佛山市禪城區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)與參考答案

佛山市禪城區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C.或 D.或【答案】D【分析】先解出集合中的不等式，再根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋曰?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算先求z，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.3.設(shè)函數(shù),的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】C【分析】由題可得，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義依次判斷即可.【詳解】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，對(duì)于A，，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知中，，且，則（）A. B. C.8 D.9【答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)橹校?，所?故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.5.己知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)條件直接計(jì)算，進(jìn)而即得．【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確，C錯(cuò)誤；，不常數(shù)，故BD錯(cuò)誤.故選：A．6.若是等差數(shù)列，且是方程的兩個(gè)根，則（）A.4046 B.4044 C. D.【答案】C【分析】由題可得，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即得.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，所以，所以.故選：C.7.《周髀算經(jīng)》中給出弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個(gè)角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，則小正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)已知可得，由同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得，結(jié)合角的范圍求.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，則小正方形的邊長(zhǎng)為，故，故，即，解得或.因?yàn)?，則，故.故選：A8.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，則由這5個(gè)數(shù)據(jù)組成的新的一組數(shù)據(jù)的方差是（）A.4 B.6 C. D.【答案】C【分析】根據(jù)已知條件利用方差公式求解即可【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，所以，，所以，，所以的平均數(shù)為，所以的方差為，故選：C二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知函數(shù)，則（）A.B.在處的切線是C.在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【分析】求出函數(shù)值驗(yàn)證選項(xiàng)A，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程驗(yàn)證選項(xiàng)B，圖像或特殊值法驗(yàn)證選項(xiàng)C，數(shù)形結(jié)合驗(yàn)證選項(xiàng)D【詳解】∵∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，，，，在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，切線斜率為-1，切線方程為，B選項(xiàng)正確；做了函數(shù)圖像，如圖所示：由圖像可知，在R上不是單調(diào)遞減的，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知，直線在y軸上截距小于等于2時(shí)，與的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：BD10.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【分析】利用基本不等式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、特值法以及根據(jù)式子的幾何意義進(jìn)行求解判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，可看作部分圓上的點(diǎn)到直線的距離不大于2，因?yàn)閳A心在直線上，半徑為2，故恒成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，且，令，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.九月伊始，佛山市某中學(xué)社團(tuán)招新活動(dòng)開(kāi)展得如火如茶，小王、小李、小張三位同學(xué)計(jì)劃從籃球社、足球社、羽毛球社三個(gè)社團(tuán)中各自任選一個(gè)，每人選擇各社團(tuán)的概率均為，且每人選擇相互獨(dú)立，則（）A.三人選擇社團(tuán)一樣的概率為B.三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為C.至少有兩人選擇籃球社的概率為D.在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為【答案】ACD【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算判斷A，B，C；利用條件概率公式計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，三人選擇社團(tuán)一樣的事件是都選籃球社的事件、都選足球社的事件、都選羽毛球社的事件的和，它們互斥，三人選擇社團(tuán)一樣的概率為，A正確；對(duì)于B，三人選擇社團(tuán)各不相同的事件，是小王從3個(gè)社團(tuán)中任選1個(gè)，小李從余下兩個(gè)中任選1個(gè)，最后1個(gè)社團(tuán)給小張的事件，共6個(gè)不同結(jié)果，因此三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為，B不正確；對(duì)于C，至少有兩人選擇籃球社的事件是恰有2人選籃球社與3人都選籃球社的事件和，其概率為，C正確；對(duì)于D，令至少有兩人選擇羽毛球社的事件為A，由選項(xiàng)C知，，小王選擇羽毛球社的事件為B，則事件AB是含小王只有2人擇羽毛球社的事件和3人都擇羽毛球社的事件和，其概率，所以在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為，D正確.故選：ACD12.“提丟斯數(shù)列”是18世紀(jì)由德國(guó)物理學(xué)家提丟斯給出的，具體如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，這樣一組數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，將這組數(shù)的每一項(xiàng)加上4，再除以10，就得到“提丟斯數(shù)列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列B.“提丟斯數(shù)列”的第99項(xiàng)為C.“提丟斯數(shù)列”的前31項(xiàng)和為D.“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)300的有11項(xiàng)【答案】BCD【分析】根據(jù)已知，利用等比數(shù)列的概念、求和公式進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，“提丟斯數(shù)列”的前31項(xiàng)和為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由有：，所以“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)300的有11項(xiàng)，故D正確.故選：BCD.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13.首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主，雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問(wèn)題和農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展貢獻(xiàn)了中國(guó)力量，某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有______株．（若，，）【答案】1359【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得到株高在的概率，再求出株高在的株數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知，，所以，，所以，所以株高在的約有株.故答案為：1359.14.已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，則___________．（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)答案即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：.15.已知數(shù)列滿足（且），且，則___________．【答案】【分析】利用項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，即又，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴.故答案為：.16.設(shè)，則a，b，c大小關(guān)系是____________．【答案】．【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小.【詳解】令，則，令，得，即在上單調(diào)遞增，，，即，，即，令，則，令得，即在單調(diào)遞減，同理，在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，所以，?所以.故答案為：.四、解答題本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化、和角的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可知：，得，因?yàn)?，得，∵，∴，，∴，即．【小?wèn)2詳解】由，得，由余弦定理可得：，又，，則，即，解得，故的面積為．18.已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若表示不大于m的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，求．【答案】（1）（2）26【分析】（1）根據(jù)已知，利用數(shù)列的性質(zhì)建立方程組求解.（2）利用錯(cuò)位相減法以及式子的結(jié)構(gòu)特征、進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為d，的公比為，因?yàn)?，，，所以，整理可得：，解得或（舍），所以．【小?wèn)2詳解】由（1）有：，則，，兩式相減得，整理得，顯然，且，故為遞增數(shù)列，又因?yàn)椋?，…所以，?dāng)時(shí)，，所以．19.已知函數(shù)．（1）若是的極大值點(diǎn)，求a的值；（2）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，求a的取值范圍．【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定的極值點(diǎn)，求出a值，再驗(yàn)證即可作答.（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討三次函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)作答.【小問(wèn)1詳解】，由解得或，當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，整理得，令，依題意，有三個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，則只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得或，由得，即在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，而，則只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得或，由得，即在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，而，要使有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以a的取值范圍是．20.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）若，的面積為，D為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；（2）若E為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角形的面積公式、余弦定理以及向量的運(yùn)算、模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.（2）利用向量的運(yùn)算、模長(zhǎng)公式以及基本不等式的常數(shù)代換法求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，的面積為，所以，即，又，由余弦定理可得：，即，得，又∵D為邊的中點(diǎn)，∴，則，即，∴中線的長(zhǎng)度為．【小問(wèn)2詳解】∵E為邊上一點(diǎn)，，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，有最小值．21.2022年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某市團(tuán)委決定舉辦一次共青團(tuán)史知識(shí)擂臺(tái)賽．該市A縣團(tuán)委為此舉辦了一場(chǎng)選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過(guò)后才能參加決賽，決賽通過(guò)后將代表A縣參加市賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加初賽且通過(guò)初賽的概率均為，通過(guò)初賽后再通過(guò)決賽的概率依次為，，，假設(shè)他們之間通過(guò)與否互不影響．（1）求這3人中至少有1人通過(guò)初賽的概率；（2）設(shè)這3人中參加市賽的人數(shù)為，求的分布列；（3）某品牌商贊助了A縣的這次共青團(tuán)史知識(shí)擂臺(tái)賽，提供了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案1：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)1次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次獎(jiǎng)1000元；方案2：參加了選拔賽未進(jìn)市賽的選手一律獎(jiǎng)600元，進(jìn)入了市賽的選手獎(jiǎng)1200元．若品牌商希望給予選手更多的獎(jiǎng)勵(lì)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）品牌商選擇方案2更好【分析】（1）利用對(duì)立事件以及相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解.（2）利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式以及離散型隨機(jī)變量分布列的寫(xiě)法求解.（3）利用二項(xiàng)分布以及離散型隨機(jī)變量分布列期望計(jì)算進(jìn)行比較.【小問(wèn)1詳解】3人都沒(méi)通過(guò)初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過(guò)初賽的概率．【小問(wèn)2詳解】依題意可能取值為0，1，2，3．設(shè)事件A表示“甲參加市賽”，事件B表示“乙參加市賽”，事件C表示“丙多加市賽”，則，則，，，，0123P所以的分布列為：【小問(wèn)3詳解】方案1：設(shè)三人中獎(jiǎng)人數(shù)為X，所獲獎(jiǎng)金總額為Y元，則，且，所以元，方案2：記甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和為Z元，方法1：則Z的所有可能取值為1800，2400，3000，3600，由（2）知，Z的分布列為：Z1800240030003600P則，因?yàn)?，所以從三人?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．方法2：由（2）知，，方案2等價(jià)于只要參加了選拔賽即獎(jiǎng)勵(lì)600元，進(jìn)入了市賽的選手再獎(jiǎng)600元．則，因?yàn)?，所以從三人?jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．22.設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2