2014年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2014年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．2．（4分）如果拋物線y＝mx2+（m﹣3）x﹣m+2經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．33．（4分）如圖，已知平行四邊形ABCD中，向量在，方向上的分量分別是（）A． B． C．、 D．、4．（4分）拋物線y＝﹣（x﹣2）2+1經(jīng)過平移后與拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（）A．向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位 B．向左平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位 C．向右平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位 D．向右平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位5．（4分）在△ABC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下列條件能夠判定DE∥BC的是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，已知AB、CD分別表示兩幢相距30米的大樓，小明在大樓底部點(diǎn)B處觀察，當(dāng)仰角增大到30度時(shí)，恰好能通過大樓CD的玻璃幕墻看到大樓AB的頂部點(diǎn)A的像，那么大樓AB的高度為（）A． B．20米 C．30 D．60米二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）函數(shù)y＝（x+5）（2﹣x）圖象的開口方向是．8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝．9．（4分）已知線段a＝3cm，b＝4cm，那么線段a、b的比例中項(xiàng)等于cm．10．（4分）如果兩個(gè)相似三角形周長的比是2：3，那么它們面積的比是．11．（4分）如圖，在△ABC與△ADE中，，要使△ABC于△ADE相似，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件是．12．（4分）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝．13．（4分）已知向量與單位向量方向相反，且，那么＝（用向量的式子表示）14．（4分）如果在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），射線OP與x的正半軸所夾的角為α，那么α的余弦值等于．15．（4分）已知一條斜坡的長度為10米，高為6米，那么坡角的度數(shù)約為（備用數(shù)據(jù)：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）16．（4分）如果二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣4圖象的對(duì)稱軸為x＝3，那么k＝．17．（4分）如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為米．18．（4分）如果將一個(gè)三角形繞著它一個(gè)角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后使這個(gè)角的一邊與另一邊重疊，再將旋轉(zhuǎn)后的三角形相似縮放，使重疊的兩邊互相重合，我們稱這樣的圖形為三角形轉(zhuǎn)似，這個(gè)角的頂點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)似中心，所得的三角形稱為原三角形的轉(zhuǎn)似三角形．如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝5，△A1B1C是△ABC以點(diǎn)C為轉(zhuǎn)似中心的其中一個(gè)轉(zhuǎn)似三角形，那么以點(diǎn)C為轉(zhuǎn)似中心的另一個(gè)轉(zhuǎn)似三角形△A2B2C（點(diǎn)A2，B2分別與A、B對(duì)應(yīng)）的邊A2B2的長為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）如圖，已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在x軸上，原點(diǎn)O為邊BC的中點(diǎn)，BC＝4，AO＝AB，tan∠AOB＝3，求圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式．20．（10分）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，，如果，．（1）求（用向量的式子表示）（2）求作向量（不要求寫作法，但要指出所作圖表中表示結(jié)論的向量）21．（10分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EF∥BD，AE、AF分別交BD與點(diǎn)G和點(diǎn)H，BD＝12，EF＝8．求：（1）的值；（2）線段GH的長．22．（10分）如圖，已知某船向正東方向航行，在點(diǎn)A處測得某島C在其北偏東60°方向上，前進(jìn)8海里處到達(dá)點(diǎn)B處，測得島C在其北偏東30°方向上．已知島C周圍6海里內(nèi)有一暗礁，問：如果該船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明你的理由．23．（12分）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點(diǎn)G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：．24．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（0，6）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移5個(gè)單位后的頂點(diǎn)設(shè)為C，直線BC與x軸相交于點(diǎn)D，求∠ABD的正弦值；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)OC，試探究直線AB與OC的位置關(guān)系，并說明理由．25．（14分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝，點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD，作DE⊥CD，交射線CB于點(diǎn)E，設(shè)AD＝x．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段DE的長；（2）當(dāng)△BED是等腰三角形時(shí)，求x的值；（3）如果y＝，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．

2014年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解答】解：cot∠A＝，∴AC＝BC?cotA＝a?cotA，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力．2．（4分）如果拋物線y＝mx2+（m﹣3）x﹣m+2經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】把原點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，計(jì)算即可求出m的值．【解答】解：∵拋物線y＝mx2+（m﹣3）x﹣m+2經(jīng)過原點(diǎn)，∴﹣m+2＝0，解得m＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較簡單，理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．（4分）如圖，已知平行四邊形ABCD中，向量在，方向上的分量分別是（）A． B． C．、 D．、【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形法則求解即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴向量在，方向上的分量分別是：﹣，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度適中，注意掌握平行四邊形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（4分）拋物線y＝﹣（x﹣2）2+1經(jīng)過平移后與拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（）A．向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位 B．向左平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位 C．向右平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位 D．向右平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】根據(jù)平移前后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定平移方法即可得解．【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），∴頂點(diǎn)由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點(diǎn)的變化確定拋物線解析式更簡便．5．（4分）在△ABC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下列條件能夠判定DE∥BC的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC即可推出∠ADE＝∠B，根據(jù)平行線的判定推出即可．【解答】解：∵AD＝1，BD＝2，∴＝，只有當(dāng)＝時(shí)，DE∥BC，理由是：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE≌△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，而其它選項(xiàng)都不能推出△ADE∽△ABC，即不能推出∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C，即不能推出DE∥BC，即選項(xiàng)A、B、C都錯(cuò)誤，只有選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．6．（4分）如圖，已知AB、CD分別表示兩幢相距30米的大樓，小明在大樓底部點(diǎn)B處觀察，當(dāng)仰角增大到30度時(shí)，恰好能通過大樓CD的玻璃幕墻看到大樓AB的頂部點(diǎn)A的像，那么大樓AB的高度為（）A． B．20米 C．30 D．60米【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】根據(jù)仰角為30°，BD＝30米，在Rt△BDE中，可求得ED的長度，根據(jù)題意恰好能通過大樓CD的玻璃幕墻看到大樓AB的頂部點(diǎn)A的像，可得AB＝2ED．【解答】解：在Rt△BDE中，∵∠EBD＝30°，BD＝30米，∴＝tan30°，解得：ED＝10（米），∵當(dāng)仰角增大到30度時(shí)，恰好能通過大樓CD的玻璃幕墻看到大樓AB的頂部點(diǎn)A的像，∴AB＝2DE＝20（米）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）函數(shù)y＝（x+5）（2﹣x）圖象的開口方向是向下．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】首先將二次函數(shù)化為一般形式，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定開口方向．【解答】解：y＝（x+5）（2﹣x）＝﹣x2+3x+10，∵a＝﹣1＜0，∴開口向下，故答案為：向下．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的化為一般形式．8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝6．【考點(diǎn)】KW：等腰直角三角形．【分析】由題意可知，此三角形是等腰直角三角形，已知斜邊的長，求直角邊，可以根據(jù)勾股定理求得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴Rt△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，設(shè)BC＝x，根據(jù)勾股定理可得x2+x2＝122解得，x＝6．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰直角三角形的判定．在等腰直角三角形中，已知任何一邊，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理都可以求出另外兩邊．9．（4分）已知線段a＝3cm，b＝4cm，那么線段a、b的比例中項(xiàng)等于2cm．【考點(diǎn)】S2：比例線段．【分析】根據(jù)線段的比例中項(xiàng)的定義列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵線段a＝3cm，b＝4cm，∴線段a、b的比例中項(xiàng)＝＝2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟記線段比例中項(xiàng)的求解方法是解題的關(guān)鍵，要注意線段的比例中項(xiàng)是正數(shù)．10．（4分）如果兩個(gè)相似三角形周長的比是2：3，那么它們面積的比是4：9．【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì)．【分析】相似三角形的周長比等于相似比，而面積比等于相似比的平方，由此得解．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形周長的比是2：3，∴它們的相似比是2：3；∴它們的面積比為4：9．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查的是相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．11．（4分）如圖，在△ABC與△ADE中，，要使△ABC于△ADE相似，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件是∠B＝∠E．【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定．【專題】26：開放型．【分析】根據(jù)兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得添加條件：∠B＝∠E．【解答】解：添加條件：∠B＝∠E；∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△AED，故答案為：∠B＝∠E．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．12．（4分）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝2．【考點(diǎn)】K5：三角形的重心．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接AG并延長交BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可得出AD⊥BC，再根據(jù)勾股定理求出AD的長，由三角形重心的性質(zhì)即可得出AG的長．【解答】解：如圖所示：連接AG并延長交BC于點(diǎn)D，∵G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，∴AD⊥BC，BD＝BC＝×8＝4，∴AD＝＝＝3，∴AG＝AD＝×3＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心，熟知重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解答此題的關(guān)鍵．13．（4分）已知向量與單位向量方向相反，且，那么＝（用向量的式子表示）【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】由向量與單位向量方向相反，且，根據(jù)單位向量與相反向量的知識(shí)，即可求得答案．【解答】解：∵向量與單位向量方向相反，且，∴＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握單位向量與相反向量的定義．14．（4分）如果在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），射線OP與x的正半軸所夾的角為α，那么α的余弦值等于．【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出OP，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解答】解：過P作PA⊥x軸于A，∵P（3，4），∴PA＝4，OA＝3，由勾股定理得：OP＝5，∴α的余弦值是＝，過答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．15．（4分）已知一條斜坡的長度為10米，高為6米，那么坡角的度數(shù)約為37°（備用數(shù)據(jù)：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【分析】做出圖形，設(shè)坡角為α，根據(jù)＝sinα，可求得α的度數(shù)．【解答】解：由題意得，＝sinα，即sinα＝0.6，則α＝37°．故答案為：37°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解直角三角形．16．（4分）如果二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣4圖象的對(duì)稱軸為x＝3，那么k＝﹣3．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】直接利用對(duì)稱軸公式求解即可．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣4圖象的對(duì)稱軸為x＝3，∴對(duì)稱軸為：x＝﹣＝3，解得：k＝﹣3，故答案為：﹣3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解和掌握，知對(duì)稱軸．17．（4分）如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為2米．【考點(diǎn)】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】直接利用公式法求出函數(shù)的最值即可得出最高點(diǎn)離地面的距離．【解答】解：∵函數(shù)解析式為：，∴y最值＝＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確記憶最值公式是解題關(guān)鍵．18．（4分）如果將一個(gè)三角形繞著它一個(gè)角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后使這個(gè)角的一邊與另一邊重疊，再將旋轉(zhuǎn)后的三角形相似縮放，使重疊的兩邊互相重合，我們稱這樣的圖形為三角形轉(zhuǎn)似，這個(gè)角的頂點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)似中心，所得的三角形稱為原三角形的轉(zhuǎn)似三角形．如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝5，△A1B1C是△ABC以點(diǎn)C為轉(zhuǎn)似中心的其中一個(gè)轉(zhuǎn)似三角形，那么以點(diǎn)C為轉(zhuǎn)似中心的另一個(gè)轉(zhuǎn)似三角形△A2B2C（點(diǎn)A2，B2分別與A、B對(duì)應(yīng)）的邊A2B2的長為．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】23：新定義．【分析】先根據(jù)條件證明△ABC∽△A2B2C就可以求出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC∽△A2B2C，∴，∴，∴A2B2＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似，運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解是關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）如圖，已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在x軸上，原點(diǎn)O為邊BC的中點(diǎn)，BC＝4，AO＝AB，tan∠AOB＝3，求圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式．【考點(diǎn)】H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；T7：解直角三角形．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），作AH⊥OB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OH＝BH＝1，再利用三角形函數(shù)得到tan∠AOB＝＝3，則AH＝3，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），設(shè)拋物線的交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+2）（x﹣2），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可．【解答】解：∵原點(diǎn)O為邊BC的中點(diǎn)，BC＝4，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），作AH⊥OB于H，如圖，∵AO＝AB，∴OH＝BH＝1，∵tan∠AOB＝＝3，∴AH＝3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣2），把A（﹣1，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2+4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式：要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．20．（10分）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，，如果，．（1）求（用向量的式子表示）（2）求作向量（不要求寫作法，但要指出所作圖表中表示結(jié)論的向量）【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】（1）由DE∥BC，，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可求得AE：AC＝2：5，又由，，利用三角形法則，即可求得，繼而求得答案；（2）取點(diǎn)AB的中點(diǎn)M，作＝，連接，則即為所求．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴＝，∵，，∴＝+＝+，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣﹣；（2）如圖，取點(diǎn)AB的中點(diǎn)M，作＝，連接，則即為所求．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度適中，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（10分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EF∥BD，AE、AF分別交BD與點(diǎn)G和點(diǎn)H，BD＝12，EF＝8．求：（1）的值；（2）線段GH的長．【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì)；S4：平行線分線段成比例．【分析】（1）根據(jù)EF∥BD，則＝，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出的值；（2）利用DF∥AB，則＝＝，進(jìn)而得出＝＝，求出GH即可．【解答】解：（1）∵EF∥BD，∴＝，∵BD＝12，EF＝8，∴＝，∴＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴＝；（2）∵DF∥AB，∴＝＝，∴＝，∵EF∥BD，∴＝＝，∴＝，∴GH＝6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線分線段成比例定理以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練根據(jù)平行線分線段成比例定理得出GH的長是解題關(guān)鍵．22．（10分）如圖，已知某船向正東方向航行，在點(diǎn)A處測得某島C在其北偏東60°方向上，前進(jìn)8海里處到達(dá)點(diǎn)B處，測得島C在其北偏東30°方向上．已知島C周圍6海里內(nèi)有一暗礁，問：如果該船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明你的理由．【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，求出C到航線的最近的距離CD的長，與6海里比較大小即可．【解答】解：作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴＝∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．∴＝∴CD＝4≈6.928＞6．∴船繼續(xù)向東航行無觸礁危險(xiǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．23．（12分）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點(diǎn)G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】14：證明題．【分析】（1）首先根據(jù)已知得出∠ACD＝∠CBD，以及∠ADC＝∠BCD＝90°，進(jìn)而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；（2）首先證明△ABG∽△DBA，進(jìn)而得出＝，再利用△ABG∽△DBA，得出＝，則AB2＝BG?BD，進(jìn)而得出答案．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB＝∠CBD+∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBD，∴△ACD∽△DBC，∴＝，即CD2＝BC×AD；（2）方法一：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴＝，∴＝，又∵△ABG∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BG?BD，∴＝＝＝，方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴＝（）2＝，而＝，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABG∽△DBA是解題關(guān)鍵．24．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（0，6）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移5個(gè)單位后的頂點(diǎn)設(shè)為C，直線BC與x軸相交于點(diǎn)D，求∠ABD的正弦值；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)OC，試探究直線AB與OC的位置關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【專題】16：壓軸題．【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算求出b、c的值，即可得解；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求出與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解；（3）方法一：求出＝，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理解答；方法二：過點(diǎn)C作CP⊥x軸于P，分別求出∠BAO和∠COP的正切值，根據(jù)正切值相等求出∠BAO＝∠COP，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答．【解答】解：（1）由題意得，，解得，所以，此二次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x2﹣4x+6；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，∴函數(shù)y＝2x2﹣4x+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，8），∴向右平移5個(gè)單位的后的頂點(diǎn)C（4，8），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線BC的解析式為y＝x+6，令y＝0，則x+6＝0，解得x＝﹣12，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣12，0），過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，OD＝12，BD＝＝＝6，AD＝﹣3﹣（﹣12）＝﹣3+12＝9，∵∠ADH＝∠BDO，∠AHD＝∠BOD＝90°，∴△ADH∽△BDO，∴＝，即＝，解得AH＝，∵AB＝＝＝3，∴sin∠ABD＝＝＝；（3）AB∥OC．理由如下：方法一：∵BD＝6，BC＝＝2，AD＝9，AO＝3，∴＝＝3，∴AB∥OC；方法二：過點(diǎn)C作CP⊥x軸于P，由題意得，CP＝8，PO＝4，AO＝3，BO＝6，∴tan∠COP＝＝＝2，tan∠BAO＝＝＝2，∴tan∠COP＝tan∠BAO，∴∠BAO＝∠COP，∴AB∥OC．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．25．（14分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝，點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD，作DE⊥CD，交射線CB于點(diǎn)E，設(shè)AD＝x．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段DE的長；（2）當(dāng)△BED是等腰三角形時(shí)，求x的值；