桿件的內(nèi)力分析-疊加法作剪力圖和彎矩圖（建筑力學(xué)）

桿件的內(nèi)力分析一、疊加原理疊加原理：在彈性范圍、小變形情況下，各荷載共同作用時，梁的某一參數(shù)（支座反力，某截面的內(nèi)力、位移等）等于各荷載單獨作用時所引起的該參數(shù)的代數(shù)和。下面以懸臂梁為例，說明疊加原理在繪梁內(nèi)力圖中的應(yīng)用。分析懸臂梁在三種荷載情況下的反力、剪力圖和彎矩圖，如圖3-30所示。

疊加法作剪力圖和彎矩圖桿件的內(nèi)力分析

固定端處的支座反力為ＦB＝Ｆ＋ql＝ＦBＦ＋ＦBqmB＝Ｆl＋（1/2）ql2＝mBＦ＋mBq距左端為x的任一截面上的剪力和彎矩分別為Ｑ（x）＝－Ｆ－qxＭ（x）＝－Ｆx－qx2/2由上列各式可見，梁的反力和內(nèi)力均由兩部分組成：第一部分等效于集中力F單獨作用在梁上所引起的反力和內(nèi)力；第二部分等效于均布荷載q單獨作用在梁上所引起的反力和內(nèi)力。因此，圖3-30中的第一種情況等效于第二、三兩種情況的疊加。所以，計算圖3-30（a）所示梁的反力和內(nèi)力時，可先分別計算出F和q單獨作用時的結(jié)果，然后再代數(shù)相加。這種方法稱為疊加法。

桿件的內(nèi)力分析二、疊加法繪內(nèi)力圖如圖3-30所示，將集中力F和均布荷載q單獨作用下的剪力圖和彎矩圖分別疊加，即得到二者共同作用時的剪力圖和彎矩圖(見圖3-30（b）、（c）)。注意：內(nèi)力圖的疊加,是內(nèi)力圖上對應(yīng)縱坐標的代數(shù)相加,而不是內(nèi)力圖的簡單拼合。疊加法繪內(nèi)力圖步驟如下：（1）荷載分組。把梁上作用的復(fù)雜荷載分解為幾組簡單荷載單獨作用情況。（2）分別作出各簡單荷載單獨作用下梁的剪力圖和彎矩圖。各簡單荷載作用下單跨靜定梁的內(nèi)力圖可查表3-2。（3）疊加各內(nèi)力圖上對應(yīng)截面的縱坐標代數(shù)值，得原梁的內(nèi)力圖?！纠?-14】用疊加法作圖3-31所示外伸梁的M圖。解：（1）分解荷載為F1、F2單獨作用情況。（2）分別作二力單獨作用下梁的彎矩圖，如圖3-31（b）、（c）所示。（3）疊加得梁最終的彎矩圖。有兩種疊加方法。第一種方法：疊加A、B、C、D各截面彎矩圖的縱坐標，可得0、45N·m、－150N·m、0；再按彎矩圖特征連線（各段無均布荷載均為直線），得圖3-31（a）。第二種方法：在M1圖的基礎(chǔ)上疊加M2圖得圖3-31（d）。其中畫AC梁段的彎矩圖時，將ac線作為基線，由斜線中點b向下量取bb1=120N·m,連ab1及cb1，三角形ab1c即為M2圖。這種方法也可以叫作區(qū)段疊加法。

桿件的內(nèi)力分析三、區(qū)段疊加法作梁的彎矩圖用區(qū)段疊加法作梁的彎矩圖對復(fù)雜荷載作用下的梁、剛架及超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖繪制都是十分方便的。圖3-32（a）所示梁上承受荷載q、F作用，如果已求出該梁截面A、B的彎矩分別為MA、MB，則可取AB梁段為脫離體，由其平衡條件分別求出截面A、B的剪力QA、QB，如圖3-32（b）所示。此梁段的受力圖與圖3-32（c）所示簡支梁的受力圖完全相同，因為由簡支梁平衡條件可求出其支座反力FA=QA，F(xiàn)B＝－QB。因此，二者的彎矩圖也必然完全相同。用疊加法可作出簡支梁的彎矩圖如圖3-32（d）所示，故AB梁段的彎矩圖也可用此疊加法作出。用區(qū)段疊加法畫梁段的彎矩圖時，一般先確定兩端截面的彎矩值，如BD梁段，先求出MB和MD=0，將兩端截面彎矩的連線作為基線，在此基線上疊加簡支梁作用桿間荷載時的彎矩圖，即得該梁段的彎矩圖。BD梁段的彎矩圖如圖3-32（e）所示。結(jié)論：任意梁段都可以看作簡支梁，都可用簡支梁彎矩圖的疊加法作該梁段的彎矩圖。這種作圖方法稱為“區(qū)段疊加法”。區(qū)段疊加法作靜定梁的彎矩圖，應(yīng)先將梁分段。分段的原則是：分界截面的彎矩值易求；所分梁段對應(yīng)簡支梁的彎矩圖易畫（可查表3-2）。【例3-15】用疊加法作圖3-33（a）所示外伸梁的彎矩圖。解：（1）求支座反力。FA=15（kN）(↑)FB=11（kN）(↑)（2）分段并確定各控制截面彎矩值，該梁分為CA、AD、DB、BF四段。MC=0MA=－6×2=－12（kN·m）MD=－6×6＋15×4－2×4×2=8（kN·m）MB=－2×2×1=－4（kN·m）MF=0（3）用區(qū)段疊加法繪制各梁段彎矩圖。先按一定比例繪出各控制截面的縱坐標，再根據(jù)各梁段荷載分別作彎矩圖。如圖3-33（b）所示，CA梁段無荷載，由彎矩圖特征直接連線作圖；AD、DB有荷載作用，則把該段兩端彎矩縱坐標連一虛線，稱為基線，在此基線