人教版八年級數學下分層優(yōu)化堂堂清第17章勾股定理專題利用勾股定理解題的常見題型

人教版八年級數學下分層優(yōu)化堂堂清第17章勾股定理 專題利用勾股定理解題的常見題型題型一、利用勾股定理數軸上表示無理數例11如圖，點B，D在數軸上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D為圓心，DC長為半徑作弧，與數軸正半軸交于點A，則點A表示的實數是()A.B.+1C.?1D.針對練習11、如圖，數軸上點A、B分別對應1、2，過點B作PQ⊥AB，以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點C，以原點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數軸于點M，則點M對應的數是()A.3B.5C.6D.72、如圖，數軸上點A表示的數為()A.1B.2C.2D.123、如圖，在平面直角坐標系中，以O為圓心，以OP的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A，若點A的坐標為(?，0)，點P的縱坐標為?1，則點P的坐標為________.解題策略：一般地，利用勾股定理在數軸上畫出n（n為大于1的整數）的線段的關鍵是找到兩個正整數a、b，使a2+b2=n，此時只要作出直角邊長為a、b的直角三角形，斜邊的長即為n。題型二、利用勾股定理求網格中線段的長例21、如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形2、如圖，每個小正方形的邊長都為1.(1)求四邊形ABCD的周長.(2)求點A到BC的距離.3、如圖，在5×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，在所給網格中按下列要求畫出圖形：(1)(I)已知點A在格點(即小正方形的頂點)上，畫一條線段AB，長度為5，且點B在格點上；(II)以上題中所畫線段AB為一邊，另外兩條邊長分別是3，22，畫一個三角形ABC，使點C在格點上(只需畫出符合條件的一個三角形)；(2)所畫的三角形ABC的AB邊上高線長.(直接寫出答案)如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，求：

（1）邊AC、AB、BC的長；

（2）求△ABC的面積；

（3）點C到AB邊的距離．解題策略正方形網格中的每個角都是直角，在正方形網格中的計算都可以歸結為求任意兩格點之間的長度問題，一般情況下都是應用勾股定理來進行計算，解題關鍵是確定每一條邊所在的直角三角形。題型三、利用勾股定理求線段的長例31、如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC的長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉動到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'的長為8m，則BB'的長為()A.1mB.2mC.3mD.4m針對練習3

1、如圖，一個梯子斜靠在一豎直的墻AO上，測得AO=4m，若梯子的頂端沿墻下滑1m，這時梯子的底端也右滑1m，則梯子AB的長度為________m.2、如圖，在銳角三角形ABC中，AB=13，AC=15，點D是BC邊上一點，BD=5，AD=12，求BC的長.4、小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地ABCD(如圖所示)的周長，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測量其長度.小東經測量得知AB=AD=5m，∠A=60°，BC=12m，∠ABC=150°.小明說根據小東所得的數據可以求出CD的長度.你同意小明的說法嗎?若同意，請求出CD的長度；若不同意，請說明理由.解題策略：求直角三角形斜邊上的高常用勾股定理和面積公式聯合求解，步驟：先用勾股定理求出直角三角形三邊的長，再用兩種方法表示出這個直角三角形的面積，然后利用面積相等列出方程，從而求出所求線段的長。在非直角三角形中求線段的長，可以先根據題意作垂線，構造直角三角形，應用勾股定理求解。題型四、利用勾股定理證明線段相等例41如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD2+CD2=2AB2,求證AB=BCCACABDCABD針對練習41.如圖，公路上A、B兩點相距，C、D為兩村莊，于A，于B，已知，，現在要在公路上建一個土特產品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應建在距A多少千米處？并判斷此時的形狀，請說明理由．解題策略：將有關線段構建在直角三角形中，利用勾股定理分別表示出相關線段，利用等量代換證明線段的相等。題型五、利用勾股定理證明線段之間的平方關系例51已知：AB=AC，CD=BC，求證：AD針對練習51、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于點P.求證：BP2=AP2+BC2.2、已知：△ABC中，AD為BC中線，求證：AB3、已知：鈍角△BAC，CD垂直BA延長線于D，求證：BC4、已知：四邊形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求證：AB解題策略：看到已知條件中出現線段的平方，或者證明結論中出現線段的平方，往往需要從勾股定理入手，找出直角三角形三邊的關系，其間常常會用到線段的等量代換。題型六、利用勾股定理求非直角三角形中的線段長例61、如圖，△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，∠BDA=60°，DB=5，DC=7針對練習61、如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上的一點，點F是CD延長線上的一點，且BE=DF，連接AE、AF、EF.(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE=5，請求出EF的長.2、如圖，在△ABC中，AB=42(1)求BC邊上的高線長.(2)點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF.①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數.②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長.已知：如圖，△ABC的面積為84，BC＝21，現將△ABC沿直線BC向右平移a（0＜a＜21）個單位到△DEF的位置．

（1）求BC邊上的高；

（2）若AB＝10，

①求線段DF的長；

②連結AE，當△ABE時等腰三角形時，求a的值．解題策略：在非直角三角形中求線段的長度時，可以根據題意作垂線構造直角三角形，再應用勾股定理求解。題型七、利用勾股定理求折疊問題中線段的長例71如圖，在長方形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC上，且DC=3DE=9，將長方形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，求FP的長.針對練習7如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為BC上一點，將AC沿AD折疊，使點C落在AB上的E點，求CD的長.如圖，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E．

（1）試判斷△BDE的形狀，并說明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面積．3、折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.4、如圖，正方形ABCD中，CD=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求GC的長．

解題策略：勾股定理在有關圖形折疊（翻折）計算的問題中的方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設圖形中某一未知數為x，將此三角形中的三邊長用具體數或含x的代數式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。題型八、利用勾股定理解決生活中的應用例81在一次緝私行動中，警方獲得可靠消息：一輛走私車將路過一段水平且筆直的2號公路，但由于車上有威力巨大的爆炸裝置，在方圓120m范圍內有危險，緝私警察無法靠近.為保證我警員的安全，決定利用遠程射擊的方法，警方選中一個距離2號公路120m的高地作為隱蔽處，當射程為200m時開始射擊.若走私車與警方隱蔽處的距離為255m時，警方做好了射擊準備.走私車又行駛了多少米后，警方可以對其進行射擊?針對練習81、如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀察站B的北偏西15（1）填空：∠BAC=度，∠C

=（2）求觀測站B到AC的距離BP（結果保留根號）.2、如圖，南海某海域有兩艘外國漁船A、B在小島C的正南方向同一處捕魚.一段時間后，漁船B沿北偏東30°的方向航行至小島C的正東方向20海里處.(1)求漁船B航行的距離；(2)此時，在D處巡邏的中國漁政船同時發(fā)現了這兩艘漁船，其中B漁船在點D的南偏西60°方向，A漁船在點D的西南方向，我漁政船要求這兩艘漁船迅速離開中國海域.請分別求出中國漁政船此時到這兩艘外國漁船的距離.(注：結果保留根號)3、如圖所示,某人欲垂直橫渡一條河,由于水流的影響,他實際上岸地點C偏離了想要到達的點B140米(即BC=140米),其結果是他在水中實際游了500米(即AC=500米),求該河的寬度(即AB).解題策略：應用勾股定理解決實際問題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造直角三角形，必要時設未知數列方程。題型九、利用勾股定理探究動點問題例91已知：如圖，在中，，，，動點P從點B出發(fā)沿射線以的速度移動，設運動的時間為.（1）求邊的長；（2）當為直角三角形時，求t的值；（3）當時，求點A、P之間的距離.針對練習91．如圖，線段AB，BC，CD和BD都為，動點P從點A出發(fā)，沿以的速度運動到點D，動點Q從點D出發(fā)，沿以的速度運動到點A.若兩點同時開始運動時，P，Q相距.試確定兩點運動時，的形狀.2．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個單位長度的速度運動.設點P的運動時間為t秒.(1)求AC的長及斜邊AB上的高；(2)①當點P在AC延長線上運動時，CP的長為______；(用含t的代數式表示)②若點P在的角平分線上，則t的值為______；(3)在整個運動中，直接寫出是等腰三角形時t的值.3．如圖，在中，，cm，cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4厘米的速度沿折線運動（運動一周回到點A時停止運動），設運動時間為t秒（）.（1）點P在AC上運動時，是否存在點P，使得？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；（2）若點P運動到BC上某點時使的面積為16，求此時t的值.解題策略：幾何問題常代數化解決，而勾股定理又是形化數的典范，因此此類問題只要結合相關幾何圖形的性質建立方程，即可快速求解。題型十、利用勾股定理求最短路徑例101問題的提出：如果點P是銳角△ABC內一動點，如何確定一個位置，使點P到△ABC的三頂點的距離之和(1)問題的轉化：把△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB(2)問題的解決：當點P到銳角△ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°針對練習101、如圖，河邊有A，B兩個村莊，A村距河邊10m，B村距河邊30