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文檔簡介
§4.2洛必達法那么一、未定式五、其他類型未定式的極限二、“
”型未定式的極限三、“
”型未定式的極限四、洛必達法則失效的情況一、未定式例如以下極限都是未定式
如果在某一過程中
函數(shù)f(x)與F(x)同是無窮小量或同是無窮大對于型極限有沒有更簡單、更一般的求解方法??因式分解復(fù)雜二、“
”型未定式的極限定理41(洛必達法那么I)說明當定理中xa改為x時洛必達法那么同樣有效(L’Hospital,1661-1704,法國數(shù)學(xué)家)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件
令f(a)
g(a)
0
于是f(x)及g(x)在點a的某鄰域內(nèi)連續(xù)
在該鄰域內(nèi)應(yīng)用柯西中值定理
有
簡要證明
定理41(洛必達法那么I)如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足(1)當xa時f(x)0g(x)0(2)在點a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且g(x)0
解
原式
解
例2.
解
驗型
解
例3.例4.例5.解:原式=
存在非零因子化簡例7.例8.
因ex
1~x(x
0)
故有ex
sinx
1~x
sinx(x
0)
因arcsinx~x(x
0)
故有arcsinx3~x3(x
0)
例9.
注:
洛必達法那么是求解未定式極限的有效方法,但是要結(jié)合各種方法,以求最捷方式.1〕等價無窮小替換法2〕將極限存在的非零因子別離出來不參與洛必達法那么的運算.3〕過程中注意化簡.2.只要滿足條件,可屢次使用洛必達法那么.但每次使用前都必須檢驗極限類型是否為型.
定理42(洛必達法那么II)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足說明當定理中xa改為x時洛必達法那么同樣有效三、“
”型未定式的極限
解
例10.例11.例12.結(jié)論:都是無窮大量,但是它們的階數(shù)不相同,即有:極限不存在出現(xiàn)循環(huán)四、洛必達法那么失效的情況
注:
使用洛必達法則時,若不存在,也不為
,這不能說明原極限不存在,此時洛必達法則“失效”,應(yīng)改用其它方法計算.五、其他類型未定式的極限
對于未定式0
、
、00、1
、
0
都可以轉(zhuǎn)化為例13.
解
例14.
解
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