數(shù)學(xué)高二-湖北省鄂州市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考高中資料無水印無廣告word版不加密群186228141高考數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)探究群562298495；新高考資料全科總?cè)?32599440鄂州市2020—2021學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.3．選擇題在每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；主觀題用0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上相對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷上無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求得集合，根據(jù)并集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所?故選：D.2.設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，則A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【詳解】由，得,其中，是實(shí)數(shù)，則.3.命題“，x3＋3x≥1”的否定是（）．A，x3＋3x＜1 B.，x3＋3x≥1C.，x3＋3x＜1 D.x3＋3x≤1【答案】A【解析】【分析】將“任意”改為“存在”，只否定結(jié)論.【詳解】“，x3＋3x≥1”的否定是“，x3＋3x＜1”.故選：A.4.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知與同向，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由已知可得，等式兩邊平方可得，則，故與同向，所以，.故選：A5.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則實(shí)數(shù)等于（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算．【詳解】由題意，解得．故選：B．6.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分配到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為A.66 B.48 C.36 D.30【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由題意，四名學(xué)生有兩名分在一個(gè)班有種，再分到三個(gè)不同的班有種，而甲、乙兩名學(xué)生被分到同一個(gè)班的有種，所以滿足條件的種數(shù)是．故選D．考點(diǎn)：分類計(jì)數(shù)原理7.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P，Q分別在半圓弧C1C，A1A(均不含端點(diǎn))上，且C1，P，Q，C在球O上，則（）A.當(dāng)點(diǎn)Q在弧A1A的三等分點(diǎn)處，球O的表面積為B.當(dāng)點(diǎn)P在弧C1C的中點(diǎn)處，過C1，P，Q三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形C.球O的表面積的取值范圍為(4π，8π)D.當(dāng)點(diǎn)P在弧C1C的中點(diǎn)處，三棱錐C1—PQC的體積為定值【答案】D【解析】【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，根據(jù)球的性質(zhì)，容易知道球心O在線段EF上，設(shè)出OE的長(zhǎng)度和∠FGQ，算出FQ的長(zhǎng)度，利用OC1=OQ，即可判斷A,B；作出過C1，P,Q三點(diǎn)的截面即可判斷C；利用即可求出體積，進(jìn)而判斷D.【詳解】如圖1，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，由題意，球心在線段上，設(shè)，在中，由余項(xiàng)定理，設(shè)，則，∴，設(shè)外接球半徑為R，∵，∴，∴，∴，∴球的表面積，C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)Q在的三等分點(diǎn)處，，則，，∴∴球的表面積，A錯(cuò)誤；對(duì)B，如圖2，取中點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，連接AF，在平面ADD1A1上過點(diǎn)Q作AF的平行線，與線段，AD分別交于M,N，延長(zhǎng)C1P與BC交于R，連接RN交AB于S，此時(shí)截面為，B錯(cuò)誤；對(duì)D,當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)處，三棱錐的體積為定值，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，題目運(yùn)算量大比較復(fù)雜，多面體外接球的球心的確定，一定要取多面體的特殊面，先確定其外心，然后過外心作截面的垂線，設(shè)出球心（垂線上）的位置，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出外接球半徑；如果棱錐的體積不好求得，我們可以用等底等高的棱錐進(jìn)行轉(zhuǎn)化.8.已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（）A.7 B.8 C.9 D.11【答案】C【解析】【分析】等價(jià)于，令，，分別求，的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可求得有最大值，有最小值，根據(jù)題意，即求，代入為，等價(jià)于，令，即求的最大的正整數(shù).對(duì)求導(dǎo)求單調(diào)性，可知單調(diào)遞減，代入數(shù)值計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題干條件可知：等價(jià)于，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值.令，，則，當(dāng)時(shí)，此題無解，所以，則，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值.若成立，只需，即，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得：.時(shí)，等式成立，當(dāng)時(shí)，有，令，本題即求的最大的正整數(shù).恒成立，則在上單調(diào)遞減，，，，所以的最大正整數(shù)為9.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)法解決恒成立問題.方法點(diǎn)睛：雙變?cè)暮愠闪栴}，經(jīng)常采用構(gòu)造成兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，若，則復(fù)合恒成立的情況.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分）9.是等差數(shù)列，公差為d，前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，及題中的條件，可選出答案.【詳解】由，可得，故B正確；由，可得，由，可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；又，所以，故C不正確；又因?yàn)榈炔顢?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的增減性及前項(xiàng)和的性質(zhì)，本題要從題中條件入手，結(jié)合公式，及，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可判斷選項(xiàng)是否正確.考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.10.隨著2022年北京冬奧會(huì)臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放，將引領(lǐng)戶外用品行業(yè)市場(chǎng)增長(zhǎng)．下面是2012年至2018年中國雪場(chǎng)滑雪人次（萬人次）與同比增長(zhǎng)率的統(tǒng)計(jì)圖，則下面結(jié)論中正確的是（）A.2013年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年增加B.2013年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加C.2013年與2018年相比，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，所以同比增長(zhǎng)人數(shù)也近似相等D.2012年到2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次增長(zhǎng)率約為146.2%【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圖中條形統(tǒng)計(jì)圖和折線圖的實(shí)際意義分析逐個(gè)判定即可.【詳解】由2012年至2018年中國雪場(chǎng)滑雪人次（萬人次）與同比增長(zhǎng)率的統(tǒng)計(jì)圖可知：對(duì)于A，2013年至2015年，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年增加，而2015年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年減少，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2013年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加，故B正確；對(duì)于C，2013年與2018年相比，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，但是同比增長(zhǎng)人數(shù)不相等，2018年比2013年增長(zhǎng)人數(shù)多，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2012年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次增長(zhǎng)率約為，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題.11.在中，三邊長(zhǎng)分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，由三角形的性質(zhì)，可判斷A正確；利用基本不等式，可判斷BC正確；由特殊值法，可判斷D錯(cuò).【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，，為三角形三邊，所以，則，即，故A正確；B選項(xiàng)，根據(jù)三角形的性質(zhì)可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；因此，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)不滿足三角形性質(zhì)，故，即C正確；D選項(xiàng)，若，則能構(gòu)成三角形，且滿足，但此時(shí)，即D錯(cuò)；故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：.則下列命題中正確的是（）A.，則B.C.D.若，使得同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是5【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)“高斯函數(shù)”的定義逐個(gè)分析可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，，，則，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，則，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，得，所以，當(dāng)時(shí)，，，得，所以，綜上所述：.故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，得，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，此不等式組無解，綜上所述：符合題意的正整數(shù)n的最大值是5，故D正確.故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解并運(yùn)用“高斯函數(shù)”的定義解題是解題關(guān)鍵.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中，x3的系數(shù)是_________.（用數(shù)字填寫答案）【答案】10【解析】【詳解】試題分析：的展開式的通項(xiàng)為(，1，2，…，5)，令得，所以的系數(shù)是.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫出通項(xiàng),再確定r的值,從而確定指定項(xiàng)系數(shù).14.春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng)．已知某種盆栽植物每株成活的概率為，各株是否成活相互獨(dú)立．該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)為其中成活的株數(shù)，若的方差，，則________．【答案】【解析】【分析】由題意可知：，且，從而可得值．【詳解】由題意可知：∴，即,∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15.已知與的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的實(shí)根，再利用參變分離法，把問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋M(jìn)而令，利用導(dǎo)數(shù)討論的圖像，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合可以求解【詳解】由題意得，問題轉(zhuǎn)化為①有兩個(gè)不同的實(shí)根，又因?yàn)橛珊瘮?shù)與的圖像可知，它們有一個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)滿足，且當(dāng)，即時(shí)，方程①無解，不滿足題意，所以當(dāng)時(shí)，方程①等價(jià)于，令，則，所以由，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由得或，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，又當(dāng)從左到右無限趨近于時(shí)，，當(dāng)從右到左無限趨近于時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，由此可作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示，則由圖易知，當(dāng)函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于，利用參變分離法，把問題轉(zhuǎn)變?yōu)?，然后，令，最后利用?dǎo)數(shù)討論其圖像，本題的難度比較大，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用16.設(shè)雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過的直線與的平分線垂直，垂足為，則點(diǎn)的軌跡曲線的方程________；在曲線上，點(diǎn)，，則的最小值________.【答案】①.②.【解析】【分析】延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，計(jì)算得到軌跡方程，取點(diǎn)，，解得答案.【詳解】如圖所示：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，故軌跡方程為.取點(diǎn)，則，，故，，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，長(zhǎng)度最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，取點(diǎn)證明相似是解題的關(guān)鍵.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，三邊a，b，c所對(duì)應(yīng)的角分別是A，B，C．已知a，b，c成等比數(shù)列．（1）求角的取值范圍；（2）若，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由a，b，c成等比數(shù)列，可得，再利用余弦定理和基本不等式可得，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得角的取值范圍；（2）由已知可得，而，再由得，所以可得，從而可求出角的值【詳解】解：（1）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以，由余弦定理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)锽為的內(nèi)角，所以，（2），又因?yàn)?，所以由正弦定理有?因?yàn)椋?，得，即，由知，不是最大邊，所?18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法可求出.【詳解】解：(1)由，又有，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，又，，解得，滿足，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，(2)所以.19.如圖，在多面體中，四邊形，，均為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與平面所成角的正弦值為.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【詳解】【分析】分析：（1）根據(jù)條件可證得四邊形是平行四邊形，故，然后由線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）由題意易知兩兩垂直且相等，故建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的運(yùn)算來求二面角的大?。斀猓海?）因?yàn)樗倪呅危鶠檎叫?，所以且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以．?）由題意易知兩兩垂直且相等，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

令，則．設(shè)，且,則，故，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為，故．易得為平面的一個(gè)法向量．設(shè)與平面所成角為，則，解得或（舍去），所以點(diǎn)，所以，設(shè)平面的法向量為，由得令，則．設(shè)平面的法向量為，同理可得，故，由圖形知二面角為銳角，所以二面角的大小為．20.已知橢圓過點(diǎn)，，其上頂點(diǎn)到直線的距離為2，過點(diǎn)的直線與，軸的交點(diǎn)分別為、，且.（1）證明：為定值；（2）如上圖所示，若，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）其上頂點(diǎn)到直線的距離為2，求出，點(diǎn)代入橢圓方程，可求出橢圓方程，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，可得，.利用，可得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得；（2）由（1）得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出，由點(diǎn)到直線距離公式，求出到直線距離，求出四邊形面積的關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合關(guān)系，由基本不等式求出最大值.【詳解】（1）其上頂點(diǎn)到直線的距離為2，，解得.又橢圓過點(diǎn)，，解得.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.點(diǎn)在橢圓上，.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，可得，.，即.定值.（2）由（1）得直線斜率為，方程為，即，，聯(lián)立解得，，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、平行四邊形的面積，利用基本不等式求最值，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算，屬于較難題.21.函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線過，求的值；（2）在恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)題意，得到，推出，設(shè)，，對(duì)其求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，求出最小值，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，設(shè)，，對(duì)其求導(dǎo)，分，，三種情況討論，研究其單調(diào)性，得到其大致范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由于在處的切線過，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，設(shè)，，則，由得；由得；從而在單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減；因此，所以有唯一根；(2)由得，因?yàn)?，所以，因此，在恒成立，即是在恒成立；設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，所以單增，因此，滿足題意；當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，此時(shí)單增，所以，也滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得，，所以方程必有兩不等實(shí)根，不妨設(shè)為，由根與系數(shù)關(guān)系，，所以方程在有唯一根，即在有唯一根，所以易得：在單減，單增，則，與題意矛盾，不成立；綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的切線過某點(diǎn)求參數(shù)，以及由導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式恒成立的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等即可，屬于常考題型.22.一支擔(dān)負(fù)勘探任務(wù)的隊(duì)伍有若干個(gè)勘探小組和兩類勘探人員，甲類人員應(yīng)用某種新型勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為0.6，乙類人員應(yīng)用這種勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為.每個(gè)勘