有理函數(shù)的積分

關(guān)于有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例3整理得第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例4

求積分解第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例5

求積分解第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例6

求積分解令第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項(xiàng)式；討論積分令第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天則記第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天二、可化為有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天令（萬能置換公式）第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例7

求積分解由萬能置換公式第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例8

求積分解（一）第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天解（二）修改萬能置換公式,令第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例9

求積分解第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天2、簡單無理函數(shù)的積分討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例10

求積分解令第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例11

求積分解令說明無理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例12

求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）三、小結(jié)第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共38頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第35頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第