2023-2024學(xué)年北京六十六中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年北京六十六中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（9

月份）

一、單選題（本大題共15小題，共45.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={x|-1<%<1],B={x|0<x<2),則/nB=()

A.[0,1)B.(-1,2]C.(1,2]D.(0,1)

2.若a>b,則一定有()

A.B.|a|>\b\C.<a2>AT62D.a34>b3

3.命題“Vx>0,s譏x〈1”的否定是()

A.Vx>0,sinx>1B.Vx<0,sinx>1

C.2x>0,sinx>1D.3x<0,sinx>1

4.若cosa=—?,且角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)PQ,2）,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)工是（）

A.2cB.±2/3D.-2C

函數(shù)+*的定義域是（

5.y=Igx)

A.(0,+8)B.(1,+co)C.(0,l)u(l,+oo)D.[0,1)U(1,+co)

e

6.若COS(2TT—a)=?且a(一看0),則sin(7r-a)=()

A.BcD.

~3---4±1

7.已知點(diǎn)P（si譚,cos巧落在角。的終邊上，且。€[0,2兀）,則。是第象限角.（）

4

A.一B.二C.三D.四

8.若史竺坦絲則.2a=（）

sina—cosa2

A.-73B.37C—4D.?4

4433

9.若一扇形的圓心角為72。，半徑為20cm,則扇形的面積為（）

A.407rcm2B.807rcm2C.40cm2D.80cm2

10.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

1

A.y=一B.y=C.y=\x\D.y=%34-1

X

11.已知工€(-20),cosx=則tcm2x等于()

，5

C?

A』B-J77

ic廿1+cos2a1

12.若s/2a=P則tan2a=()

5

AA.-B.-D.-J

43c.43

13.函數(shù)y=sin(x-》在區(qū)間[0,1上()

A.單調(diào)遞增且有最大值B.單調(diào)遞增但無最大值

C.單調(diào)遞減且有最大值D.單調(diào)遞減但無最大值

14.要得到函數(shù)y=sin(2x+今的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象()

A.向左平移5個(gè)單位長度B.向右平移々個(gè)單位長度

C.向左平移[個(gè)單位長度D.向右平移，個(gè)單位長度

OO

15.若0<a<],-^<P<0,cos(*+a)=g,cos[-與)=容,則cos(a+§=()

A.蟲B._蟲C.2D.-口

3399

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

16.若￡的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),則sin/=,tan.=.

17.集合4={-1WxS1},B={x|x>a},且力學(xué)B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

18.已知sina+cosa=則si712a=.

19.己知cos(a+6)=『cos(a-￡)=『則tanatan夕=.

20.函數(shù)/(x)=0>則不等式〃/)<r(5X-4)的解集為.

三、解答題(本大題共6小題，共80.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

21.(本小題13.0分)

己知全集U=R,集合4={x\x2—2x-3<0},B={x|0<x<4].

(1)求CnB；

(2)設(shè)非空集合D={x[a<x<2a+3,a€R},若DUQ4求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題13.0分)

已知sina=絲^，a€(?，乃)，求tan(a+兀)+變看皿的值.

54cos(-=■-a)

23.(本小題13.0分)

角a終邊上的點(diǎn)P與2(a,2a)關(guān)于%軸對稱(a>0),角B終邊上的點(diǎn)Q與4關(guān)于直線y=x對稱,

求sina-cosa+sinp-cos。+tana-的值.

24.(本小題13.0分)

已知sin(3;r+a)=2sin怎+a),求下列各式的值.

sina—4cosa

\'5stna+2cosa

(2)sin2a+sin2a.

25.(本小題13.0分)

已知函數(shù)/(x)=cos(2x-1)+2sin(x-^)sin(x+款

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及圖象的對稱軸；

(2)求函數(shù)/(無)在［-g/上的值域.

26.(本小題15.0分)

對于一個(gè)有窮正整數(shù)數(shù)列Q，設(shè)其各項(xiàng)為的,a2,…，an,各項(xiàng)和為S(Q),集合&,力@>%,

l<i<j<n｝中元素的個(gè)數(shù)為7(Q).

(I)寫出所有滿足S(Q)=4,7(Q)=1的數(shù)列Q；

(n)對所有滿足T(Q)=6的數(shù)列Q,求S(Q)的最小值；

(HI)對所有滿足S(Q)=2023的數(shù)列Q,求T(Q)的最大值.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：4={x[—1<x<1},B={x|0<x<2},則4nB=[0,1).

故選：A.

由交集的定義直接求解即可.

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】【分析】

由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可.

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

11

若o

a>>->_

w:h,a1

對于B,若0>a>b,則|a|<網(wǎng)，故B錯(cuò)誤；

對于C,若0>a>b,則a2Vb2,則Va2<，>,故C錯(cuò)誤；

對于D,若a>b,則。3>匕3顯然成立，故￡)正確.

故選：D.

3.【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題是解決本題的關(guān)鍵,

是基礎(chǔ)題.

【解答】

解：命題是全稱量詞命題，

則否定是存在量詞命題，BPSx>0,sinx>1,

故選：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，建立方程即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的坐標(biāo)公式的應(yīng)用，比較基礎(chǔ).

【解答】

解：???角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,2),

r=OP=Vx2+4>

4x2=3%2+12,

即/=12,

x=—2V-3>

故選D.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)定義域的求解，結(jié)合函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基

礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：要使函數(shù)有意義，則

即｛：：：,即函數(shù)的定義域?yàn)?0,l)U(l,+8),

故選：C.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.己知等式利用誘導(dǎo)公式化簡

求出cosa的值，由a的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sina的值，所求式子利用誘導(dǎo)

公式化簡后，將s譏a的值代入計(jì)算即可求出值.

【解答】

解：cos(2?r—a)=cosa-a€(一］,0),

:.sina=—V1—cos2a=—|,

2

則sin(7r—a)=sina=-

故選艮

7.【答案】C

【解析】解：言是第三象限角，sin孚<0,

44

當(dāng)是第二象限角，??.cos^<0,

44

：?。是第三象限角.

故選：C.

先判斷點(diǎn)P的位置，即可確定。是第幾象限角.

本題考查三角函數(shù)的符號，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】【分析】

此題考查了二倍角的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系

是解本題的關(guān)鍵.

將已知等式左邊的分子分母同時(shí)除以cosa,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切得到關(guān)于tana

的方程，求出方程的解得到tana的值，然后將所求的式子利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡后，將

tana的值代入即可求出值.

【解答】

sina+cosatana+11

解：

sina-cosatana—12

???tana=—3,

2tana_2x(—3)3

則ta712a

l-tan2a-l-(-3)24,

故選：B.

9.【答案】B

【解析】解：扇形的圓心角為72。=等

?.?半徑等于20cm,

，扇形的面積為xyx400=SOncm2,

故選：B.

將角度轉(zhuǎn)化為弧度，再利用扇形的面積公式，即可得出結(jié)論.

本題考查扇形的面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解：函數(shù)y=—3是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

y=X34-1,y=4*是非奇非偶函數(shù)，故3,。錯(cuò)誤；

函數(shù)y=|%|是偶函數(shù)，

且y=|x|在(0,+oo)上是增函數(shù)，故C正確.

故選：C.

判斷函數(shù)的奇偶性排除4,B,D,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性判斷方法和函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

11.【答案】。

【解析】解：.?.cos%=1，x6(-1,0),

3

.：sinx=-l..：tanX=4-

3

24

???tan2x=2tanx=__2=_-3X16

2T~7

16

故選：D.

先根據(jù)cos%,求得sinx,進(jìn)而得到tern%的值，最后根據(jù)二倍角公式求得加九2工.

本題主要考查了三角函數(shù)中的二倍角公式.屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】D

【解析】解：v1+c2a=即sin2a=2cos2a+2,sin22a+cos22a=1,

sin°2fa2

(2cos2a+2)2+cos22a=1,B|J(cos2a+l)(5cos2a+3)=0,

解得：cos2a=—1(此時(shí)sin2a=0,不合題意)或cos2a=—

34

???sin2a=2x(--)4-2=-,

則tQ?12asin2a4

cos2a3

故選：D.

已知等式分子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，分子分母除以COS2a變形后，即可確定出

tan2a的值.

此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

13.【答案】A

【解析】W：vO<x<p

苑,7T77T

y=sinz在［一今"上為增函數(shù)，

二函數(shù)y=sin(x在區(qū)間［0,且上單調(diào)遞增，且有最大值苧，

故選：A.

由0WXW翔，豐4一瀉,利用函數(shù)y=5譏2在［一轉(zhuǎn)］上為增函數(shù),即可得到答案.

本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查整體代換意識(shí)，屬于中檔題.

14.【答案】C

【解析】解：將函數(shù)y=s?2x,向左平移汐單位長度，可得y=s譏2(尤+9，即sin2(x+”=

sin(2x+9

故選：C.

利用函數(shù)y=Asin(a)x+9)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=Asin^cox+0)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.關(guān)鍵是根據(jù)cos(a+%=cos［G+a)-C-^］,巧

妙利用兩角和公式進(jìn)行求解.

先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求得sing+a)和sing-%的值，進(jìn)而利用cos(a+%=

COS

兀

相OO

.:<a<7T-<<

2?一2

￡37n

<+a<7r<7rp<7T

一

47-T一---

4T,一44422

?1?0說+2=J1-彳=號，sin《一務(wù)=場

=3

g

pn+7T4

:.cos(a+引=cos](4-2

=cos@+a)cos5-1)4-sin(^+a)sin@-1)=M

故選：C.

16.【答案】T2

【解析】解：S的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),則r=V12+22=門,

sin/?—tan/3=y=2.

故答案為：弓三2.

直接根據(jù)三角函數(shù)定義計(jì)算即可.

本題考查任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(一8,-1]

【解析】解：因?yàn)榧?={—1SxW1},B=(x\x>a),且4曙B,

所以a<-1.

故答案為：(-8,—1].

根據(jù)4呈B,畫出數(shù)軸可得出答案.

本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】一7

【解析】解：由sina+cosa=1?兩邊平方得1+2sinacosa=

則si?12a=—

3

-

故答案為:4

由已知兩邊同時(shí)平方，結(jié)合二倍角公式可求解.

本題主要考查了同角平方關(guān)系及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案埒

【解析】【分析】

考查兩角和與差的余弦公式及商數(shù)關(guān)系.屬于三角恒等變換中的求值題，做此題時(shí)要注意觀察怎

么樣用已有條件組合出問題的答案.

先由兩角和與差的公式展開，得到a,￡的正余弦的方程組，兩者聯(lián)立解出兩角正弦的積與兩角余

弦的積，再由商數(shù)關(guān)系求出兩角正切的乘積.

【解答】

解：由已知cos(a+￡)=cosacos/3—sinasin/3=

3

cos(a—0)=cosacosp+sinasinp=

???cosacosp=I，sinasinp=1

1

-1

5

sinasin/3=-=-

tanatanB=-------k22

cosacosp-

5

故應(yīng)填今

20.【答案】{%|1<x<4}

【解析】解：函數(shù)用)=匕/:葭

作出函數(shù)/■(%)的圖象如圖所示，

由函數(shù)/(x)的圖象可知，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

故/1(無2)</(5x-4)即產(chǎn)<5x-4,可得：1cx<4,

故答案為：{x[l<x<4}.

利用分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)/(x)的圖象，利用圖象得到函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性去掉“廣,

即可求解.

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，對于分段函數(shù)問題，一般會(huì)選用分類討

論或是數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因?yàn)榱?{x|/—2%-3<0}={x|-l<x<3},

所以Q4={x\x<-1或x>3},

又因?yàn)锽=(x|0<x<4},

所以(C")nB=[x\x<-1或x>3}n{x|0<%<4}={x[3<x<4},

所以(Cu4)nB}={x|3Sx<4}：

(2)因?yàn)镃(M={x\x<-1或x>3},非空集合D={x|a<x<2a+3,aG/?},且DUQM，

所以｛葭.2笈或｛笨f+3,

解得一3<aW-2或a>3,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍｛a|-3<aW-2或a>3｝.

【解析】(1)求出Q4再根據(jù)交集的定義求解即可；

(2)根據(jù)DUQ4列出不等式組，求解即可.

本題考查了一元二次不等式的解法、集合間的基礎(chǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：：sina=—=—>0，a6(果江).

54

cosa=-V1—sin2a=——

sin(警+Q)cosasina,cosa

tan(a+TT)+-------FZ=tCLTLCCd—：—=-------1—：—

cos(罷—a)sinacosasina

_1__5

sinacosa-2,

【解析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa的值,然后把所求的式子利用誘導(dǎo)公式化簡后,

把sina和cosa的值分別代入即可求出值.

本題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系及誘導(dǎo)公式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.

23.【答案】解：由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-2a),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a,a),

根據(jù)三角函數(shù)的定義得：

.-2a—2ciQa.

加=看，c°sa=JZ^=F，5=^=一2,

SE"后r卷，如夕=7^=卷，也印=為日，

故有sina?cosa+sin/3?cos(3+tana?tanp

—2aaa2a,”1

=ra,ra+ra,ra+(-2)X2

【解析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱及關(guān)于y=x對稱的特點(diǎn)由點(diǎn)4得到P與Q的坐標(biāo)，然后分別根據(jù)三角函

數(shù)的定義求出sina,cosa,tana,sin0,cos￡,的值，將每個(gè)值代入到所求的式子中即可求

出值.

此題考查學(xué)生會(huì)求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于久軸及關(guān)于y=%對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握三角函數(shù)的定義，屬于中檔題.

24.【答案】解：⑴vsin(3zr+a)=2sin(^-4-a),

，—sina=—2cosa9即sina=2cosa,

則原式=2cosL=Z2=_1

、10cosa+2cosa126

(2)???sina=2cosa,HPtana=2,

2o

.庫弋_sina+2sinacosa_tan￡a+2tana__4+4_8

=sRa+cos2a=tan2a+l=布=+

【解析】⑴已知等式兩邊利用誘導(dǎo)公式化簡得到sina=2cosa,代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果：

(2)由sina=2cosa,得至Utana的值，原式第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，分母看做“1”，

利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，再分子分母除以cos?。，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡,

將tana的值代入計(jì)算即可求出值.

此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：(l)/(x)=cos(2x—今+2sin(x—；)sin(x+：)=^cos2x+^---sin2x+2sin(x—

；)sin碎+(x-5)]

=1cos2x+^-sin2x+2sin(x—^)cos(x—；)=^cos2x+芋sin2x+sin(2x—今=^cos2x+

—sin2x—cos2x

=丫sin2x—gcos2x—sin(2x—7).

則函數(shù)/(久)的最小正周期T=y=7T,

由2x—g=/CTT+5，kEZf

得2X=/CTT+y,k&Z,

即x=：+5kez,

即圖象的對稱軸為“與+半fcez；

(2)v-^<x<=

-7<2%<7T,

o

:.—TT<c2x—7T<—57r,

3-6-6

則當(dāng)2x冶=郛j,函數(shù)取得最大值為/Xx)=s嗚=1,

當(dāng)2x->一狎j,函數(shù)取得最小值為人為=sin(—今=一?，

即函數(shù)的值域?yàn)閇