2023-2024學(xué)年安徽省部分學(xué)校高二年級上冊階段性測試一數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年安徽省部分學(xué)校高二上學(xué)期階段性測試(一)數(shù)學(xué)試

題

一、單選題

1.設(shè)集合A={x|lo&(x+1)<2},B={x|x<4},則他A)cB=()

A.[1,4]B.(fl]u[3,4]

C.[3,4]D.[3,4]

【答案】D

【分析】先化簡集合A,再求出最后根據(jù)交集的概念求出結(jié)果.

【詳解】由Iog2(x+D<2可得-l<x<3,即4={四—l<x<3},

々A={x|x4-1或xN3},所以@A)cB={x|x4-^3VxW4}.

故選：D

2.在空間直角坐標系。-沖z中，點43,4,5)與點8(-3,4,-5)()

A.關(guān)于平面xOz對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于平面)Oz對稱D.關(guān)于X軸對稱

【答案】B

【分析】由空間點關(guān)于軸或面對稱的性質(zhì)，判斷已知點的對稱軸或?qū)ΨQ平面.

【詳解】由點A和點8的縱坐標相同，其他坐標互為相反數(shù)，故它們關(guān)于y軸對稱.

故選：B

3.若光線沿傾斜角為120。的直線射向y軸上的點40,Y),則經(jīng)，軸反射后，反射光線所在的直線

方程為()

A.y=>/3x-4B.y=-4^>x-4

C.y=-^-x-4D.y=—^-x-4

33

【答案】A

【分析】由光的反射性質(zhì)確定反射光線的傾斜角，進而求斜率，應(yīng)用點斜式寫出解析式即可.

【詳解】光線沿傾斜角為120。的直線射向軸上的點40,T),

經(jīng)V軸反射后反射光線所在的直線的傾斜角為60。，則反射光線斜率左=tan600=百，且反射光線過

點40,-4),

故反射光線所在的直線方程為y=0X-4.

故選：A

4.已知三條直線2x+y-4=0,履―y+3=0,x—y—2=0交于一點，則實數(shù)女二()

A.-1B.1

C.-3D.1

24

【答案】C

【分析】聯(lián)立不含參直線求出交點坐標，再代入含參直線方程求參數(shù)即可.

(2JV+y_4—0fx=2

【詳解】由,c二=一八，即兩直線交點坐標為(2,0),

[x-y-2=0[y=0

3

代入fcr—y+3=0得：2々-0+3=0=上=-1.

故選：C

5.已知a=33,Z?=93c=(3)"則a/,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<CB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較“為的大小，利用幕指數(shù)運算可比較“，c大小，即得答案.

12

【詳解】因為6=始=35,且>=3、是R上的增函數(shù)，

故0=乂=?</=33=27,

故c<a<6.

故選：D

6.已知向量〃以｛a,b,c｝為基底時的坐標為(2,-3,3),則〃以｛a-b,a+/>,3c｝為基底時的坐標為(

A.,1)B.(—―J)

2222

C.(1,3,2)D.(12)

【答案】A

【分析】因為向量p以｛a,b,c｝為基底時的坐標為(2,-3,3),所以可以得到p=2a-3"3c,

又因為p以｛a-"a+〃,3c｝為基底，所以可以將p設(shè)為p=x(a-勿+y(a+6)+3zc，

通過空間向量基本定理可以得到關(guān)于工，y，z的方程，從而得到〃以｛〃-4。+6,3可為基底時的坐標.

【詳解】因為向量p以｛。也C｝為基底時的坐標為(2,-3,3),所以〃=2a-3b+3c.

設(shè)p=x(a-b)+y(a+b)+3zc=(x+y)a+(y-x)b+3zc,

x=—5

'x+y=22

由空間向量基本定理可得，)-x=-3,解得，y=-1

3z=31

z=l

因此，p以｛“-反。+反3c｝為基底時的坐標為

故選：A

7.已知x<0,y<0,則二----J的最大值為()

x+2yx+y

A.2-V2B.I

C.3-2及D.3+20

【答案】C

【分析】對題中代數(shù)式進行變形，利用基本不等式進行求解即可.

【詳解】因為x<0,y<0,所以x+y<0,x+2y<0n^^>0,

x+2y

2yy2I2I

于是有一----"―=M------------)=Kx+2y)-(x+y)](------------)

x+2yx+yx+2yx+yx+2yx+y

=372+迎斗3號且亙=3_20

當且僅當x+2y=V2(x+y),即)=0時等號成立，

所以原式的最大值為3-2后.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是進行如下變形：

--------:-=y(-----------)=[(x+2y)-(x+y)](—------------).

x+2yx+yx+2yx+yx+2yx+y

8.如圖，在棱長為2的正方體中，點E,尸分別是棱BC,CG的中點，若直線A(與

平面A瓦■交于點〃，則線段。M的長度為()

B.2

2

C.加

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線可得〃(：2；4,；2)，進而根據(jù)空間中點點距離即可求解.

【詳解】如圖，連接AC,因為直線AC與AF都在平面AACC內(nèi)，

所以直線\C與AF的交點即AC與平面AEF的交點M,

由于E尸〃44,且碇=；例，故由三角形相似，可得

以Z)為原點，D4為尤軸，OC為y軸，DR為z軸建立空間直角坐標系，

442

則4(2,0,0)1(0,2,1),卬0,0,2),所以AF=(—2,2,1),從而AM=

所以M的坐標為所以|Z)M=J($2+g)2+g—2)2=2,

二、多選題

9.已知向量〃=(1,1,1)S=(一1,0,2),則()

A.\a\=>/3

B.與a同向的單位向量為(當，等,日)

C.ab=-\

D.cos(a,b)=^^-

【答案】ABD

【分析】由點坐標求向量的模，單位向量的定義求與a同向的單位向量，坐標運算求數(shù)量積、夾角

判斷各項正誤.

【詳解】由題設(shè)|a|=J『+[2+]2=6,與0同向的單位向量為言=A、B正確;

由數(shù)量積的坐標運算得。"=lx(T)+lxO+lx2=l,C錯誤;

,----------「.a-by/\5

由網(wǎng)=4-1)2+22=石,則8$4/=麗=入，D正確.

故選：ABD

10.已知..ABC中，點8(2,1)和C(—2,3),則下列說法正確的是()

A.|BC|=26

B.BC邊所在直線的方程為x+2y+4=0

C.邊BC上的高所在直線的傾斜角為鈍角

D.若43⑵，則一ABC的面積為3

【答案】AD

【分析】A由兩點距離公式判斷；B將己知點代入驗證即可；C兩點式求BC的斜率，進而確定對應(yīng)

高的斜率，結(jié)合傾斜角與斜率關(guān)系判斷；D點斜式寫出的方程，求點A到直線BC的距離、|8C|,

應(yīng)用三角形面積公式求面積.

【詳解】由|BC|=J(2+2)2+(l_3)2=2亞,故A正確；

將(2,1)代入x+2y+4=0,則2+2+4W0,故B錯誤:

須c=-J=-〈，故邊8c上的高所在直線的斜率為2,故C錯誤;

-2—22

由C分析，邊8C所在直線的方程為y—3=—g(x+2)nx+2y-4=0,

|3+4-4|

點A到直線8c的距離為"=又|BC|=2右,

所以一ABC的面積為3,故D正確.

故選：AD

11.已知meR,直線4："?x+y+l=O,/2：x-my+l=O,4與4交于點M,則下列說法正確的是（）

A.當a=1時，直線乙在x軸上的截距為1

B.不論，”為何值，直線4一定過點（0,7）

C.點M在一個定圓上運動

D.直線4與直線4關(guān)于直線y=x對稱

【答案】BC

【分析】A由解析式確定X軸上的截距判斷；由方程確定4與4相互垂直及所過定點坐標判斷B、C；

根據(jù)對稱軸為）'=x,互換其中一條直線的x，y判斷是否與另一直線方程相同判斷D.

【詳解】當初=1時，直線4：x+y+l=0在x軸上的截距為T,故A錯誤；

直線4：/nx+），+l=0,當x=0時y=—l恒成立，所以“亙過定點（0,-1）,故B正確；

因為不論"?取何值，直線4與4都互相垂直，且/「恒過定點（°，T），4恒過定點（T，0），

所以點M在以（0,-1）和（-1,0）為直徑的端點的圓上運動，故C正確；

將方程〃a+），+1=0中的x,y互換得到四，+x+l=0,與直線4的方程不一致，故D錯誤.

故選：BC

12.在棱長為2的正方體4BCO-ASGA中，M,N分別為棱3C,G"的中點，則下列說法正確的

是（）

A.M,N，A，8四點共面

B.AtMlAB,

C.過點A，的平面被正方體所截得的截面是等腰梯形

D.過MN作正方體外接球的截面，所得截面面積的最小值為費

【答案】BCD

【分析】對于A,畫出圖形，假設(shè)四點共面，由面面平行的性質(zhì)推出矛盾即可驗證；對于B,畫出

圖形，由先證線面垂直，即證明平面A8C,由此即可驗證；對于C,畫出圖形，通過觀察并

簡單推理即可驗證；對于D,畫出圖形，若要所得截面的面積最小，則截面圓的圓心為線段MN的

中點，通過數(shù)形結(jié)合計算即可驗證.

【詳解】對于A,如圖所示：

M”，A，B四點共面，且由題意有面ABCDH面A4cd,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可知

又AD//BC,

所以AN〃AA，顯然不成立，故假設(shè)不成立，故A錯誤;

對于B,如圖所示:

；BC1平面AABBi,AB,c平面AtABBt,

：.BC1ABX,

VABIBC=B,且ARu平面ABC,C8u平面ABC,

AB|_L平面ABC,

又AMu平面ABC,從而故B正確；

對于C,如圖所示:

1

取CG的中點p,易得PN〃AB,所以P,N，A，B四點共面,

易知AN=8P,所以四邊形ANP8為等腰梯形，故C正確;

對于D,如圖所示:

1

要使過MV的平面截該球得到的截面面積最小,

則截面圓的圓心為線段MN的中點Q,

連接OM,ON,則OM=QN=0,MN=瓜,

所以|0Q|=’的—心加沙=乎，此時截面圓的半徑r=J*。。］?=乎

2

57r

所以可得截面面積的最小值為兀x=—,故D正確.

2

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，通過數(shù)形結(jié)合進行推理以及計算，從而順

利求解.

三、填空題

13.已知傾斜角為a的直線/經(jīng)過點(2,-3),且cosa=3叵，則直線/的方程為.

13

【答案】2x-3y-13=0

【分析】根據(jù)題意，求得直線/的斜率，再由直線的點斜式方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得sina=Jl-cos?a=次叵,則tana="4=],即直線/的斜率為4，

13COS6Z33

所以直線/的方程為y+3=：2(x-2),即2x-3y-13=0.

故答案為：2x-3y-13=0

14.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+g)(0<s<W)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則當時,函數(shù)f(x)的

263

值域為.

【答案】[(I]

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得/(x)=sin(2x+J),再由xe[0與，結(jié)合求得函數(shù)

63

的值域.

[詳解】因為/(x)=Sin(2x+⑼的圖象關(guān)于直線x=m對稱,

O

所以2x二+夕=工+E,(k￡Z),可得°=2+也,伏62),

626

又因為0<°<5，所以夕=5，即/'(x)=sin(2x+g),

266

當xe[O,1]時,2x+^e[^,^],所以/'(x)w[彳[].

36662

15.在空間直角坐標系中，若一條直線經(jīng)過點(%,%,z0),且以向量〃=(a,b,c)("c*0)為方向向量,

則這條直線可以用方程七包=三為=二幺來表示，己知直線/的方程為x-l=2y-4=z,則點

abc

P(3,-1,1)到直線/的距離為.

【答案】V13

【分析】根據(jù)題意，得到/的方向向量為〃=*』)，結(jié)合向量的距離公式，即可求解.

x-1_x-2_zI

【詳解】根據(jù)題意，直線/的方程可寫為丁=一廠=7,則/的方向向量為“=。，?』),

22

且過點A(l,2,0),可得|〃|=+F=|,4P=(2,一3,1),貝

\AP-n\

所以在“上投影向量的模為一^=1

APn

故點尸到直線/的距離為4=)2=

\n\

故答案為：VT3.

16.已知向量a,b的夾角為8(8為定值)，忖=彳4=2,當2e(0,+<?)時，卜+20的最小值是?，

則。的大小為.

【答案】?

6

【分析】將卜+義n平方，再結(jié)合數(shù)量積的運算律，以及,+義0的最小值是g結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計

算分析即可得解.

【詳解】|。+勸「=/+2而力+無從=1+440?，+4萬

cos?6、1

=4卜+/COS0+"--4---J+]

22

=4(4+彳6)+1-cos0=4^A++sin6^,

當％=_誓時,|°+勸|==向可,

2=-C°S>0ncos6<0,

2

因為|a+羽1nM=3,所以卜iM=：,

因為。€[0,司，所以sin4=1,所以0=2或?qū)W，

266

因為cos6<0,所以6=學(xué).

故答案為：-

O

【點睛】方法點睛：求向量模的常見思路與方法：

(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用1=停，勿忘記開方；

(2)或卜卜丘，此性質(zhì)可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化;

(3)一些常見的等式應(yīng)熟記：=a±2a-b+b,(a+b)(a-b)=a~-b"等.

四、解答題

17.已知函數(shù)人幻=J2—X的圖象與＞軸交于點P,且點尸在直線x+y=l上

2—CL

⑴求。的值；

⑵求不等式/（x）＞，4的解集.

【答案】（1）1

（2）（-1,2）

【分析】（1）先求P點坐標，代入f（x）=J—可得；

2—ci

（2）由Ax）*化簡整理得（2X2'-1）（2'-4）＜0,所以;＜2，＜4,故

【詳解】（1）因為點尸在y軸上，且在x+y=l上所以點/＞的坐標為（0,1）,

2°

所以f（0）=^^^^—=1,得〃=1

2一。

9X

（2）因為a=l,所以/（?=手口

42、42、4

由/?>亍得即——>0,

!L-1/2x2'-17

7x2v-4（2x2J-l）

-2*+4n

整理得7（2x2J-l）->0即7（2x2<l）>，

所以（2x2'-l）（2=4）＜0,

即1=2-'＜2V＜4=22,

2

因函數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，所以

故不等式”x）＞］4的解集為（-1,2）

18.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-4BC。中，E為棱的中點，尸為棱BB|的中點.

（1）求異面直線與C/所成角的余弦值;

(2)求直線AA,與平面A8￡所成角的正弦值.

【答案】(D畫

10

⑵|

【分析】(1)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得FG=(-l,0,g),A4=(0,1,1),結(jié)合向量

的夾角公式，即可求解；

(2)求得向量A4,=((),0,l)和平面48建的法向量為〃=(1,-2,2),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)解：以O(shè)為坐標原點，以。AOCDR所在的直線分別為x軸、V軸和z軸建立空間直

角坐標系，如圖所示，

則B,(1,1,1),E(0,0,g),尸(1,1,g),4(1,0,0),G(0,1,1),A(1,0,1)，

可得FG=(-1,0,g),Aq=(0,1,1)

設(shè)異面直線與C尸所成角為e,

1

FC],AB\

則cos0=|cos(FC],4耳)=Vio

lo-

所以異面直線與C/所成角的余弦值為強.

(2)解：由44=(0,l,l),AE=(-l,0,g),4A=(0,0,l),

AE=-x+—z=0

設(shè)平面ABE的法向量為〃=(W),則〈2

n-AE=y+z=0

取z=2,可得x=1,y=-2,所以〃=(1,一2,2),

設(shè)直線A4與平面A8萬所成角為。

所以直線A4與平面ABE所成角的正弦值為g.

19.己知JRC的頂點A（4,-2）,頂點C在x軸上A8邊上的高所在的直線方程為x+2y+a=0.

⑴求直線45的方程；

（2）若AC邊上的中線所在的直線方程為x-y-4=0,求加的值.

【答案］（1）2x770=0

⑵〃7=-2

【分析】（1）求出直線AB的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；

（2）設(shè)點C&0）,求出線段AC的中點。的坐標，將點。的坐標代入直線x-y-4=0的方程，求

出，的值，可得出點C的坐標，再將點C的坐標代入直線x+2y+〃?=O的方程，即可求出實數(shù)〃，的值.

【詳解】（1）解：由條件知48邊上的高所在的直線的斜率為所以直線的斜率為2,

又因為A（4,-2）,所以直線AB的方程為y+2=2（x-4）,即2x-y-10=0.

（2）解：因為C點在x軸上.所以設(shè)C&0）,則線段AC的中點為。（一,一1,

點。在直線x-y-4=0上，所以12+1-4=0,得［=2,即C（2,0）,

又點C在直線x+2y+m=0上，所以2+加=0,解得力=-2.

20.在二ABC中，記角A8,C所對的邊分別為a,〃,c,已知J3asin8=26+6cos4.

⑴求角A；

（2）若3sin3=2sinC,。為邊BC的中點，求的值.

【答案】（1）127c

⑵3

2

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角差的正弦公式計算可得;

（2）由正弦定理可得揚=2c,設(shè)N3AD=。，再由SA5D=SAS，

即;c?AQ?sin6=；Z?.AQ?sin（■—,即可得至I」3sin6=2sin（會一6

由兩角差的正弦公式及同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.

【詳解】（1）因為gasin8=2〃+AcosA,

由正弦定理可得百sinAsin8=2sin3+sinBcosA,

又3￡（0,兀），所以sinBwO,所以Gsin4-cosA=2,

又Ae(O,兀)，所以=所以A=§.

623

(2)因為3sinB=2sinC,所以由正弦定理得3〃=2c,

2兀

設(shè)NBAD=e,貝IJNC4)=丁-e,

因為AO為8c邊上的中線，所以SABOMSACO，

即;c?A￡>?sin6=g。?A￡>?sin（會一6）,

即3sin0=2sin（會一?）=21呼cosO+gsin夕，

ln

即2sin?=百cos，，顯然cosOwO,所以tanO=^,

2

向

即tan/BAD=—.

2

21.已知直線/的方程為（機+2）x-y-（l+3m）=。.

⑴若/與直線x+2廠3=0垂直，求實數(shù)機的值；

⑵當/與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積最小時，求/的方程

【答案】（1）機=0

⑵5x+3y-30=0.

【分析】(1)根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系求參；

(2)先求出直線在坐標軸的截距，再結(jié)合面積公式應(yīng)用基本不等式求最小值即可.

【詳解】(1)由已知得/的斜率為加+2,

因為/與直線x+2y-3=0垂直，所以一gx(,w+2)=-l,

解得〃7=0.

(2)令y=0,得1=匕絲，令x=0,得y=-1-3相，

由匕”>0且—1—3，〃>0,解得2.

m+2

所以/與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形的面積S=：1x1t+=3加x(-1-3〃。=-(1產(chǎn)+3機&產(chǎn)

2m+22(m+2)

令，=機+2,則，<0,所以=

所以s=_LX⑶-5)=-l(9r+—-30)=-[(-9O+—+30]>i(2)9x25+30)=30

2t2t2-t2

當且僅當f=g,即機=-j時取等號，此時三角形面積最小

此時/的方程為-|x-y+10=0,即5x+3y-30=0.

22.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=\,PA=PB=PC=AC=亞，。為棱4c的中點

(1)證明：平面PAC_L平面ABC；

⑵若點M在棱BC上，且PC與平面R4/W所成角的正弦值為也，求二面角M-EA-C的大小

4

【答案】(1)證明見解析

(2)30°

【分析】對于(1),通過題目條件，可以分別得到80和P。長度，分別通過勾股定理和等腰三角形

的三線合一得