2022年浙江省杭州市常春藤A-Level國際高中高二數(shù)學(xué)文知識(shí)點(diǎn)試題含解析

2022年浙江省杭州市常春藤A-Level國際高中高二數(shù)學(xué)文知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（）A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形參考答案：B【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由已知得EF∥BD．由此能證明EF∥平面BCD．由已知條件推導(dǎo)出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．從而得到四邊形EFGH為梯形．【解答】解：如圖所示，在平面ABD內(nèi)，∵AE：EB=AF：FD=1：4，∴EF∥BD．又BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD內(nèi)，∵H，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四邊形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四邊形EFGH為梯形．故選：B．2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷方法以及零點(diǎn)的判斷方法對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．【解答】解：對(duì)于A，定義域?yàn)镽，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函數(shù)并且有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函數(shù)，由無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于C，定義域?yàn)椋?，+∞），所以是非奇非偶的函數(shù)，有一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于D，定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，都是沒有零點(diǎn)；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn)的判斷．①求函數(shù)的定義域；②如果定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)；如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f（﹣x）與f（x）的關(guān)系；相等是偶函數(shù)，相反是奇函數(shù)；函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)以及與對(duì)應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)是一致的．3.若直線x+2y+1=0與直線ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．1參考答案：A【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．【解答】解：由于直線x+2y+1=0的斜率存在，且直線x+2y+1=0與直線ax+y﹣2=0互相垂直，則×（﹣a）=﹣1，解得a=﹣2．故選：A．4.用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則）要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號(hào)．按編號(hào)順序平均分成20組（1～8號(hào)，9～16號(hào)，…，153～160號(hào)），若第16組應(yīng)抽出的號(hào)碼為125，則第一組中按此抽簽方法確定的號(hào)碼是（）A．7 B．5 C．4 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣法按等距離的規(guī)則，故可轉(zhuǎn)化成一個(gè)等差數(shù)列，公差為8，第16項(xiàng)為125的等差數(shù)列，求首項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)公式求出即可．【解答】解：由系統(tǒng)抽樣知按等距離的規(guī)則可看成公差為8，第16項(xiàng)為125的等差數(shù)列，求首項(xiàng)a16=a1+15×8=125∴a1=5第一組確定的號(hào)碼是5．故答案為：B5.已知函數(shù)的圖象如圖(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中,的圖象可能是B

A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知，則的值(

)A.都大于1 B.都小于1C.至多有一個(gè)不小于1 D.至少有一個(gè)不小于1參考答案：D【分析】先假設(shè)，這樣可以排除A，B.再令，排除C.用反證法證明選項(xiàng)D是正確的.【詳解】解:令，則，排除A，B.令，則，排除C.對(duì)于D，假設(shè)，則，相加得，矛盾，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的應(yīng)用，應(yīng)用特例排除法是解題的關(guān)鍵.7.連續(xù)拋兩枚骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)是a,b，則向量與向量垂直的概率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，(x－1)f′(x)<0(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)).設(shè)a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，則a，b，c三者的大小關(guān)系是A.a<b<c

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<a參考答案：B由f(x)＝f(2－x)可得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(3)＝f(－1).又當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)>0，則f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增.所以f(－1)<f(0)<f.即c<a<b，故選B.9.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表廣告費(fèi)用x（萬元）4235銷售額y（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程=x+的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（）A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元參考答案：B【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】首先求出所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，求出方程中的一個(gè)系數(shù)，得到線性回歸方程，把自變量為6代入，預(yù)報(bào)出結(jié)果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1，∴廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為9.4×6+9.1=65.5，故選：B．10.在等差數(shù)列中，若，公差，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，公比，則，，，的一個(gè)不等關(guān)系是(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某籃球運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)賽季的40場(chǎng)比賽中的得分的莖葉圖如圖所示，則中位數(shù)與眾數(shù)分別為

、

.

參考答案：23，23.12.拋物線焦點(diǎn)在軸上，且被截得的弦長為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.參考答案：或略13.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為

參考答案：1514.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，則輸出的S=

參考答案：255015.將二進(jìn)制數(shù)101101(2)化為八進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為________．參考答案：55(8)16.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1與F2，點(diǎn)P在直線上.當(dāng)取最大值時(shí)，比的值為

.參考答案：

解析：由平面幾何知，要使最大，則過，P三點(diǎn)的圓必定和直線l相切于P點(diǎn).設(shè)直線l交x軸于A，則，即∽，即

（1）又由圓冪定理，

（2）而，，A，從而有，.代入（1），（2）得17.二維空間中圓的一維測(cè)度（周長）l=2πr，二維測(cè)度（面積）S=πr2；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）S=4πr2，三維測(cè)度（體積）V=πr3；四維空間中“超球”的三維測(cè)度V=8πr3，則猜想其四維測(cè)度W=．參考答案：2πr4【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測(cè)度的導(dǎo)數(shù)是底一維的測(cè)度，從而得到W′=V，從而求出所求．【解答】解：∵二維空間中圓的一維測(cè)度（周長）l=2πr，二維測(cè)度（面積）S=πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′=l三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）S=4πr2，三維測(cè)度（體積）V=πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′=S∴四維空間中“超球”的三維測(cè)度V=8πr3，猜想其四維測(cè)度W，則W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案為：2πr4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{}是首項(xiàng),公比q≠1的等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,且成等差數(shù)列.(1)求公比q的值(2)求的值.參考答案：解(1)由已知

,∵,整理得

解得,即或又q≠1,∴

,(2)構(gòu)成為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.∴=19.求展開式中按的降冪排列的前兩項(xiàng).參考答案：解析：

20.（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)若在定義域內(nèi)存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數(shù)f(x)的局部對(duì)稱點(diǎn)．（Ⅰ）若a，b，c∈R，證明函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；（Ⅱ）是否存在常數(shù)m，使得定義在區(qū)間[﹣1，1]上的函數(shù)f（x）=2x+m有局部對(duì)稱點(diǎn)？若存在，求出m的范圍，否則說明理由．

參考答案：解：（Ⅰ）證明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（-x）=-ax3+bx2-cx﹣b，由f（-x）=﹣f（x）得到關(guān)于x的方程2bx2﹣2b=0，……………1分當(dāng)b≠0時(shí)，x=±1；當(dāng)b=0，x∈R等式恒成立，所以函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；……………4分（Ⅱ）∵f（x）=2x+m，∴f（-x）=2-x+m由f（-x）=﹣f（x）得到關(guān)于x的方程2x+2﹣x+2m=0，……………6分因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．……………8分令t=2x∈，則，解得．……………12分

21.在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=，求最大角的余弦值． 參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法