2022-2023學(xué)年浙江省溫州市鰲江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市鰲江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若對任意，都有，則稱是“和諧”集合，那么在集合的所有非空子集中，“和諧”集合的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是（

）Ａ．①和②

Ｂ．②和③

Ｃ．.③和④

Ｄ．②和④參考答案：

D①錯,②正確,③錯,④正確.故選D3.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相鄰但不排在兩端，那么不同的排法共有（

）A.36種 B.24種 C.18種 D.12種參考答案：B根據(jù)題意，甲、乙看做一個元素安排中間位置，共有種排法，其余3人排其它3個位置，共有種排法，利用乘法原理，可得不同的排法有種．故選B．點睛：本題考查的是排列組合問題.（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．4.二面角α﹣l﹣β為60°，A、B是棱上的兩點，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，則CD的長為（）A．1 B． C．2 D．參考答案：C【考點】二面角的平面角及求法．【分析】由題設(shè)條件，結(jié)合向量法求出CD的長．【解答】解：如圖，∵在一個60°的二面角的棱上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段，AB=AC=1，BD=2，∴，＜＞=120°，∴==1+1+4+2×1×2×cos120°=4．∴|CD|=．故選：C．5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡求得，再由共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，即，所以，故選C．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及共軛復(fù)數(shù)的概念，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值是()A.

B.

C.

D.參考答案：A7.不等式組的解集記為D，有下面四個命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥1，p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2，p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3，p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1．其中的真命題是(

) A．p2，p3 B．p1，p2 C．p1，p4 D．p1，p3參考答案：A考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組的表示的區(qū)域D，對四個選項逐一分析即可．解答： 解：作出不等式組表示的區(qū)域：由圖知，區(qū)域D為直線x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區(qū)域，顯然，區(qū)域D有一部分在x+2y=1的下方，故p1：?（x，y）∈D，x+2y≥1錯誤；區(qū)域D有一部分在x+2y=2的上方，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正確，區(qū)域D有一部分在x+2y=3的下方，故p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3正確，區(qū)域D全部在x+2y=﹣1的上方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯誤．綜上所述p2，p3正確，故選：A點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題．8.已知AC、BD分別為圓O：x2+y2=4的兩條垂直于坐標(biāo)軸的弦，且AC、BD相交于點M（1，），則四邊形ABCD的面積為（）A．2 B．3 C． D．參考答案：A【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】求出|AC|，|BD|，代入面積公式S=?|AC||BD|，即可求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：由題意圓心O到AC、BD的距離分別為、1，∴|AC|=2=2，|BD|==2，∴四邊形ABCD的面積為：S=?|AC|（|BM|+|MD|）=?|AC||BD|==2，故選：A．【點評】此題考查四邊形ABCD的面積．解答關(guān)鍵是四邊形面積可用S=?|AC||BD|來計算．9.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，則k=（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：D【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】先由等差數(shù)列前n項和公式求得Sk+2，Sk，將Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程求解．【解答】解：根據(jù)題意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故選D10.已知向量=（1，x），=（1，﹣x），若2+與垂直，則||=（） A．4 B． 2 C． D． 參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,在一個邊長為2的正方形中隨機(jī)撒入100粒豆子,恰有60粒落在陰影區(qū)域內(nèi),則該陰影部分的面積約為

．參考答案：12.已知直線l過點P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則三角形OAB面積的最小值為________．參考答案：413.設(shè)x、y∈R+且=1，則x+y的最小值為

．參考答案：16【考點】基本不等式．【專題】計算題．【分析】將x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）?（），展開后應(yīng)用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）?（）==10+≥10+2=16（當(dāng)且僅當(dāng)，x=4，y=12時取“=”）．故答案為：16．【點評】本題考查基本不等式，著重考查學(xué)生整體代入的思想及應(yīng)用基本不等式的能力，屬于中檔題．14.已知球的體積為36π，則該球主視圖的面積等于________參考答案：9π由球的體積公式，可得，則，所以主視圖的面積為.

15.如圖,在△中,,是邊上一點,,則=

.參考答案：略16.右邊框圖表示的程序所輸出的結(jié)果是

．參考答案：1320

略17.給出以下4個命題：①，則是以為周期的周期函數(shù)；②滿足不等式組，的最大值為5；③定義在R上的函數(shù)在區(qū)間（1，2）上存在唯一零點的充要條件是；④已知所在平面內(nèi)一點（與都不重合）滿足，則與的面積之比為3。其中命題正確的序號是_______參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，，O是AC的中點，，，．（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若，，D是AB的中點，求二面角的余弦值．參考答案：(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用PO⊥AC，OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．可證明PO⊥面ABC，即可得平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的補(bǔ)角．解三角形POM即可．【詳解】（1）∵AP＝CP，O是AC的中點，∴PO⊥AC，∵PO＝1，OB＝2，．∴OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，∴PO⊥面ABC，∵PO?面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的平面角的補(bǔ)角．∵OC1，∴AC＝2，AB，∴CD．∴S△COD∴，∴OM．PM．∴∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值為．【點睛】本題考查了空間面面垂直的證明，空間二面角的求解，作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．19.已知函數(shù)f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，證明：．參考答案：【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)的定義域為（0，+∞），當(dāng)λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x=1時，f（x）取最大值；（Ⅱ）求導(dǎo)，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0，分類當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的定義域為（0，+∞），當(dāng)λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求導(dǎo)，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0，解得：x=1，∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；故f（x）在x=1處取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）證明：求導(dǎo)，f′（x）=λlnx+﹣1，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，綜上可知：＞0．20.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項,且，，成等比數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;(Ⅱ)記，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.參考答