2024年九年級數(shù)學(xué)下冊第三章圓單元測試北師大版

Page4圓(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．已知⊙O的半徑是5，直線l是⊙O的切線，則點O到直線l的距離是(C)A．2.5B．3C．5D．102．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OB，OC，若OB＝BC，則∠BAC等于(C)A．60°B．45°C．30°D．20°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))3．(2023·重慶)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為(B)A．30°B．40°C．50°D．60°4．下列說法正確的是(B)A．三點確定一個圓B．經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸C．和半徑垂直的直線是圓的切線D．三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點距離相等5．(2023·泰安)如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是(A)A．25°B．30°C．35°D．40°6．(2023·涼山州)如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2eq\r(3)，則OC＝(B)A．1B．2C．2eq\r(3)D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))7．(2023·溫州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD＝120°，AD＝eq\r(3)，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為(C)A．10°，1B．10°，eq\r(2)C．15°，1D．15°，eq\r(2)8．(2023·連云港)如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB，BC，CD，AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是(D)A．eq\f(41,4)π－20B．eq\f(41,2)π－20C．20πD．209．(2023·荊州)如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(eq\x\to(AC))，點O是這段弧所在圓的圓心，B為eq\x\to(AC)上一點，OB⊥AC于D.若AC＝300eq\r(3)m，BD＝150m，則eq\x\to(AC)的長為(B)A．300πmB．200πmC．150πmD．100eq\r(3)πmeq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))10．如圖，⊙O的直徑AB＝8，AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點，BD，OC相交于點F，若CD＝10，則BF的長是(A)A．eq\f(8\r(17),9)B．eq\f(10\r(17),9)C．eq\f(8\r(15),9)D．eq\f(10\r(15),9)二、填空題(每小題3分，共15分)11．一個扇形的弧長是8πcm，圓心角是144°，則此扇形的半徑是__10__cm.12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，若以點A為圓心，以4為半徑作⊙A，則點A，點B，點C，點D四點中在⊙A外的是__點C__．13．(河南中考)如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，D均在小正方形的頂點上，且點B，C在eq\x\to(AD)上，∠BAC＝22.5°，則eq\x\to(BC)的長為__eq\f(5π,4)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)與⊙O相交于A，B兩點，且點A在x軸上，則弦AB的長為__2eq\r(3)__．15．如圖，在?ABCD中，AD＝12，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接OC.若OC＝AB，則?ABCD的周長為__24＋6eq\r(5)__．三、解答題(共75分)16．(8分)如圖，以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊，在內(nèi)部作正方形ABMN，連接MC.求∠BCM的大?。猓骸吡呅蜛BCDEF為正六邊形，∴∠ABC＝120°，AB＝BC.∵四邊形ABMN為正方形，∴∠ABM＝90°，AB＝BM.∴∠MBC＝120°－90°＝30°，BM＝BC.∴∠BCM＝∠BMC.∴∠BCM＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°17．(9分)如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，AC與OD交于點E，AE＝EC，OE＝ED.連接BC，CD.求證：(1)△AOE≌△CDE；(2)四邊形OBCD是菱形．證明：(1)在△AOE和△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CE，,∠AEO＝∠CED，,OE＝DE，))∴△AOE≌△CDE(SAS)(2)連接OC，∵AE＝CE，∴OD⊥AC，∵OE＝DE，∴CE垂直平分OD，∴CD＝CO，∴△OCD為等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC∥OD，∴∠BCO＝∠COD＝60°，而OB＝OC，∴△OCB為等邊三角形，∴BC＝OC，∴OB＝BC＝CD＝OD，∴四邊形OBCD是菱形18．(9分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(1，3)，B(3，3)，C(4，2).(1)請在圖中作出經(jīng)過點A，B，C三點的⊙M，并寫出圓心M的坐標(biāo)；(2)若D(1，4)，則直線BD與⊙M的位置關(guān)系是__相切__．解：(1)如圖所示，圓心M的坐標(biāo)為(2，1)19．(9分)如圖，已知在⊙O中，eq\x\to(AB)＝eq\x\to(BC)＝eq\x\to(CD)，OC與AD相交于點E.求證：(1)AD∥BC；(2)四邊形BCDE為菱形．證明：(1)連接BD，∵eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC(2)連接CD，BD，設(shè)OC與BD相交于點F，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∵eq\x\to(BC)＝eq\x\to(CD)，∴BC＝CD，BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(ASA)，∴DE＝BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC＝CD，∴四邊形BCDE是菱形20．(9分)(2023·紹興)如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E.(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的長．解：(1)∵AE⊥CD于點E，∴∠AEC＝90°，∴∠ACD＝∠AEC＋∠EAC＝90°＋25°＝115°(2)∵CD是⊙O的切線，∴半徑OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3，∴CD＝eq\r(OD2－OC2)＝eq\r(5).∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴eq\f(CD,CE)＝eq\f(OD,OA)，∴eq\f(\r(5),CE)＝eq\f(3,2)，∴CE＝eq\f(2\r(5),3)21．(10分)(2023·張家界)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD＝10，cosB＝eq\f(3,5)，求FD的長．解：(1)連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＋∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD.∴∠DCF＋∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∵OC是⊙O的半徑，∴FC是⊙O的切線(2)∵∠B＝∠ADC，cosB＝eq\f(3,5)，∴cos∠ADC＝eq\f(3,5)，在Rt△ACD中，cos∠ADC＝eq\f(3,5)＝eq\f(CD,AD)，AD＝10，∴CD＝AD·cos∠ADC＝10×eq\f(3,5)＝6，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝8，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(3,4)，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(FC,FA)＝eq\f(FD,FC)＝eq\f(3,4)，設(shè)FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x＋10，又∵FC2＝FD·FA，即(4x)2＝3x(3x＋10)，解得x＝eq\f(30,7)(取正值)，∴FD＝3x＝eq\f(90,7)22．(10分)(2023·臨沂)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AE∥BC，E為BD的延長線與AE的交點．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求eq\x\to(CD)的長．解：(1)連接并延長AO交BC于點F，連接OC，則OA＝OB＝OC，∵AB＝AC，∴△OAB≌△OAC(SSS)，∴∠OAB＝∠OAC，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°，∴OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切線(2)∵∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∠COD＝180°－∠BOC＝120°，∴OC＝BC＝2，∴l(xiāng)eq\x\to(CD)＝eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)，∴eq\x\to(CD)的長是eq\f(4π,3)23．(11分)問題背景：如圖1，在四邊形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD.探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．小吳同學(xué)探究此問題的思路：將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處(如圖2)，易證點C，A，E在同一條直線上，且△CDE是等腰三角形，所以CE＝eq\r(2)CD，從而得出結(jié)論：AC＋BC＝eq\r(2)CD.簡單應(yīng)用：(1)在圖1中，若AC＝eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，則CD＝__3__；(2)如圖3，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BD)，若AB＝13，BC＝12，求CD的長；(3)如圖4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n(m<n)，求CD的長．(用含m，n的代數(shù)式表示)解：(2)連接AC，BD，AD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝5.∵eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BD).∴AD＝BD.將△BCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED，∴∠EAD＝∠DBC.∵∠DBC＋∠DAC＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°.∴E，A，C三點共線．∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝BC＋AC＝17.∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB＋∠ADC.即∠EDC＝∠ADB＝90°.∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形．∴CE＝eq\r(2)CD.∴CD＝eq