9.4.1 矩形 蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊教學(xué)課件

9.4.1矩形第9章中心對稱圖形——平行四邊形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2矩形的定義及其性質(zhì)矩形的判定兩條平行線之間的距離知識點矩形的定義及其性質(zhì)知1－講11.定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形也叫長方形.知1－講2.特殊性質(zhì)如下表圖形文字語言(性質(zhì))符號語言矩形的四個角都是直角∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°矩形的對角線相等∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，矩形也是中心對稱圖形知1－講特別提醒：(1)矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)，如對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分；(2)利用矩形的性質(zhì)可以證明線段相等或倍分關(guān)系、直線平行、角相等等；(3)矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形，矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，分成四個面積相等的等腰三角形，因此有關(guān)矩形的計算問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化成直角三角形或等腰三角形來解決.知1－講特別提醒：由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.矩形的定義可以作為判定一個平行四邊形是矩形的一種方法.知1－講例1如圖9.4.1-1，在矩形ABCD

中，對角線AC、BD

相交于點O，∠BOC＝120°，AB

＝6，求：(1)對角線的長；知1－講

知1－講(2)BC的長；

知1－講(3)矩形ABCD的面積．

知1－講解題秘方：緊扣矩形的“角、對角線的性質(zhì)”進(jìn)行計算.知1－講方法點撥：1.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.2.矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形；另外，矩形的對角線與兩鄰邊構(gòu)成四個直角三角形，矩形中的相關(guān)計算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有關(guān)知識.知1－講注意：本例也可通過∠BOC=120°，OB=OC，得∠BCA=30°，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求對角線、BC的長將更簡便，請讀者試一試.知1－講例2如圖9.4.1-2所示，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD

于點E，∠DAE∶∠BAE=3∶1，求∠

BAO和∠

EAO的度數(shù).知1－講

知1－講思路點撥：由∠DAE與∠BAE之和為矩形的一個內(nèi)角及兩角之比即可求出∠DAE

和∠BAE

的度數(shù)，從而得出∠ABE

的度數(shù)，由矩形的性質(zhì)易得∠BAO=∠ABE，即可求出∠BAO

的度數(shù)，再由∠EAO=∠BAO-∠BAE可得∠EAO的度數(shù).知1－講解題秘方：緊扣矩形的性質(zhì)，將矩形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形的相關(guān)問題即可求解.知1－講例3如圖9.4.1-3，已知四邊形ABCD

是矩形，△PBC

和△QCD都是等邊三角形，且點P在矩形的上方，點Q

在矩形內(nèi).連接PA、PQ.求證：(1)∠PBA=∠PCQ=30°；知1－講證明：∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°.∵△PBC和△QCD

都是等邊三角形，∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°.∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°.∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°.∴∠PBA=∠PCQ=30°.知1－講(2)PA=PQ.證明：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AB=DC.∵△PBC

和△QCD

都是等邊三角形，∴

PB=PC，QC=DC=AB.又由(1)知∠PBA=∠PCQ，∴△PAB≌△PQC.∴PA=PQ.知1－講思路點撥：(1)矩形的四個內(nèi)角都等于90°.利用△PBC和△QCD都是等邊三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ的度數(shù)，從而得證；(2)利用(1)的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進(jìn)一步證明△PAB≌△PQC，從而證得PA=PQ.知2－講知識點矩形的判定21.判定圖形文字語言(判定)符號語言有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(定義法)∵∠BAD=90°(或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°)，∴ABCD

是矩形三個角是直角的四邊形是矩形(判定一)∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形(判定二)∵AC=BD，∴ABCD是矩形知2－講2.易錯警示(1)用定義判定一個四邊形是矩形必須滿足兩個條件：一是有一個角是直角，二是四邊形是平行四邊形.也就是說有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個條件它才是矩形；(2)用“對角線相等的平行四邊形是矩形”判定一個四邊形是矩形必須滿足兩個條件：一是對角線相等，二是四邊形是平行四邊形.也就是說兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個條件它才是矩形.知2－講特別解讀：1.矩形的判定和性質(zhì)互為逆定理.2.矩形判定的常見思路.(1)從角的角度證明：①四邊形矩形；②平行四邊形矩形；(2)從對角線的角度證明：①平行四邊形矩形；②四邊形矩形.有三個直角有一個直角對角線相等對角線互相平分且相等知2－講例4[模擬·南通]如圖9.4.1-4，在平行四邊形ABCD

中，E、F為BC

上兩點，且BE＝CF，AF

＝DE，求證：(1)△

ABF≌△DCE；知2－講證明：∵BE＝CF，BF＝BE+EF，CE

＝CF+EF，∴BF＝CE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC．在△ABF

和△DCE中，AB=DC，BF=CE，AF=DE，∴△ABF≌△DCE．知2－講(2)四邊形ABCD

是矩形．證明：∵△

ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C

＝180°．∴∠B

＝∠C

＝90°．∴ABCD是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)．知2－講解題秘方：緊扣矩形定義的“兩個條件”進(jìn)行證明.知2－講解法提醒：由定義來判定矩形，要在平行四邊形的前提下，證明有一個角是90°，若在四邊形的前提下，則需先證明是平行四邊形，再證明有一個角是90°.矩形的定義既是矩形的性質(zhì)也是矩形的判定.知2－講例5[模擬·蘇州]如圖9.4.1-5，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F

兩點在邊BC上，且四邊形AEFD是平行四邊形．(1)AD

與BC有何等量關(guān)系？請說明理由；知2－講解：BC＝3AD．理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形．∴AD

＝BE，AD

＝FC.又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD＝EF．∴AD＝BE

＝EF

＝FC．∴BC＝3AD．知2－講(2)當(dāng)AB＝DC

時，求證：AEFD是矩形．證明：∵四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，∴DE

＝AB，AF

＝DC．又∵AB＝DC，∴DE＝AF．又∵四邊形AEFD

是平行四邊形，∴AEFD

是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)．知2－講解題秘方：緊扣“平行四邊形”這一前提，從“對角線相等”入手(或從“有一個角是直角”入手)進(jìn)行證明.知2－講證明一個平行四邊形為矩形的兩種方法：一種是證明有一個角是直角，另一種是證明兩條對角線相等.本例采用的是對角線相等的方法.若采用有一個角是直角的方法，可證DE=DC，EF=FC，利用等腰三角形的“三線合一”可得∠DFE=90°.知2－講例6[模擬·南昌]如圖9.4.1-6，在△ABC

中，AB

＝AC，AE⊥BC，AD平分∠FAC，CD⊥AD于點D．求證：四邊形AECD是矩形．知2－講

知2－講

知2－講解題秘方：題中證明矩形的條件是建立在四邊形基礎(chǔ)上，且都與角相關(guān)，可從證直角入手進(jìn)行判定.知2－講思路點撥：要判定一個四邊形是矩形，通常選用“三個角是直角的四邊形是矩形”來證明；也可以先判定它是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形成為矩形應(yīng)滿足的條件，證明有一個角是直角或?qū)蔷€相等.知3－講知識點兩條平行線之間的距離31.定義兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.知3－講三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系類別兩點間的距離點到直線的距離兩條平行線間的距離區(qū)別連接兩點的線段的長度點到直線的垂線段的長度兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的垂線段的長度聯(lián)系最后都?xì)w結(jié)為兩點間的一條線段的長度知3－講特別提醒：1.距離是指垂線段的長度，它是正值.2.當(dāng)兩條平行線確定后，它們之間的距離是一個定值.3.平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時，可根據(jù)需要靈活選擇位置.4.任何兩條平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是兩條平行線間最短線段的長度.知3－講2.性質(zhì)如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等，即平行線間的距離處處相等.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖9.4.1-7，A、C

是l1上任意兩點.∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB=CD.知3－講3.拓展(1)夾在兩條平行線間的任何平行線段都相等；(2)等底等高的平行四邊形(包括矩形等)的面積相等；(3)平行四邊形(包括矩形等)的面積=底×高=ah(其中a是平行四邊形的任意一條邊長，h

必須是這條邊與它的對邊之間的距離）.如圖9.4.1-8所示，在ABCD

中，AE⊥BC

于點E，CF⊥AB于點F，則SABCD=BC·AE=AB·CF.知3－講例7如圖9.4.1-9，已知直線a∥b，點C、D在直線a

上，點A、B

在直線b上，線段BC、AD

相交于點E，若△

ABC的面積為20，AB＝5，CD

＝2，則△ACD的面積為______．8知3－講解題秘方：緊扣等底等高的三角形面積相等作三角形的高進(jìn)行解答.知3－講解析：如圖9.4.1-9，過點C作CH1⊥直線