2023年北京十四中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（教師版）

第1頁/共1頁2023北京十四中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題2分，共20分）1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.下列各式中，從左向右變形正確的是（）A. B. C. D.3.以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A.2，3，4 B.，2 C.6，8，10 D.1，4.矩形中，對角線，相交于點，如果，那么的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.如圖，在中，，E為AD上一動點，M，N分別為BE，CE的中點，則MN的長為（）A.4 B.3 C.2 D.不確定6.如圖，正方體的棱長為2cm，點B為一條棱的中點.螞蟻在正方體表面爬行，從點A爬到點B的最短路程是（）A. B. C. D.7.已知一次函數(shù)，那么下列結(jié)論正確的是（）A.y的值隨x的值增大而增大 B.圖象經(jīng)過第一、二、三象限C.圖象必經(jīng)過點 D.當(dāng)時，y<08.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（）A.24 B.48 C.72 D.969.如圖，ABE、BCF、CDG、DAH是四個全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，則EG的長是（）A.7 B.6 C.7 D.710.如圖1，已知點E，F(xiàn)，G，H是矩形ABCD各邊的中點，AB=6，BC=8．動點M從點E出發(fā)，沿E→F→G→H→E勻速運動，設(shè)點M運動的路程為x，點M到矩形的某一個頂點的距離為y，如果表示y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，那么矩形的這個頂點是（）A.點A B.點B C.點C D.點D二、填空題（每題2分，共16分）11.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____．12.已知□ABCD中,∠A+∠C＝200°，則∠B＝__________.13.如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是______．14.如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F，G在邊BC上，且DFEG．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是___．(寫出一個即可)15.下列命題中逆命題成立的有______．（填序號）．①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果，那么，；④如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等．16.如圖，在矩形中．將沿折疊，使點A恰好體落在對角線上F處，則的長是_______．17.如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，點E是AD邊上一動點（不與A，D重合），點F是CD邊上一動點，DE＋DF＝2，則∠EBF＝______°，面積的最小值為______．18.如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，將線段沿軸向右平移個單位長度得到線段，若直線與四邊形有兩個交點，則的取值范圍是________________．三、解答題（本大題共8道小題，共64分，第19題8分，第20－21題每題6分，第22－24題每題8分，第25－26題每題10分）19.計算：（1）；（2）．20.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求y的值．21.如圖，在中，點、在直線上，且，求證：四邊形是平行四邊形．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于，與軸交于．（1）求該直線的表達(dá)式和點的坐標(biāo)；（2）若軸一點，且，直接寫出點的坐標(biāo)．23.如圖，在四邊形中，，對角線交于點平分，過點C作交的延長線于點E，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的長．24.下面是小明設(shè)計的作矩形ABCD的尺規(guī)作圖過程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如圖，1、以點A為圓心，BC長為半徑作??；2、以點C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點D（點D與點B在直線AC異側(cè)）；3、連接AD，CD．所以四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明（括號里填推理的依據(jù)）．證明：∵AB＝______，BC＝______，∴四邊形ABCD是平行四邊形（_______）．又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形（________）．25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖像過點，，點B關(guān)于x軸的對稱點為C．（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點D為x軸上任意一點，求線段AD與線段CD之和的最小值；（3）一次函數(shù)）的圖像經(jīng)過點C，當(dāng)時，對于x的每一個值，的值都小于的值，直接寫出a的取值范圍．26.已知：正方形ABCD，過點D作直線DE，點C關(guān)于直線DE的對稱點為，連接，作直線交直線DE于點P．（1）補全圖形；（2）判斷的形狀并證明；（3）猜想線段PA，PC，PD的數(shù)量關(guān)系并證明．附加題：（共10分，27題3分，28題7分）27.觀察下列各式：n＝1時，有式①：＝；n＝2時，有式②：＝；（1）類比上述式①、式②，將下列等式補充完整：＝；＝；（2）請用含n（n為正整數(shù)）的等式表示以上各式的運算規(guī)律：．28.在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC，其中點，給出如下定義：若點P關(guān)于直線的對稱點在矩形OABC的內(nèi)部或邊上，則稱點P為矩形OABC關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)點”．例如，圖1中的點D，點E都是矩形OABC關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖2，在點中，是矩形OABC關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)點”的為_____________；（2）如圖3，點是矩形OABC關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)點”，且是等腰三角形，求t的值；（3）若在直線上存在點Q，使得點Q是矩形OABC關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)點”，請直接寫出b的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共20分）1.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．是最簡二次根式，故該選項符合題意；B．，所以不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；C．，所以不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；D．，所以不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．2.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運算法則逐一判斷即可得．【詳解】解A．，錯誤，故此選項不符合題意；B．，錯誤，故此選項不符合題意；C．，正確，故此選項符合題意；D．，錯誤，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的加法運算，正確計算是解題的關(guān)鍵．3.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、由于22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；B、由于，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；C、由于，能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確；D、由于，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意．故選擇：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．4.【答案】D【解析】【分析】只要證明OA=OD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：四邊形是矩形，，，，∴．故選：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．5.【答案】B【解析】【分析】首先由平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)求得；然后利用三角形中位線定理求得．【詳解】解：如圖，在平行四邊形中，．，分別為，的中點，是的中位線，．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題過程中是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理來求有關(guān)線段的長度的．6.【答案】C【解析】【分析】正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻的起點和終點，根據(jù)兩點之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求出路徑長，【詳解】解：如圖，它運動的最短路程（cm），故選：C．【點睛】本題考查平面展開最短路徑問題，掌握兩點之間線段最短，找到起點終點，根據(jù)勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．7.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)逐項進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、由于一次函數(shù)y=-x+2的k=-1<0，所以y的值隨x的值增大而減小，故該選項不符合題意；B、一次函數(shù)y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以該函數(shù)過一、二、四象限，故該選項不符合題意；C、將（0,2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y=-x+2上，故該選項符合題意；D、一次函數(shù)y=-x+2的k=-1<0，所以y的值隨x的值增大而減小，所以當(dāng)x<2時，y>0，故該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8.【答案】B【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，則AC=12，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出BD的長度，然后由菱形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，

∴AC=12，

∵DH⊥AB，

∴∠BHD=90°，

∴BD=2OH=2×4=8，∴菱形ABCD的面積=故選：B．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出BD的長是解題的關(guān)鍵．9.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BE，證明四邊形EFGH為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，由勾股定理得，BE＝＝＝12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四個全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四邊形EFGH為正方形，∴EG＝＝7，故選：A．【點睛】本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．10.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)圖象可以看出，點M到矩形的頂點的距離先是增加，再結(jié)合矩形幾何圖形，可分析出是點B.【詳解】動點M從點E出發(fā)，沿E→F→G→H→E勻速運動，結(jié)合圖象，則點M到矩形的頂點B的距離先是逐漸增加，所以不能選A,C,D.故選B【點睛】本題考核知識點：矩形，函數(shù)圖象.解題關(guān)鍵點：數(shù)學(xué)結(jié)合，分析函數(shù)與自變量的關(guān)系.二、填空題（每題2分，共16分）11.【答案】【解析】【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴，故答案為．12.【答案】80°##80度【解析】【詳解】解：∵□ABCD中，∴∠A=∠C，∵∠A+∠C＝200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°-100°=80°．故答案是：80°．13.【答案】【解析】【分析】如圖，利用勾股定理求出，即可得解．【詳解】解：如圖，，∴，∴，∴點表示的實數(shù)是：．故答案為：．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸．熟練掌握實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，是解題的關(guān)鍵．本題還考查了勾股定理．14.【答案】∠DFG=90°（答案不唯一）【解析】【分析】由三角形中位線定理得DEBC，再由DFEG，得四邊形DFGE是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：添加條件為：∠DFG=90°，理由如下：∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DEBC，∵DFEG，∴四邊形DFGE是平行四邊形，又∵∠DFG=90°，∴平行四邊形DFGE是矩形，故答案為：∠DFG=90°（答案不唯一）．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．15.【答案】①③##③①【解析】【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再分析逆命題是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，正確；②如果兩個角相等，那么它們是直角，錯誤；③如果，，那么，正確；④如果兩個實數(shù)的平方相等，那么它們相等，錯誤，故答案為：①③．【點睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，難度適中．16.【答案】5【解析】【分析】由ABCD為矩形，得到∠BAD為直角，由折疊得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的長，由BD-BF求出DF的長，在Rt△EDF中，設(shè)EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出DE的長．【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折疊可得：EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根據(jù)勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，設(shè)EF=AE=x，則有ED=8-x，根據(jù)勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，則DE=8-3=5，故答案為：5．【點睛】此題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17.【答案】①.60②.【解析】【分析】先證明△BEF是等邊三角形，當(dāng)BE⊥AD時面積最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接BD，∵菱形ABCD邊長為4，∠BAD＝60°；∴△ABD與△BCD為正三角形，∴∠FDB＝∠EAB＝60°，∵AE+CF＝2，DF+CF＝2，∴AE＝DF，∵AB＝BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴當(dāng)BE⊥AD時，△BEF的面積最小，此時BE，∴邊BE上的高為，△BEF面積的最小值為：．故答案為：；．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．18.【答案】或【解析】【分析】由得，直線過定點，與四邊形有一個交點時，直線分別過點、，求得直線過點、時的取值，結(jié)合圖像以及一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：由得，直線過定點將代入得，，即將代入得，，即將線段沿軸向右平移個單位長度得到線段則、由圖像可得，當(dāng)直線與四邊形有一個交點時，有兩種情況，一是直線過點，一是直線過點，如下圖：將點代入得：，解得將點代入得：，解得由圖像得直線與四邊形有兩個交點時，直線應(yīng)該在、之間，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得，此時或故答案為：或【點睛】此題考查了一次函數(shù)與幾何的綜合問題，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8道小題，共64分，第19題8分，第20－21題每題6分，第22－24題每題8分，第25－26題每題10分）19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的化簡，加減法即可求解；（2）化簡二次根式，根據(jù)二次根式的乘除法，加減法即可求解．【小問1詳解】解：．【小問2詳解】解：．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡，加減乘除混合運算，掌握二次根式的化簡，二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把和代入解析式即可得到關(guān)于和的方程組求得、的值；（2）把代入解析式即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，圖象經(jīng)過和兩點，解得，則一次函數(shù)的解析式為：；【小問2詳解】當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．先根據(jù)條件列出關(guān)于字母系數(shù)的方程，解方程求解即可得到函數(shù)解析式．當(dāng)已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)中字母的值就是求關(guān)于字母系數(shù)的方程的解．21.【答案】見解析【解析】【分析】連接，交于點，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得出對角線互相平分，根據(jù)得出，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得證．【詳解】證明：如圖所示，連接，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵∴，即，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)B的坐標(biāo)即可求得b＝3，從而求得直線的表達(dá)式，令y＝0，求得x＝2，即可求得A（2，0）；（2）利用三角形面積求得AC＝4，由A（2，0）即可求得C的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：直線與軸交于，與軸交于．∴，∴直線的表達(dá)式為，令，則，解得，∴；【小問2詳解】解：∵，，，∴，即，∴，∴或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．23.【答案】（1）見解析（2）4【解析】【分析】(1)先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是菱形；【小問2詳解】∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）見解析（2）CD，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【解析】【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．

（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【小問1詳解】解：如圖，四邊形ABCD即為所求．【小問2詳解】證明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對分別相等的四邊形是平行四邊形），

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．

故答案為：CD，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．25.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）通過待定系數(shù)法將和點代入解析式求解即可．

（2）點關(guān)于軸的對稱點為，連接，利用將軍飲馬問題，的長度即為最小值．

（3）利用一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，得到，根據(jù)點結(jié)合圖像即可求得．【小問1詳解】解：把，代入，得，解得：∴此一次函數(shù)的表達(dá)式為：；【小問2詳解】解：如圖，∵點B關(guān)于x軸的對稱點為C，∴不管點D在x軸上任意位置都有：DC＝DB．∵當(dāng)點D為線段AB與x軸交點時，AD＋BD最短，∴此時線段AD與線段CD之和最短．過點A作AE⊥y軸于點E．∵，，∴AE＝2，BE＝4，由勾股定理得：．此時線段AD與線段CD之和的最小值為；【小問3詳解】解：一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點C，

把代入，得到，

于是得到，

∵當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，則當(dāng)x=2時，，解得：，∵a≠0，

∴a的取值范圍是：或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法解一次函數(shù)解析式、將軍飲馬問題及一次函數(shù)和不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．26.【答案】（1）見解析（2）等腰三角形，見解析（3），見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DC，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到DC=DC'，進(jìn)而證明結(jié)論；（3）延長PA至點M，使得AM=PC，連接DM，證明△DAM≌△DCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM=DP，∠ADM=∠CDP，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，證明結(jié)論．【小問1詳解】補全圖形，如圖所示：【小問2詳解】DAC是等腰三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵點C關(guān)于直線的對稱點為，∴，∴，∴?DA是等腰三角形；【小問3詳解】，理由如下：連接CP，延長PA至點M，使得AM=PC，連接DM由對稱性可得，∠DCP=∠DP由（2）可得，∠1=∠2∵∠1+∠3=180，∠2+∠DP=180°，∴∠3=∠DP，∴∠3=∠DCP，∵四邊形ABCD是矩形，∴DA=DC，∠ADC=90°，在?DMA和?DPC中，，∴?DMA≌?DPC（SAS），∴∠4=∠5，DM=DP∵∠ADP+∠5=90°，∴∠4+∠ADP=9