）對(duì)隨意a>0，設(shè)．因?yàn)?，且h（x）的圖象是不間斷的，所以存在∈（0，1），使得．令，則b>0．函數(shù)，則．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，即，（**）此時(shí)，滿意方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”．因此，對(duì)隨意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”．20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)探究與解決問(wèn)題的實(shí)力．滿分16分．解：（1）由條件知：．因?yàn)閷?duì)n=1，2，3，4均成立，即對(duì)n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范圍為．（2）由條件知：．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即當(dāng)時(shí)，d滿意．因?yàn)?，則，從而，，對(duì)均成立．因此，取d=0時(shí)，對(duì)均成立．下面探討數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，從而．因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為．②設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，，所以單調(diào)遞減，從而<f（0）=1．當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為．因此，d的取值范圍為．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．A．[選修4—1：幾何證明選講](本小題滿分10分)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C．若，求BC的長(zhǎng)．B．[選修4—2：矩陣與變換](本小題滿分10分)已知矩陣．（1）求的逆矩陣；（2）若點(diǎn)P在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．C．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．D．[選修4—5：不等式選講](本小題滿分10分)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．學(xué)@科網(wǎng)22．（本小題滿分10分）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小題滿分10分)設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，假如當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的全部逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的全部排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案21．【選做題】A．[選修4—1：幾何證明選講]本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查推理論證實(shí)力．滿分10分．證明：連結(jié)OC．因?yàn)镻C與圓O相切，所以O(shè)C⊥PC．又因?yàn)镻C=，OC=2，所以O(shè)P==4．又因?yàn)镺B=2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點(diǎn)，所以BC=2．B．[選修4—2：矩陣與變換]本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．滿分10分．解：（1）因?yàn)?，，所以A可逆，從而．（2）設(shè)P(x，y)，則，所以，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，–1)．C．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．滿分10分．解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，則直線l過(guò)A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠OAB=．連結(jié)OB，因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA=，所以．因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為．D．[選修4—5：不等式選講]本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查推理論證實(shí)力．滿分10分．證明：由柯西不等式，得．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)，所以的最小值為4．22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的實(shí)力．滿分10分．解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz．因?yàn)锳B=AA1=2，所以．（1）因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以，從而，故．因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．（2）因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以，因此，．設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．23．【必做題】本小題