2022年北京延慶縣康莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

2022年北京延慶縣康莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)為拋物線C：y2=2px（x＞0）的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且滿足|PF|=m|PA|，若當(dāng)m取得最小值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．3 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，由拋物線的定義，結(jié)合|PF|=m|PA|，可得m的值；設(shè)PA的傾斜角為α，當(dāng)m取最小值時(shí)cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，求出雙曲線的離心率．【解答】解：點(diǎn)A（﹣3，﹣）是拋物線C：y2=2px（p＞0）準(zhǔn)線x=﹣上的一點(diǎn)，∴﹣=﹣3，解得p=6；∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x，焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣3；過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，∴=m；如圖所示，設(shè)PA的傾斜角為α，則cosα=m，當(dāng)m取得最小值時(shí)，cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切；設(shè)直線PA的方程為y=kx+3k﹣，代入y2=12x，可得y2﹣y+3k﹣=0，∴△=1﹣4??（3k﹣）=0，解得k=或﹣，可得切點(diǎn)P（2，±2）；由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)為（﹣3，0），（3，0），∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=﹣=7﹣5=2，∴雙曲線的離心率為e===3．故選：A．2.已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知雙曲線，則此雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

) A．(1，0) B．(5，0) C．(7，0) D．(，0)參考答案：D4.與直線2x﹣y+4=0的平行的拋物線y=x2的切線方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行的判定；直線的一般式方程．【分析】根據(jù)切線與直線2x﹣y+4=0的平行，可利用待定系數(shù)法設(shè)出切線，然后與拋物線聯(lián)立方程組，使方程只有一解即可．【解答】解：由題意可設(shè)切線方程為2x﹣y+m=0聯(lián)立方程組得x2﹣2x﹣m=0△=4+4m=0解得m=﹣1，∴切線方程為2x﹣y﹣1=0，故選D5.在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和,則球的表面積為

A．B．C．

D．參考答案：C略6.下列曲線中離心率為的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B由得，選B.

7.

橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則的值為（）

A．

B．

C．2

D．4參考答案：A

8.設(shè)集合M={x|x2＜4，且x∈R}，N={x|x＜2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】本題考查判斷充要條件的方法，我們可以根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：M={x|x2＜4，且x∈R}={x|﹣2＜x＜2}．N={x|x＜2}，若a∈M，能推出a∈N，反過來，a∈N，不一定有a∈M，比如a=﹣3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的常用方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，結(jié)合集合間的基本關(guān)系，判斷命題p與命題q的關(guān)系．9.看下面的演繹推理過程：

大前提：棱柱的體積公式為：底面積×高．

小前提：如圖直三棱柱ABC-DEF．H是棱AB

的中點(diǎn)，A.BED為底面，CH平面ABED，即

CH為高，

結(jié)論：直三棱柱ABC-DEF的體積為．這個(gè)推理過程

A.正確

B．錯(cuò)誤，大前提出錯(cuò)

C.錯(cuò)誤，小前提出錯(cuò)

D．錯(cuò)誤，結(jié)論出錯(cuò)參考答案：C10.已知滿足約束條件的最大值為A．3 B．－3 C．1 D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與垂直，則的值是

.參考答案：1或4略12.已知點(diǎn)A（1，2）、B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是．參考答案：4x﹣2y﹣5=0【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程．【分析】要求線段AB的垂直平分線，即要求垂直平分線線上一點(diǎn)與直線的斜率，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用A與B的坐標(biāo)求出直線AB的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為﹣1得到垂直平分線的斜率，根據(jù)M的坐標(biāo)和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程即可．【解答】解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則x==2，y==，所以M（2，）因?yàn)橹本€AB的斜率為=﹣，所以線段AB垂直平分線的斜率k=2，則線段AB的垂直平分線的方程為y﹣=2（x﹣2）化簡(jiǎn)得4x﹣2y﹣5=0故答案為：4x﹣2y﹣5=013.若點(diǎn)（a，b）在直線x＋3y＝1上，則的最小值為

參考答案：14.如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=﹣x+8，則f（5）+f′（5）=．參考答案：2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線方程，即可求得結(jié)論．解答：解：由題意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1∴f（5）+f′（5）=2故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.將3名男生和4名女生排成一行，甲、乙兩人必須站在兩頭，則不同的排列方法共有

種。（用數(shù)字作答）

參考答案：240

略16.已知，，若向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為

．

參考答案：略17.若函數(shù),則

．參考答案：e

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設(shè)=，=（1）求和的夾角（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.參考答案：解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.(1)cos==－，∴和的夾角為。…….6分(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。則k=－或k=2。

……..6分略19.（本小題滿分14分）已知數(shù)列是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，對(duì)于一切均有與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng)．計(jì)算;并由此猜想的通項(xiàng)公式.參考答案：解:,與2的等差中項(xiàng)為;與2的正的等比中項(xiàng)為由題意知………4分當(dāng)n=1時(shí)………6分當(dāng)n=2時(shí)………8分當(dāng)n=3時(shí)………10分當(dāng)n=4時(shí)……12分由此猜想的通項(xiàng)公式.

…14分略20.設(shè)函數(shù)y=f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值；（3）在（2）的條件下，猜想f（n）（n∈N*）的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）利用特殊值法判斷即可；（2）根據(jù)條件，逐步代入求解；（3）猜想結(jié)論，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明．【解答】解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．…（2）由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16．…（3）由（2）可猜想f（n）=n2，…用數(shù)學(xué)歸納法證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=12=1顯然成立．…（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即f（k）=k2，…則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，故當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，…由（i），（ii）可得，對(duì)一切n∈N*都有f（n）=n2成立．…21.(本小題滿分12分)對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

分組頻數(shù)頻率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合計(jì)M1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；（2）若該校高一學(xué)生有360人，試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15，20）內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，請(qǐng)列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率．參考答案：解：（1）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，，所以M=40．因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以．因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，所以．（4分）（2）因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有360人，分組[15，20）內(nèi)的頻率是0.625，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為360×0.625=225人．（7分）（3）這個(gè)樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有3+2=5人設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人為{a1，a2，a3}，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人為{b1，b2}．則任選2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10種情況，（9分）而兩人都在[20，25）內(nèi)共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3種情況，至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率為．（12分）

22.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：由AA1⊥AB，AB⊥AC，得AB⊥平面ACC1A1，從而A1C⊥AB，又A1C⊥AC1，由此能證明A1C⊥平面ABC1．法二：以A為原點(diǎn)，以AC、AB、AA1所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能證明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）求出平面A1BC1的法向量和平面ABC1的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）證法一：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，…（2分）∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，…∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；

…證法二：由已知條件可得AA1、AB、AC兩兩互相垂直，因此以A為原點(diǎn)，以AC、AB、AA1所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣