2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結(jié)一輪復習講義 第35講 空間向量的運算及其坐標表示

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第35講空間向量的運算及其坐標表示(精講)

題型目錄一覽

①空間向量的線性運算

②空間共線、共面向量定理的應用

③空間向量的數(shù)量積運算

、知識點梳理

一、空間向量及其加減運算

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也可用有向線段表

示，有向線段的長度表示向量的模，若向量。的起點是A,終點是3,則向量”也可以記作,其模記為忖或,8卜

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作0.當有向線段的起點A與終點8重合時，AB^O.

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.

空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.

與向量“長度相等而方向相反的向量，稱為。的相反向量，記為

(4)空間向量的加法和減法運算

①OC=OA+OB=a+b,BA=OA—OB=a—b.如圖所

②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律

a+b=b+a,[a+b\+c=a+\b+c\

二'空間向量的數(shù)乘運算

(1)數(shù)乘運算

實數(shù)2與空間向量〃的乘積4〃稱為向量的數(shù)乘運算.當4>0時，X。與向量［方向相同；當％<0時，向量與向

量，方向相反.的長度是。的長度的囚倍.

(2)空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律：A(a+b)^Aa+Ab,彳(聞=(布)a.

(3)共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，a平行于6,記

作■al1b.

(4)共線向量定理：對空間中任意兩個向量a,“20),a//6的充要條件是存在實數(shù)4,使°=助.

(5)直線的方向向量

/為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量”的直線.對空間任意一點O,點尸在直線/上的充要條件是存在實數(shù)f,

使OP=Q4+〃①，其中向量。叫做直線/的方向向量，在/上取=則式①可化為

OP=a4+MB=CM+?OB-Q4)=(l-f)Q4+rQB②

①和②都稱為空間直線的向量表達式，當/=g,即點P是線段4?的中點時，OP=1(OA+OB),此式叫做線段4?

的中點公式.

(6)共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量a,作。4=a,如果直線。4平行于平面tz或在平面a內(nèi)，則說明向量。平行

于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a"共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使°=xa+淡.

推論：①空間一點尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使AP=xA8+yAC；或?qū)臻g任意一

點O,有。尸-04=xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表達式.

②已知空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,滿足向量關(guān)系式OP=MM+yO8+zOC(其中x+〉+z=l)

的點尸與點A,B,C共面；反之也成立.

三、空間向量的數(shù)量積運算

（1）兩向量夾角

已知兩個非零向量〃，b,在空間任取一點O,作。4=Q,OB=b,則NAO3叫做向量Q,b的夾角，記作卜,可，

通常規(guī)定4萬，如果（〃,》）=]，那么向量。，人互相垂直，記作〃J_b.

（2）數(shù)量積定義

已知兩個非零向量〃，b,則同WcOS（Q?叫做4，人的數(shù)量積，記作。也即=.零向量與任何

向量的數(shù)量積為0,特別地，

（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：

（九）方二川山4，a'b-b'a（交換律）；

a-（b+c\=a'b-}-a-c（分配律）.

知識點四：空間向量的坐標運算及應用

（1）設(shè)4=（〃1，〃2，〃3），人二（耳也也），則〃+0=（%+配%+62，。3+4）；

Q_Z?=（4一4,出一4，。3—4）；

/IQ=（4%,丸〃2,4。3）5

a-b=01bl+a2b2+a3b3；

〃//辦僅力0）=4=勸“2=也，生=私；

a_Lbn%瓦+a2b2+a3b3=0.

（2）設(shè)A（X],%,zJ,B（x2,y2,z2）,則AB=05—OA=--M，Z2-4）.

這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標.

（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

①已知a=Si，%,%），b=（4也也），則,卜=Ja：+%?+42；

忖=\[b~=yjb：+b；+42；

a-b=01bl+a2b2+a3b3；

7「3+仗】她.

、/Ja：+a；+WJ/7；+b；+b；

②已知A（%，M，ZJ,B（x2,y2,z2）,則網(wǎng)=%2）2+（必-，2『+（4-22）2,

或者d(A,3)=|AB|.其中d(A,2)表示A與3兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.

(4)向量。在向量。上的投影為

二、題型分類精講

題型二空間向量的線性運算

畬策略方法用基向量表示指定向量的方法

(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

⑶利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

【典例1】在空間四邊形ABC。中，G為△BCD的重心，E,F,//分別為邊CD,和的中點，化簡下列各

表達式.

(1)AG+1B￡+|CA；

(2)|(AB+AC-A￡>).

【答案】⑴A尸

⑵FH

【分析】(1)根據(jù)空間向量的運算法則運算即可；

(2)根據(jù)空間向量的運算法則運算即可求解；

【詳解】⑴根據(jù)空間向量的運算法則，可得46+射+：。1=48+33+件+3。1

=AB+-BE+-BE+-CA=AB+BE+-CA=AE+-CA

33222

=-AC+-AD+-CA=-AD=AF.

2222

(2)分別取AB,AC的中點P,Q,連接PH,QH,則四邊形APHQ為平行四邊形，且有

|AB=AP,\AC=AQ,AP+AQ=AH,^AD=AF,

根據(jù)空間向量的運算法則，可得AB+AC-AD)=-gA。=-轉(zhuǎn)=切.

A

【題型訓練】

一、單選題

1.(2022?全國,局二專題練習+2Z?—3c)-3(4-2Z?-c)=()

555359

A.——a-4cB.——a+4b-2cC.——a+7b+—cD.——a-5b——c

222222

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可.

【詳解】|(Q+2Z?-3c)—3(〃-2Z?10)=一萬(1+71}+萬c.

故選：C

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖,在斜棱柱48。。-4月。|〃中,AC與3。的交點為點AB=a9AD=bA\=c,

則MC、=（）

B.——a——b—c

22

117

D.——a——b+c

22

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算用，，瓦。表示出即可得.

【詳解]C.M=AM-AC.=1（AB+AD）-（AB+BC+CC1j=-1?-1z7-c,

——1-1

MG=-CM=-a+-b+c.

11]22

故選：A.

3.（2023?全國?高三專題練習）已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為平行四邊形，M,N分別為棱5C,尸。上的點,

設(shè)AB=a，AD=b，AP=c,則向量MN用｛a,"c｝為基底表示為（

(2H—bT---CB.—ClH—bH—c

3262

a—hH—cD.—a——b+—c

3262

【答案】D

11_

【分析】由圖形可得MN=MC+C￡>+ON,根據(jù)比例關(guān)系可得MC=§A。，DN^-DP,再根據(jù)向量減法

DP=AP-AD<代入整理并代換為基底向量.

【詳解】MN^MC+CD+DN^-AD-AB+-DP^-AD-AB+-^AP-AD^=-AB--AD+-AP

323262

即MN=—a——b+—c

62

故選：D.

4.（2023?全國?高三專題練習）已知在四面體O—ABC中，E為Q4的中點，CF=；CB,OA=a,OB=b,OC=cf

則EF=（）

B.——a——b+—c

233

D.——a+—b+—c

233

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運算法則，準確運算，即可求解.

【詳解】如圖所示，因為E為。1的中點，CF=；CB,且函=°,。8=反0?=",

1212121112

貝!|石尸=。尸一OE=（O5+5尸）一一OA=b+-BC——a=b+-（OC-OB）一一a=b+-（c-b）一一a=——a+-b+-c.

33333

故選：D.

B

二、多選題

5.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，M是四面體。43。的棱的中點，點N在線段上，點P在線段4V

2

上，且AP=3PN,ON=-OMf設(shè)。4=〃，OB=b，OC=c，則下列等式成立的是（）

A.OM=—b——cB.AN=—b+—c—a

2233

113

C.AP=—b——c——aD.OP=—a+—b+—c

444444

【答案】BD

【分析】由于a,b,c不共面，可以作為基底，將。尸表示出來即可.

【詳解】由圖可知，OM=^OB+OC)=^(b+c),A錯誤；

。。111

AN=ON-OA=—OM-OA=—x—(b+c\—a=—b+—c—a,B正確;

332、/33

-333(17I113…口

AP=—AN=—\-b+—c-a\=—b7+—c——a,C錯誤；

44(33J444

OP=OA.+A.P=ci-\—bH—c—a=—ad—bH—c,D正'確^；

444444

故選：BD.

三、填空題

6.（2023?全國?高三專題練習）在長方體A3CD-AAG，中，設(shè)A3=a，AD=kAA.=c,若用向量外b、c表

示向量AC1，則=

【答案】a+b+c

【分析】根據(jù)空間向量的加法法則求解即可

UL1UUUUUUU1ULUJLUUUUU1UUUU111

【詳解】由題意，AC^AB+BC+CC^AB+AD+A^^a+b+c

故答案為：a+b+c

7.(2023?高三課時練習)已知在四面體O-ABC中，點M在線段。4上，＞OM=2MA,點N為8C中點，設(shè)。4=.,

OB=b，OC=c，則MN等于.

【答案】-丁2+甘1+1*

【分析】根據(jù)向量的運算法則即可求解.

【詳解】如圖所示：

。1

可知：MN=MO+ON=--OA+-(OB+OC]

32、)

211

即MN=——a+—b+—c,

322

211

故答案為：--+―+―.

題型二空間共線.共面向量定理的應用

畬策略方法證明三點共線和空間四點共面的方法比較

三點(P,A,B)共線空間四點(M,P,A,3)共面

"=7協(xié)且同過點PM^=xM^+yM^

對空間任一點。，0P=0\+tAB對空間任一點。，OP=OM+xMX+yMB

對空間任一點。，OP=xOX+(l-x)OB對空間任一點。，OP=xOM+ydk+(\-x-y}dB

【典例1】已知向量＞=(1,1,0))=(-1,0,2),若如+。與2a-b平行，則實數(shù)上的值為()

A.——B.-C.—2D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量共線定理求解即可

【詳解】因為2=(1,1,0)石=(-1,0,2),

所以上a+6=左(1,1,0)+(-1,0,2)=(左一1,k,2),

2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

因為壇+6與平行，所以存在唯一實數(shù)2,使左。+6=彳(2°-6),

1=34

k=-2

所以("1水,2)=〃3,2,-2),所以左=22,解得

2=-l>

2=-2A

故選：C

【典例2】。為空間任意一點，^OP=^-OA+-OB+tOC,若A、B、C、尸四點共面，則/=()

48

A.1B.—■C.—D.一

284

【答案】C

【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出f的值.

【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：。尸=尤。4+y。3+2。(7,且A、B、C不共線,

若A、B、C、P四點共面，則x+y+z=l,

-31

因為。為空間任意一點，^OP=-OA+-OB+tOC,且A、B、C、尸四點共面，

48

所以，=3+51+仁1，解得f1

488

故選：C.

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)已知向量d=(2m+1,3,m—1),b=(2,m,~m),且,//b,則實數(shù)m的值等于()

A.—B.一2

2

C.0D.3或一2

2

【答案】B

【分析】利用空間向量平行的坐標表示，即可求得結(jié)果.

【詳解】當m=0時，(7=(1,3,—1),8=(2,0,0),

a與b不平行，，m#,Vdllb，

.2m+l3m-1&力/口-

'.一==='解得2.

故選：B

2.(2023?全國?高三專題練習)在下列命題中:

①若向量共線，則向量a/所在的直線平行;

②若向量所在的直線為異面直線，則向量《涉一定不共面;

③若三個非零向量a,6,c兩兩共面，則向量共面；

④已知空間的三個不共面向量a,,則對于空間的任意一個向量P,總存在實數(shù)無，y,z使得p=xa+yb+zc.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】①②空間向量出〃共線不代表所在直線平行，且空間任意兩向量都共面，即可判斷；③利用四面體四條側(cè)

棱說明即可；④根據(jù)空間向量基本定理即可判斷.

【詳解】①若向量6共線，則向量〃力所在的直線平行或重合，錯誤；

②若向量6所在的直線為異面直線，由向量位置的任意性，空間中兩向量可平移至一個平面內(nèi)，故“涉共面，錯

誤；

③若三個向量。力,c兩兩共面，如下圖：顯然a,b,c不共面，錯誤；

④已知空間的三個不共面向量a,4c,則對于空間的任意一個向量p,根據(jù)空間向量基本定理知：總存在實數(shù)x,y,z

使p=xa+y6+zc,正確.

所以正確的個數(shù)是1,

故選：B

3.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)向量不共面，空間一點尸滿足OP=xOA+yOB+zOC,則A,民C,尸四

點共面的一組數(shù)對（x,y,z）是（）

a-日b-R44}c-口.m

【答案】c

【分析】利用空間共面向量定理的推論即可驗證得到答案.

【詳解】空間一點尸滿足。尸=MM+yOB+zOC,若A,民C,尸四點共面，則x+y+z=l

x+y+z=*+；=$i.判斷錯誤;

選項A：

選項B：x+y+z=4+3+6=4*1?判斷錯講

131

選項C：x+y+z=一:+:+7=1?判斷正確；

442

1215

選項D：x+y+z='+?|wl.判斷錯誤.

故選：c

4.(2022?全國?高三專題練習已知4=(2,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(7,5㈤，若a,42三向量共面，則?等于()

62r八-64r65

A.—B.9C.—D.—

777

【答案】D

【分析】由a,b,c共面，設(shè)c=ma+〃b，列方程組即可求出入的值.

【詳解】,:a,b>d共面，

^c=ma+nb(私”為實數(shù))，即(7,5,田=機(2,-1,3)+川-1,4,一2),

2m-n=7

.AUAWZR3317c65

..<—m+4n=5,解得m=——,n=一,2=——.

c-c777

3m-2n=2

故選：D.

5.（2023?全國?高三專題練習）己知a=（2,l,-3）,6=（-1,2,3）,c=（7,6,2）,若a,b,c三向量共面，則九=（）

A.9B.3C.-9D.-3

【答案】C

【分析】利用空間向量的共面定理得到c=ma+"b，再利用空間向量相等的性質(zhì)及坐標運算即可得解.

【詳解】因為a,b,c三向量共面，

所以存在實數(shù)相，〃，使得c=〃za+泌，

即（7,6"）=鳳2,1,—3）+〃（-1,2,3）=（2加一〃，加+2〃,一3〃2+3〃）,

7=2m-n

所以，6=m+2w,解得；I=-9,

2=-3m+3〃

所以％=-9.

故選：C.

二、多選題

6.（2023?全國?高三專題練習）若加,仇。｝構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

A.a+b+c,a-b,2b+cB.a—b,a—c,b—c

C.a+2b,a-2b,a+cD.a-2b,6b-3a,-c

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量共面的知識對選項進行分析，由此確定正確選項.

【詳解】選項A,因為a+b+c=(a-6)+(26+c),所以a+b+c,a—b,2b+c共面；

選項B,因為a-6=(a-c)-(B-c),所以-c共面；

選項C,在a涉構(gòu)成的平面內(nèi)，a+c不在這個平面內(nèi)，不符合.

選項D,因為。-26,66-30共線，所以a-2b,6b-3a,-c共面.

故選：ABD

三、填空題

7.(2023?高三課時練習)已知向量a=(8,3,x),人=(2y,6,5),若°//人則x+y的值為.

,21

【答案】y

【分析】由a//6,貝!la=46,代入坐標，建立等式，解出即可.

【詳解】解:由題知a//b,所以a=助，XeR,即(8,3,x)=X(2y,6,5),

(-y=8

22y=87

故有3=64,解得;1=51,故無+產(chǎn)￡21.

x=5A?"

ij

x=—

t2

故答案、為:當21

8.(2023?高三課時練習)已知點4X2,1),3(-1,3,4),￡>(1,1,1),若AP=2PB，則I尸21=.

【答案】叵

3

【分析】令尸(x,y,z),利用空間向量的數(shù)量關(guān)系求P坐標，進而求PD的坐標，利用空間向量模的坐標表示求IP。I.

【詳解】令尸(x,"z),則A尸=(x-l,y-2,z-D，PB=(-l-x,3-y,4-z),

1Q

由A尸=2P5，即(％—Ly—2,z—1)=2?(一1一羽3—y,4—z),可得％=_y=§,z=3,

故'。=(§，—§，—2)，

：.\PD\=^~.

故答案為：運

3

9.（2023?高三課時練習）已知。=（2,-1,3）,/?=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）,若a、b、C三向量共面，則實數(shù)九=.

【答案】y

【分析】由題意可得，存在實數(shù)x,y,使，=幽+皿，列出方程組，即可求得答案.

【詳解】因為不平行，且a、b、c三向量共面，

所以存在實數(shù)x,y,使c=xa+y。，

r33

x=——

'7=2x-y7

"17

所以5=f+4y,解得卜=亍，

A=3x-2y_

i（OAJ

Z=—

[7

故答案為：

10.（2022.全國?高三專題練習）設(shè)點C（2Q+1M+1,2）在點P（2,0,0）、A（l,—3,2）、8（8,—1,4）確定的平面上，則實數(shù)

a—.

【答案】16

【分析】利用空間向量共面定理，寫出向量坐標，列出方程組，求解方程組可得答案.

【詳解】由已知得：PC=（2a-l,a+l,2）,21=（T-3,2）,PB=（6,-l,4）；

因為A,3,C,P四點在同一平面上，所以存在x,yeR,使得PC=xPA+yPB,

以（2a—1,tz+1,2）=x（—1,—3,2）+y（6,—L4）=（—x+6y,—3x—y,2x+4y）,

2a-l=—x+6y

所以＜a+l=-3x-y，解得a=16.

2=2x+4y

故答案為：16.

一3一1

11.（2023?全國?高三專題練習）O為空間中任意一點，A,B,C三點不共線，5.OP=-OA+-OB+tOC若尸，A,

48f

B,。四點共面，則實數(shù)/=_.

【答案】:

O

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共面充要條件推理計算作答.

【詳解】因A,B,C三點不共線，P,A,B,C四點共面，則對空間中任意一點O,有OP=OA+xAB+yAC,

31-

即有OP=（l—x—y）QA+xO5+yOC,OP=-OA+-OB+tOC,

48

因此X=：,解得

oo

y=t

所以實數(shù)r

o

故答案為：:

o

12.（2023秋?山東?高三山東某中學?？茧A段練習）已知空間四邊形ABC。的對角線為AC與8。，M,N分別

為線段AB,CO上的點滿足ON=JDC,點G在線段MN上，且滿足MG=2GN，若

34

AG=xAB+yAC+zAD,貝l|x+y+z=.

【答案】I7

【解析】以ABAC,AD作為空間向量的基底，利用向量的線性運算可得4G的表示，從而可得MXZ的值，最后可

得x+y+z的值.

12

【詳解】AG=AM+MG=-AB+-MN,

又MN=AN-AM=AN,

12（1）12

^rAG=AM+MG=-AB+-\AN——AB\=-AB+-AN

33^3J939

^AN=AD+DN=AD+-DC=AD+-（AC-AD）=-AC+-ADf

44、>44

所以+2仁人。+3加=工人3+以。+工皿

93（44J962

因為AB,AC,AD不共面，^x=—,y=—z=-

96929

7

所以x+y+z=“

7

故答案為：—

13.（2023?上海?高三專題練習）在正方體ABC。-A耳GA中，點/和N分別是矩形ABC。和B與GC的中心，若

點、P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中，"、〃、keR,S.m+n+k=l,則點P可以是正方體表面上的點.

【答案】見（或C或AC4邊上的任意一點）

【分析】因為點P滿足DP=〃zD4+w￡）M+5N,其中〃A〃、k&R,且加+力+左=1,所以點AMN三點共面,

只需要找到平面AMN與正方體表面的交線即可.

【詳解】解：因為點P滿足。尸=7〃ZM+〃￡）M+^￡W,其中〃、kwR,且加+凡+左=1,

所以點A,M,N三點共面，

因為點M和N分別是矩形ABCD和BBgC的中心，

所以CN=B[N,AM=MC,

連接MN,A耳，則MNA4,所以AC與即為經(jīng)過A,M,N三點的平面與正方體的截面，

故點P可以是正方體表面上的點與（或C或AC瓦邊上的任意一點）

故答案為：4（或C或AC耳邊上的任意一點）

【點睛】此題考查空間向量基本定理及推論，同時考查了學生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

題型三苴間向量的數(shù)量積運算

畬策略方法空間向量數(shù)量積的應用

設(shè)向量a,b所成的角為6,則cos6-

求夾角

?，進而可求兩異面直線所成的角

求長度」運用公式Ia\2可使線段長度的計算

（距離）1問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

I二二二二二二二二二二二二二二二二二

解決垂I」莉席a1boa?b=

直問題一：直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

【典例1］已知正四面體O-ABC的棱長為1,如圖所示，求:

(l)OAOB;

（2）（OA+OB）（CA+CB）；

（3）|OA+OB+OC|.

【答案】（*

（2）1

⑶而

【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，以及向量的數(shù)量積的運算公式，逐問運算，即可求解.

【詳解】（1）解：在正四面體。4SC中，|。$=|。4=|。4=1,且（OA,O8）=（OAOC）=（OB,OC）=6。。,

可得OA-02=|。州0@cosZAOB=1xlxcos60°=：.

(2)解：由向量的運算法貝!J,nT#(OA+OB)(CA+CB)=(OA+OB)-(OA-OC+OB-OC)

22

=(OA+O5)(OA+O5—2OC)=OA+2OA-OB-2OA-OC+OB-2OBOC

=l2+2xlxlxcos60°-2xlxlxcos60°+l2-2xlxlxcos60°=1+1-1+1-1=1.

(3)解：由儂+?+困=加4+或+陽:獷不力彳匹而羨嬴呼^二折

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）已知正四面體ABCD的棱長為1,且BE=2EC,則

AECD=（）

A.-B.--C.--D.-

6633

【答案】c

【分析】利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解.

【詳解】因為送=2淺，所以CE=￥B.

根據(jù)向量的減法法則，得==

所以AE.CD=[CB-CA^-CD=1（CB.CD）-CA-CD

=-[|CB||CD|cos-|-|CA||cr）|cos-=-xlxlxl-lxlxl

313J3322

2__J_

一k一一十

故選：c.

2.（2023?全國?高三專題練習）已知空間四邊形ABCE）的每條邊和對角線的長都等于a,點E、歹分別是8C、AD的

中點，則AE.A尸的值為（）

A.a2B.-a2C.-a2D.曲■a1

244

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運算運算律可得=：（A8+ACA0,在根據(jù)數(shù)量積的定義求其值.

【詳解】由題意，AB,AO和AC,AD之間夾角均為60。，結(jié)合平面向量線性運算有Af=g（AB+

=-（ABAD+ACAD）

=—(a2cos60°+a2cos60°)=—a2

44

故選：C

3.（2023?全國?高三專題練習）在正三棱柱ABC-A4G中，若AB=B%則然在3G上的投影向量為（）

A.--BQB.-BCtC.正8GD.一顯BC、

4422

【答案】B

【分析】如圖建系，求得各點坐標，可得的IG，根據(jù)投影向量的求法，代入公式，即可得答案.

【詳解】過A作4A分別以A2，AG，AA為x,y,z軸正方向建系，如圖所示,

設(shè)正三棱柱ABC-A4G的棱長為2,

則4(0,0,2),4(73,1,0),3(后,1,2),G(0,2,0)，

所以M=(6,1,—2),BC；=(-V3,l,-2),

所以用在g上的投影向量為|AB1|COS<AB,BQ

lfG.

故選：B

4.(2023?全國?高三專題練習)已知4=(1,1,0),6=(0,1，1),。=(1,0，1),°=。-。，4=4+?-^,則pq=()

A.-1B.1C.0D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算與數(shù)量積的運算法則，求解即可.

【詳解】因為a=(l,l,0),6=(0,1,1),c=(1,0,1),

所以p=a-6=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),

=G+2&-C=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1),

貝!Jpq=lx0+0x3-lxl=—l.

故選：A.

(1

5.(2023秋?北京?高三北理工附中校考階段練習)已知平面向量。=(0,1,0),b=0,--,^,則〃與的夾角為

I227

()

兀r2兀兀57r

A.—B.—C.-D.—

3366

【答案】A

【分析】由題意可得a+6=（0」，史9,設(shè)。與°+人的夾角為6,由cos6=".①+力求解即可.

22\a\-\a+b\

（1百、

【詳解】解：因為。=（0,1,0）,b=0,--,^

所以。+b=（0,；,,

設(shè)。與〃+/7的夾角為。，

則cos*上叵包=2,，

\a\-\a+b\1x12

又因為［0,兀］,

所以6=（.

故選：A

6.（2023?全國?高三專題練習）已知為標準正交基底，a=i+2j+3k,貝。在i方向上的投影數(shù)量為（）

A.1B.-1

C.D.—714

【答案】A

【分析】利用投影向量的定義求解即可

【詳解】因為。=i+2j+33i",人為標準正交基底，

所以°在，方向上的投影數(shù)量為尊=。.'="+2/+3左）"=f+2，/+3-，=f=1,

故選：A

7.（2023?江西南昌,校聯(lián)考模擬預測）如圖，在三棱柱ABC-A4G中,底面邊長和側(cè)棱長均相等，ZBAA.=ZCAA,=60。,

則異面直線A片與8G所成角的余弦值為（）

A.逅B.-C.在

634

【答案】A

【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底

表示，然后利用夾角公式求異面直線A片與BG所成角的余弦值即可.

【詳解】設(shè)A4,=c,AB=a>AC=b,棱長均為1,

由題意，=1x1xcos60=—,b-c=—,a-c=—,

222

ABX=a+c,Bq=b-a-\-c,

/.ABX-BCX=(〃+c).S-a+c)=g-l+g+；-；+l=l,

[A5]|=J(a+c)=\Ci+2a?c+c=Jl+1+1=>\/3，

,G|=J僅-a+c)2=V1+1+1-1+1-1=72,

cos(ABpBC)=HQ=—

二異面直線AB,與BG所成角的余弦值為逅，

6

故選:A.

8.(2023?江蘇淮安?統(tǒng)考模擬預測)在四面體A3CD中，AB=3,BC=4,CD=5,DA=6,則ACBO的值為()

A.7B.9C.11D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】因為AC=A3+8C,BD=BC+CD>

所以AC.BO=(AB+2C).(8C+CZ))=A2.BC+AB.Cr)+Bc2+2C。

=16+AB-BC+AB-CD+BC-CD,

又AB+BC+CD=AD，所以(AB+BC+CD)2=4爐，

即AB2+BC1+CD+2AB-BC+2ABCD+2BCCD=AD2，

即32+42+52+2AB-BC+2ABCD+2BCCD^62,

所以48衣+48。+8。。=-7，

所以AC-2O=9.

故選：B

9.（2023秋?福建莆田?高三莆田一中校考開學考試）如圖，平行六面體ABCD-ABCR的底面A3CD是矩形,

AB=6，AD=y[l，M=2V2,且/AAO=/AAB=60。，則線段AQ的長為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由A4=AC+C6,轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由AC；=AC+CC],可得=AC：=（AC+CCJ=AC2+2ACCG+CC：,

因為底面為矩形，AB=C,AD=O,AAl=2y[2,

所以AC。=|AC|2=2+2=4,CCj2=|CC|「=8,

又AC?CCi=（AB+A￡＞）.CG=AB-CG+池?C￡

0

=|AB|-|CC1|-COS60+|AD|.|CC1|-COS60°=V2X2A/2X|+V2X272X1=4,

所以|ACJ=|AC'+2ACCG+|ccj=4+2x4+8=20,貝（|陷]=2君.

故選：B

10.（2023?陜西西安??？寄M預測）已知點尸在棱長為2的正方體ABCD-ABG。的表面上運動，則叢.尸臺的最

大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】取中點。，連接P。，利用向量的線性運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)可得.

【詳解】取A3中點O,連接尸。，如圖，

DiG

貝！JPA.P3=(尸0+04)?(PO+OB)=PO。-04。=PO。一1,

當尸在正方體表面上運動時，運動到2或G處時，P。最大,

所以POL=D.D2+DA2+AO2=9,

所以PA-的最大值為8.

故選：C

二、多選題

11.（2023秋?福建莆田?高三莆田八中?？茧A段練習）設(shè).、b為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有

（）

a，b

AbD2||2

A.-----=—B.a=\a\

aa11

C.=a-b2D.（a-b）=a—2a-b+b2

【答案】BD

【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，向量不能作除法，A錯；

對于B選項，/二停，B對；

對于C選項，（0./?）=（瓦比05（4,磯=|"|||cos2<a-b,C錯；

對于D選項，（a-b^=ci-2a-b+b,D對.

故選：BD.

12.（2023?全國?高三專題練習）下面四個結(jié)論正確的是（）

A.空間向量。,。（〃工0,〃。0）,若則〃?/?=（）

13

B.若空間四個點P,A氏C,PC=-PA