第26講 中考復(fù)習(xí)專題1-45°角的常見(jiàn)處理策略 (解析版)

第26講中考復(fù)習(xí)專項(xiàng)1——45°角的常見(jiàn)處理策略【知識(shí)點(diǎn)睛】45°角的常見(jiàn)處理辦法：見(jiàn)45°角，作垂直，構(gòu)K型構(gòu)造正方形“半角模型”求解構(gòu)造“母子三角形”，利用三角形相似求解構(gòu)造“一線三等角”，利用三角形相似求解利用“和角公式”求解【例題探究】如圖，已知點(diǎn)A（0,3）、B（0，-2），點(diǎn)P是x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解法一：見(jiàn)45°，作垂直，構(gòu)K型如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AP，交PB延長(zhǎng)線與點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作OP平行線，分別過(guò)點(diǎn)C、P作其垂線；易證得：△CDA≌△AEP（AAS）∴PE=AD=OA=3=OF,AE=CD設(shè)OP=AE=x，則CF=x-3∵OB∥CF∴△POB∽△PFC∴即解得：∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（6,0）解法二：構(gòu)造正方形“半角模型”求解如圖：作△AOP關(guān)于AP的軸對(duì)稱圖形，得△ACP，作△BOP關(guān)于BP的軸對(duì)稱圖形，得△BDP，延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)E易證得：正方形PCED∴AC=OA=3，DB=OB=2，設(shè)OP=x，則CP=DP=CE=DE=x，AE=x-3，BE=x-2解法三：構(gòu)造“母子三角形”，利用三角形相似求解解法四：構(gòu)造“一線三等角”，利用三角形相似求解解法五：利用“和角公式”求解【類題訓(xùn)練】1．已知：點(diǎn)A（0，4），B（0，﹣6），C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足∠ACB＝45°，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，0）．【分析】解法一：構(gòu)造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C．根據(jù)△PBA為等腰直角三角形，可得OF＝PE＝5，根據(jù)勾股定理得：CF＝＝7，進(jìn)而得出OC＝OF+CF＝5+7＝12，即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，0）．解法二：過(guò)A作x軸的平行線EF，作AH⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于H，過(guò)H作FH⊥EF于F，作HD⊥y軸于D，過(guò)C作CE⊥EF于E，連接AH，依據(jù)△ACE≌△HAF，可得FH＝AE，設(shè)FH＝x，則AE＝OC＝x，再根據(jù)△OCB∽△DHB，即可得到BD＝，依據(jù)FH＝AD，即可得到x＝10+，進(jìn)而得出x＝12．【解答】解法一：設(shè)線段BA的中點(diǎn)為E，∵點(diǎn)A（0，4），B（0，﹣6），∴AB＝10，E（0，﹣1）．如圖所示，過(guò)點(diǎn)E在第四象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5；以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，∵∠BCA為⊙P的圓周角，∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即則點(diǎn)C即為所求．過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則OF＝PE＝5，PF＝OE＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5，由勾股定理得：CF＝＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，0），解法二：過(guò)A作x軸的平行線EF，作AH⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于H，過(guò)H作FH⊥EF于F，作HD⊥y軸于D，過(guò)C作CE⊥EF于E，連接AH，則△ACH是等腰直角三角形，由∠E＝∠F＝90°，∠AHF＝∠CAE，AH＝AC，可得△ACE≌△HAF，∴FH＝AE，設(shè)FH＝x，則AE＝OC＝x，∵OC∥HD，∴△OCB∽△DHB，∴＝，即＝，∴BD＝，∴AD＝AB+BD＝10+，又∵FH＝AD，∴x＝10+，解得x＝12，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0）故答案為（12，0）．2．如圖，已知點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）．【分析】解法一：先過(guò)A作AE⊥x軸于E，以AE為邊在AE的左側(cè)作正方形AEFG，交AB于P，根據(jù)直線AB的解析式為y＝x+2，可得PF＝，將△AGP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AEH，構(gòu)造△ADP≌△ADH，再設(shè)DE＝x，則DH＝DP＝x+，F(xiàn)D＝1+2﹣x＝3﹣x，在Rt△PDF中，根據(jù)PF2+DF2＝PD2，可得方程（）2+（3﹣x）2＝（x+）2，進(jìn)而得到D（1，0），即可得出直線AD的解析式為y＝3x﹣3，最后解方程組即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．解法二：過(guò)A作AD⊥y軸于D，將AB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到A'B，過(guò)A'作A'H⊥y軸于H，由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，由A（2，3），A'（1，0），可得直線AC的解析式為y＝3x﹣3，解方程組即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．解法三：過(guò)B作BF⊥AC于F，過(guò)F作FD⊥y軸于D，過(guò)A作AE⊥DF于E，則△ABF為等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出F（，），進(jìn)而得出直線AF的解析式，解方程組即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解法一：如圖所示，過(guò)A作AE⊥x軸于E，以AE為邊在AE的左側(cè)作正方形AEFG，交AB于P，根據(jù)點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（0，2），可得直線AB的解析式為y＝x+2，由A（2，3），可得OF＝1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣+2＝，即P（﹣1，），∴PF＝，將△AGP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AEH，則△ADP≌△ADH，∴PD＝HD，PG＝EH＝，設(shè)DE＝x，則DH＝DP＝x+，F(xiàn)D＝1+2﹣x＝3﹣x，Rt△PDF中，PF2+DF2＝PD2，即（）2+（3﹣x）2＝（x+）2，解得x＝1，∴OD＝2﹣1＝1，即D（1，0），根據(jù)點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)D（1，0），可得直線AD的解析式為y＝3x﹣3，解方程組，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案為：（﹣1，﹣6）．解法二：如圖，過(guò)A作AD⊥y軸于D，將AB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到A'B，過(guò)A'作A'H⊥y軸于H，由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，∴BH＝AD＝2，又∵OB＝2，∴點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，點(diǎn)A'在x軸上，∴A'（1，0），又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'＝45°，而∠BAC＝45°，∴點(diǎn)A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直線AC的解析式為y＝3x﹣3，解方程組，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案為：（﹣1，﹣6）．解法三：如圖，過(guò)B作BF⊥AC于F，過(guò)F作FD⊥y軸于D，過(guò)A作AE⊥DF于E，則△ABF為等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，設(shè)BD＝a，則EF＝a，∵點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（0，2），∴DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝3，∴2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∴F（，），設(shè)直線AF的解析式為y＝k'x+b，則，解得，∴y＝3x﹣3，解方程組，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案為：（﹣1，﹣6）．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，點(diǎn)G是射線DC與射線AF的交點(diǎn)，若BE＝1，∠EAF＝45°，則AG的長(zhǎng)為．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AE，交AG于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC，垂足為M，可得∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，從而可得AE＝EH，再利用矩形的性質(zhì)可得BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，從而證明△ABE≌△EMH，進(jìn)而可得AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，然后再證明A字模型相似三角形△ABF∽△HMF，利用相似三角形的性質(zhì)可求出MF的長(zhǎng)，從而求出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AF的長(zhǎng)，最后證明8字模型相似三角形△ABF∽△GCF，利用相似三角形的性質(zhì)可求出FG的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AE，交AG于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC，垂足為M，∴∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，∴∠AEB+∠HEM＝90°，∠FCG＝180°﹣∠BCD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠AHE＝90°﹣∠EAH＝45°，∴AE＝EH，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠HEM，∵∠B＝∠HME＝90°，∴△ABE≌△EMH（AAS），∴AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，∵∠B＝∠HMF＝90°，∠AFB＝∠HFM，∴△ABF∽△HMF，∴＝，∴＝，∴FM＝3，∴BF＝BE+EM+FM＝6，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2，∴AF＝＝＝2，∵∠B＝∠FCG＝90°，∠AFB＝∠CFG，∴△ABF∽△GCF，∴＝，∴＝，∴FG＝，∴AG＝AF+FG＝，故答案為：．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，則AF的長(zhǎng)為．【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，則NF＝x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng)．【解答】解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，∴NF＝x，AN＝4﹣x，∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝＝，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是分式方程的解，∴AF＝＝．故答案為：．5．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，連結(jié)BD，E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連結(jié)AE，AF分別交BD于點(diǎn)M，N，若∠EAF＝45°，BE＝1，則下列結(jié)論中：①∠AFD+∠AEB＝135°；②；③DF＝1；④DN2+BM2＝MN2；⑤2MN＝3BM；結(jié)論正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得△ADF與△AEB兩個(gè)三角形所有內(nèi)角相加為360°，結(jié)合矩形性質(zhì)：每個(gè)內(nèi)角都為90°即可判斷①；利用勾股定理求出AE，利用矩形的性質(zhì)證明△ADM∽△EBM，利用相似三角形相似比即可求出EM，從而判斷②；利用矩形的性質(zhì)及已知條件，證明△ADB∽△BAE，得到∠ADB＝∠BAE，進(jìn)而說(shuō)明∠AMD＝90°，∠ANM＝45°，得AM＝MN，再證明△ADM∽△BAM，即可求得BM，進(jìn)而求得DN，再證明△ANB∽△FND，即可求出DF，從而判斷③④⑤．【解答】解：∠ADF+∠AFD+∠FAD＝180°，∠AEB+∠ABE+∠BAE＝180°，∴∠ADF+∠AFD+∠FAD+∠AEB+∠ABE+∠BAE＝360°，∵∠ADF＝∠ABE＝90°，∴∠AFD+∠FAD+∠AEB+∠BAE＝180°，∵∠EAF+∠BAE+∠FAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∠AFD+∠AEB＝180°﹣45°＝135°，故①正確；∵BE＝1，AB＝2，在Rt△ABE中，∴，∵AD∥BC，∴△ADM∽△EBM，∴，∵AD＝4，AM＝AE﹣EM，∴．∴，故②正確；在Rt△ABD中，，∵，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴△ADB∽△BAE，∴∠BAE＝∠ADB，∵∠BAE+∠DAE＝90°，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠AMD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠MNA＝45°，∴，∵∠BAE＝∠ADB，∠AMD＝∠AMB＝90°，∴△ADM∽△BAM，∴，∴，∴，，∵AB∥CD，∴△ANB∽△FND，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∴DN2+BM2≠M(fèi)N2，故④錯(cuò)誤；∴2MN≠3BM，故⑤錯(cuò)誤；故選：B．6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，則AF＝．【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，則NF＝x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng)．【解答】解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，∴NF＝x，AN＝6﹣x，∵AB＝3，∴AM＝BM＝，∵BE＝，∴，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴．解得，x＝2．∴AF＝＝＝2．故答案為：2．7．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF＝45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y＝x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問(wèn)符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）在直線解析式y(tǒng)＝x+2中，令x＝0，得y＝2，∴C（0，2）．∵點(diǎn)C（0，2）、D（3，）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得b＝，c＝2，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PF＝OC＝2，∴將直線y＝x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．將直線y＝x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位，得到直線y＝x+4，聯(lián)立，解得x1＝1，x2＝2，∴m1＝1，m2＝2；將直線y＝x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位，得到直線y＝x，聯(lián)立，解得x3＝，x4＝（不合題意，舍去），∴m3＝．∴當(dāng)m為值為1，2或時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）存在．理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2）．如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M，則CM＝m，EM＝2，∴FM＝y(tǒng)F﹣EM＝m，∴tan∠CFM＝2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝m．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N，則PN＝FN?tan∠PFN＝FN?tan∠CFM＝2FN．∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝＝m．∵PF＝y(tǒng)P﹣yF＝（﹣m2+m+2）﹣（m+2）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，整理得：m2﹣m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝，∴P（，）；同理求得，另一點(diǎn)為P（，）．∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．8．已知拋物線y＝a（x﹣h）2的頂點(diǎn)為P，交y軸于點(diǎn)C（0，2），且tan∠OPC＝2．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若OA⊥PC交拋物線于點(diǎn)A，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；（3）若D是拋物線上的一點(diǎn)，且∠PCD＝45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）tan∠OPC＝2，OA⊥PC，得到tan∠AOP＝，求出故直線OA的表達(dá)式為：y＝x，進(jìn)而求解；（3）設(shè)HG＝2m，則PG＝m，則PH＝m，在等腰Rt△CHG中，PG＝HG，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)得，OC＝2，則tan∠OPC＝2＝，解得：OP＝1，即點(diǎn)P（1，0），則拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：2＝a（0﹣1）2，解得：a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣1）2①；（2）∵tan∠OPC＝2，OA⊥PC，則tan∠AOP＝，故直線OA的表達(dá)式為：y＝x②，聯(lián)立①②得：（x﹣1）2＝x，解得：x＝，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為；（3）如圖2，延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)H，故點(diǎn)H作HG⊥CP交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵tan∠OPC＝2＝tan∠HPG，∴設(shè)HG＝2m，則PG＝m，則PH＝m，在等腰Rt△CHG中，PG＝HG，由點(diǎn)P、C的坐標(biāo)得：PC＝＝，則+m＝2m，解得：m＝，∴PH＝m＝5，即點(diǎn)H（6，0），由點(diǎn)C、H的坐標(biāo)得，直線CH的表達(dá)式為：y＝x+2③，聯(lián)立①③并解得（不合題意的值已舍去），故點(diǎn)D（，）．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求拋物線解析式；（2）若C為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，且滿足，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PCD＝45°，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由，可求得CF＝5，根據(jù)點(diǎn)C在第一象限即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）設(shè)P（t，t2+2t﹣3），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，過(guò)點(diǎn)E作FG∥x軸，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥FG于F，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥FG于G，利用待定系數(shù)法可得直線CD的解析式為y＝3x﹣1，設(shè)E（e，3e﹣1），則EF＝2﹣e，CF＝5﹣（3e﹣1）＝6﹣3e，EG＝e﹣t，PG＝t2+2t﹣3﹣（3e﹣1）＝t2+2t﹣3e﹣2，再證得△PEG≌△ECF（AAS），得出PG＝EF，EG＝CF，建立方程組求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴該拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），∴E（﹣1，0），∴DE＝4，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵，∴AB?CF＝×AB?DE，∴CF＝DE＝×4＝5，令x2+2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∵點(diǎn)C在第一象限，∴C（2，5）；（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使∠PCD＝45°．設(shè)P（t，t2+2t﹣3），如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，過(guò)點(diǎn)E作FG∥x軸，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥FG于F，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥FG于G，則∠CFE＝∠EGP＝∠CEP＝90°，設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+d，把C（2，5）、D（﹣1，﹣4）分別代入，得：，解得：，∴直線CD的解析式為y＝3x﹣1，設(shè)E（e，3e﹣1），則EF＝2﹣e，CF＝5﹣（3e﹣1）＝6﹣3e，EG＝e﹣t，PG＝t2+2t﹣3﹣（3e﹣1）＝t2+2t﹣3e﹣2，∵∠PEG+∠CEF＝∠CEF+∠ECF＝90°，∴∠PEG＝∠ECF，∵∠PCD＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝EC，∴△PEG≌△ECF（AAS），∴PG＝EF，EG＝CF，∴，解得：（不符合題意，舍去），，當(dāng)t＝﹣時(shí)，t2+2t﹣3＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．10．【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長(zhǎng)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，證出∠EAM＝90°，得出∠MAN＝∠EAN，可證△AMN≌△EAN，得出MN＝EN．證出MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，由勾股定理得出MN＝＝＝5，則BN+DM＝5，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，得出方程x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6即可；（2）將△AFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，連接EH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，由“SAS”可證△EAH≌△EAF，可得HE＝EF，由直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可求∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，由勾股定理可求解；（3）延長(zhǎng)AB至P，使BP＝BN＝1，過(guò)P作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)AN交PQ于E，連接EM，則四邊形APQD是正方形，得出PQ＝