第22講萬有引力定律及其應(yīng)用（講義）

第22講萬有引力定律及其應(yīng)用目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)一開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律【提升·必考題型歸納】考向開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用考點(diǎn)二萬有引力定律的理解和應(yīng)用【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1萬有引力與重力的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2星體表面上的重力加速度知識(shí)點(diǎn)3萬有引力的“兩個(gè)推論”【提升·必考題型歸納】考向1萬有引力與重力的關(guān)系考向2天體不同位置重力加速度考點(diǎn)三天體質(zhì)量密度估算【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1“自力更生”法(g－R)知識(shí)點(diǎn)2“借助外援”法(T－r)【提升·必考題型歸納】考向天體質(zhì)量密度估算真題感悟掌握開普勒定律和萬有引力定律。能夠應(yīng)用萬有引力定律估算天體的質(zhì)量密度?？键c(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）開普勒定律（2）萬有引力定律2023年湖南卷第4題2023年山東卷第3題2023年湖北卷第2題高考對(duì)萬有引力定律應(yīng)用的考查各地幾乎每年都考，大多以選擇題的形式考查，最近幾年對(duì)這部分內(nèi)容考查的難度不大?？键c(diǎn)一開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律知識(shí)點(diǎn)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓,太陽(yáng)處在的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對(duì)任意一個(gè)行星來說,它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等

a3T注意：①行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理；②面積定律是對(duì)同一個(gè)行星而言的,不同的行星相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積不等；③該比值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體值不同?？枷蜷_普勒行星運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用1．2023年4月14日我國(guó)首顆綜合性太陽(yáng)探測(cè)衛(wèi)星“夸父一號(hào)”準(zhǔn)實(shí)時(shí)觀測(cè)部分?jǐn)?shù)據(jù)完成了國(guó)內(nèi)外無差別開放，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)共享，體現(xiàn)了大國(guó)擔(dān)當(dāng)。如圖所示，“夸父一號(hào)”衛(wèi)星和另一顆衛(wèi)星分別沿圓軌道、橢圓軌道繞地球逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，圓的半徑與橢圓的半長(zhǎng)軸相等，兩軌道相交于A、B兩點(diǎn)，某時(shí)刻兩衛(wèi)星與地球在同一直線上，下列說法中正確的是（）

A．兩衛(wèi)星在圖示位置的速度 B．兩衛(wèi)星在A處的萬有引力大小相等C．兩顆衛(wèi)星在A或B點(diǎn)處可能相遇 D．兩顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期不相等【答案】A【詳解】A.為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，速度比較小，表示勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，故故A正確；B.由于兩衛(wèi)星的質(zhì)量未知，所以兩衛(wèi)星在A處的萬有引力無法比較，故B錯(cuò)誤；CD.橢圓的半長(zhǎng)軸與圓軌道的半徑相同，根據(jù)開普勒第三定律可知，兩衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期相等，則不會(huì)相遇，故CD錯(cuò)誤。故選A。2．如圖所示，“天問一號(hào)”探測(cè)器成功進(jìn)入環(huán)繞火星橢圓軌道，在橢圓軌道的近火點(diǎn)P（接近火星表面）制動(dòng)后順利進(jìn)入近火圓軌道，Q點(diǎn)為近火軌道上的另一點(diǎn)，M點(diǎn)是橢圓軌道的遠(yuǎn)火點(diǎn)，橢圓軌道的半長(zhǎng)軸等于圓形軌道的直徑，下列說法正確的是（）

A．探測(cè)器在M點(diǎn)的速度大于在Q點(diǎn)的速度B．探測(cè)器在Q點(diǎn)與橢圓軌道上的P點(diǎn)的加速度相同C．探測(cè)器在橢圓軌道與圓軌道上的周期之比為8：1D．探測(cè)器在橢圓軌道上P點(diǎn)與M點(diǎn)的速度之比為3：1【答案】D【詳解】A．假設(shè)探測(cè)器以半徑為橢圓軌道的半長(zhǎng)軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)M點(diǎn)時(shí)的速度要大于在橢圓軌道上經(jīng)M點(diǎn)時(shí)的速度，由；可知探測(cè)器在近火圓軌道Q點(diǎn)的速度要大于在圓軌道上M點(diǎn)的速度，因此探測(cè)器在橢圓軌道M點(diǎn)的速度小于在Q點(diǎn)的速度，故A錯(cuò)誤；B．由萬有引力和牛頓第二定律知解得可知探測(cè)器在Q點(diǎn)與橢圓軌道上的P點(diǎn)的加速度大小相等，方向不同，故B錯(cuò)誤；C．由題意可知橢圓的半長(zhǎng)軸為，根據(jù)開普勒第三定律可得則有故C錯(cuò)誤；D．設(shè)探測(cè)器在橢圓軌道上P點(diǎn)速度為vP，在M點(diǎn)的速度為vM，設(shè)火星的半徑為R，根據(jù)開普勒第二定律可得解得故D正確。故選D。考點(diǎn)二萬有引力定律的理解和應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1萬有引力與重力的關(guān)系1．萬有引力定律（1）內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。（2）表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。（3）適用條件：①公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。2．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。知識(shí)點(diǎn)2星體表面上的重力加速度1.在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。2.在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由，得所以。知識(shí)點(diǎn)3萬有引力的“兩個(gè)推論”推論1:在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零,即F引=0。推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對(duì)其的萬有引力,即F=GM'考向1萬有引力與重力的關(guān)系1．將地球看成一個(gè)半徑為R的圓球，在北極用彈簧秤將一個(gè)物體豎直懸掛，物體靜止時(shí)，彈簧秤彈力大小為F1；在赤道，用彈簧秤將同一物體豎直懸掛，物體靜止時(shí)，彈簧秤彈力大小為F2。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，則該物體的質(zhì)量為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)地球質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，在北極萬有引力等于重力即等于彈簧秤的示數(shù)，有在赤道處，萬有引力減去重力的差值提供向心力，所以有，聯(lián)立解得故選C。2．假設(shè)將來的某一天，宇航員駕駛宇宙飛船，登陸某一行星，該行星是質(zhì)量分布均勻的球體。通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)，某一物體在該行星兩極處的重力為G，在該行星赤道處的重力為0.75G，則此物體在該行星緯度為30°處隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為（）A．G B．G C．G D．G【答案】C【詳解】由萬有引力和重力的定義可知，在兩極處在赤道上由向心力的公式可知緯度為30°處隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為聯(lián)立解得故C正確，ABD錯(cuò)誤。故選C?？枷?天體不同位置重力加速度3．某實(shí)驗(yàn)小組設(shè)計(jì)了用單擺測(cè)量海底深度的實(shí)驗(yàn)。在靜止于海底的蛟龍?zhí)柪铮瑴y(cè)得擺長(zhǎng)為l的單擺，完成N次全振動(dòng)用時(shí)為t。設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)球體，半徑為R，地球表面的重力加速度大小為。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。則下列說法正確的是（）A．此海底處的重力加速度大于地球表面的重力加速度B．此海底處的重力加速度為無窮大C．此海底處的深度為D．此海底處的重力加速度大小為【答案】D【詳解】AB．根據(jù)萬有引力提供重力，則在星球表面化解得已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，所以此海底處的減小，重力加速度減小，故AB錯(cuò)誤；CD．根據(jù)單擺周期公式則此海底處的重力加速度大小為所以解得此海底處的深度為故C錯(cuò)誤，D正確。故選D。4．地球表面重力加速度的測(cè)量在軍事及資源探測(cè)中具有重要的戰(zhàn)略意義，已知地球質(zhì)量，地球半徑R，引力常量G，以下說法正確的是（

）A．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球赤道處重力加速度的大小為B．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球兩極處重力加速度的大小為C．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點(diǎn)正下方h處的B點(diǎn)為球心，為半徑挖一個(gè)球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點(diǎn)正下方h處的B點(diǎn)為球心、為半徑挖一個(gè)球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為【答案】ABC【詳解】AB．在赤道處得出在兩極處得出選項(xiàng)AB正確；CD．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點(diǎn)正下方h處的B點(diǎn)為球心為半徑挖一個(gè)球形的防空洞，該球形防空洞挖掉的質(zhì)量，A處重力加速度變化是由該球形防空洞引起；選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。故選ABC?？键c(diǎn)三天體質(zhì)量密度估算知識(shí)點(diǎn)1“自力更生”法(g－R)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。知識(shí)點(diǎn)2“借助外援”法(T－r)測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度?？枷蛱祗w質(zhì)量密度估算1．科幻電影中提到的“洛希極限”是指當(dāng)一個(gè)天體自身的引力與第二個(gè)天體造成的潮汐力相等時(shí)的距離，已知行星與衛(wèi)星的洛希極限計(jì)算式為，其中k為常數(shù)，R為行星半徑，ρ1、ρ2分別為行星和衛(wèi)星的密度，若行星半徑R，衛(wèi)星半徑為，且表面重力加速度之比為8:1，則其“洛希極限”為（）A． B． C．6kR D．【答案】A【詳解】利用星球表面處物體的重力等于萬有引力得星球的密度為則則其“洛希極限”為故選A。2．某同學(xué)利用直徑為d的不透光圓形紙板估測(cè)太陽(yáng)的密度，如圖所示，調(diào)整圓紙板到人眼的距離L，使其剛好擋住太陽(yáng)光，并測(cè)出L，已知萬有引力常量為G，地球公轉(zhuǎn)周期為T，則太陽(yáng)密度約為（）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】令地球到太陽(yáng)的間距為r，太陽(yáng)的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系近似有對(duì)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)有太陽(yáng)的密度為解得故選A。1．（2023年6月浙江高考真題）木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為，則（

）A．木衛(wèi)一軌道半徑為 B．木衛(wèi)二軌道半徑為C．周期T與T0之比為 D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為【答案】D【詳解】根據(jù)題意可得，木衛(wèi)3的軌道半徑為AB．根據(jù)萬有引力提供向心力可得木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為,可得木衛(wèi)一軌道半徑為木衛(wèi)二軌道半徑為故AB錯(cuò)誤；C．木衛(wèi)三圍繞的中心天體是木星，月球的圍繞的中心天體是地球，根