余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊(cè)

余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象問(wèn)題情境問(wèn)題1什么叫正弦函數(shù)？如何畫(huà)正弦函數(shù)的圖象？新知探究問(wèn)題2

cosx是函數(shù)嗎？余弦函數(shù)與正弦函數(shù)有什么關(guān)系呢？余弦函數(shù)對(duì)于任意一個(gè)角x，都有唯一確定的余弦cosx與之對(duì)應(yīng)，因此y＝cosx是一個(gè)函數(shù)，一般稱(chēng)為余弦函數(shù)．由誘導(dǎo)公式知新知探究問(wèn)題3

研究余弦函數(shù)的性質(zhì)，你能給出幾種不同的方案呢？請(qǐng)你選擇其中一種方案，研究余弦函數(shù)的性質(zhì)．定義域與值域：余弦函數(shù)y＝cosx的定義域是R，值域是[－1，1]，當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)值的最小值是－1．余弦函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)值的最大值是1，余弦函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．余弦函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上遞增，在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上遞減．余弦函數(shù)y＝cosx的零點(diǎn)為kπ＋

（k∈Z）．新知探究【想一想】函數(shù)y＝cos（－x）的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)___________________________．y＝cos（－x）＝cosx

，所以y＝cos（－x）的單調(diào)增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）．[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）新知探究問(wèn)題4可否利用正弦函數(shù)的圖象得到余弦函數(shù)的圖象？－2π－ππ2π1－1xyOy＝sinxy＝coxx1．一般地，函數(shù)y＝cosx的圖象稱(chēng)為余弦曲線(xiàn)．根據(jù)，只需把y＝sinx，x∈R的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到y(tǒng)＝cosx，x∈R的圖象．2．余弦函數(shù)y＝cosx的圖象對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ，對(duì)稱(chēng)中心為，其中k∈Z．3．畫(huà)余弦函數(shù)y＝cosx的圖象時(shí)也可以用五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：初步應(yīng)用例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性解答：（1）把函數(shù)y＝cosx＋2記作f（x）＝cosx＋2，因?yàn)槎x域?yàn)镽，且f（－x）＝cos（－x）＋2＝cosx＋2＝f（x），（2）把函數(shù)y＝sinxcosx記作f（x）＝sinxcosx，因?yàn)槎x域?yàn)镽，且f（－x）＝sin（－x）cos（－x）＝－sinxcosx＝－f（x），（1）y＝cosx＋2；（2）y＝sinxcosx．所以y＝cosx＋2是偶函數(shù)．所以y＝sinxcosx是奇函數(shù)．初步應(yīng)用例2

求下列函數(shù)的值域（1）y＝－3cosx＋1；（2）y＝（cosx＋

）2－3解答：（1）因?yàn)椋?≤cosx≤1，且－2≤－3cosx＋1≤4，即－2≤y≤4，當(dāng)cosx＝1時(shí)，ymin＝－2；當(dāng)cosx＝－1時(shí)，ymax＝4，因此y＝－3cosx＋1的值域?yàn)閇－2，4]．所以3≥－3cosx≥－3，初步應(yīng)用例2

求下列函數(shù)的值域（2）令t＝cosx，則（1）y＝－3cosx＋1；（2）y＝（cosx＋

）2－3y＝（t＋

）2－3，t∈[－1，1]．因?yàn)椋?≤t≤1時(shí)，所以0≤（t＋）2≤

，因此－3≤（t＋）2≤當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝當(dāng)t＝

時(shí)，ymin＝－3，因此y＝（cosx＋

）2－3的值域?yàn)槌醪綉?yīng)用例3

求函數(shù)

的最大值和最小值．方法一：由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝cosx在遞增，在遞減，又因?yàn)樗院瘮?shù)的最大值為1，最小值為初步應(yīng)用例3

求函數(shù)

的最大值和最小值．當(dāng)角的余弦線(xiàn)為

時(shí)，f（x）取得最小值方法二：如圖所示，作出示意圖，其中OP為角

的終邊，OP′為角

的終邊，區(qū)間

內(nèi)的角的終邊只能在直線(xiàn)PP′的右上方，因此當(dāng)角的余弦線(xiàn)為

時(shí)，f（x）取得最大值f（0）＝cos0＝1．1PMNP'Oxy初步應(yīng)用例4

求函數(shù)

的周期和其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．解答：因?yàn)樗运院瘮?shù)

的周期為6π，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝

＋3kπ（k∈Z）．令（k∈Z），解得x＝

＋3kπ（k∈Z）．初步應(yīng)用【思考】如何由y＝cosx的圖象得到函數(shù)

的圖象？將y＝cosx的圖象向右平移

個(gè)單位得到函數(shù)的圖象；將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，終坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

的圖象；再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

的圖象．初步應(yīng)用例5

用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝1－cosx（0≤x≤2π）的簡(jiǎn)圖．解答：列表：描點(diǎn)連線(xiàn)，如圖．x0π2πcosx10－1011－cos

x01210練習(xí)練習(xí)：教科書(shū)練習(xí)A：1～5．歸納小結(jié)定義域與值域：余弦函數(shù)y＝cosx的定義域是R，值域是[－1，1]，當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)值的最小值是－1．余弦函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)值的最大值是1，余弦函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．余弦函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上遞增，在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上遞減．余弦函數(shù)y＝cosx的零點(diǎn)為kπ＋

（k∈Z）．歸納小結(jié)一般地，函數(shù)y＝cosx的圖象稱(chēng)為余弦曲線(xiàn)．即可得到y(tǒng)＝cosx，x∈R的圖象．函數(shù)y＝Acos（ωx＋φ）的圖