桿件的內(nèi)力分析-梁的內(nèi)力分析（建筑力學(xué)）

桿件的內(nèi)力分析

可見，在集中力偶左右兩側(cè)橫截面上，剪力相同，彎矩發(fā)生突變，突變值等于該集中力偶的力偶矩。由此可知,計算集中力和集中力偶作用截面的內(nèi)力時,須分別計算該截面兩側(cè)相鄰截面的內(nèi)力。二、剪力圖和彎矩圖進行梁的強度和剛度計算時，除需要計算指定截面的內(nèi)力外，還必須了解剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，并確定最大內(nèi)力值及其作用位置。由梁橫截面的內(nèi)力計算可知，一般情況下，梁在不同截面上的內(nèi)力是不同的，即梁各截面的內(nèi)力是隨截面位置而變化的。若取梁軸線為x軸，坐標x表示各截面位置，則梁各截面上的剪力和彎矩均為x坐標的函數(shù)：Ｑ＝Ｑ（x）Ｍ＝Ｍ（x）

此函數(shù)關(guān)系即內(nèi)力方程，分別稱為剪力方程和彎矩方程。為使內(nèi)力方程形式簡單，可任意選定坐標原點和坐標軸方向。為了直觀地顯示梁各截面剪力和彎矩沿軸線的變化規(guī)律，可繪出內(nèi)力方程的函數(shù)圖形，稱為剪力圖和彎矩圖。其繪圖方法與繪軸力圖和扭矩圖相仿，以平行梁軸線的橫坐標x表示各橫截面位置，以垂直梁軸線的縱坐標表示各橫截面的內(nèi)力值，選適當(dāng)比例繪圖。在土建工程中規(guī)定：正值的剪力畫在軸線上方，負值的剪力畫在軸線下方；正值的彎矩畫在軸線下方，負值的彎矩畫在軸線上方，即彎矩圖畫在受拉側(cè)，一般可不標正、負號。繪制梁的內(nèi)力圖的基本方法是首先列出梁的內(nèi)力方程，然后根據(jù)方程作圖。這種繪梁內(nèi)力圖的方法可稱為方程式法。下面舉例說明?！纠?-8】懸臂梁在自由端作用集中荷載F，如圖3-22（a）所示。試繪制其剪力圖和彎矩圖。解：（1）建立剪力方程和彎矩方程。將坐標原點取在梁左端A點，截取任意截面x的左段梁為研究對象，由平衡條件分別列出該截面的剪力和彎矩的函數(shù)表達式，即該梁段的剪力方程和彎矩方程。Ｑ（x）＝－Ｆ（0＜x＜l）(a)Ｍ（x）＝－Ｆx（0≤x≤l）(b)（2）繪剪力圖和彎矩圖。由式（a）可知，剪力函數(shù)為常量，該梁的剪力Q不隨截面位置而變化。取直角坐標系xAQ，選適當(dāng)比例尺，畫出梁的剪力圖為平行于x軸的水平線，因各截面剪力均為負值，故剪力圖畫在軸下側(cè)，并注明負號（見圖3-22（b））。

由式（b）可知，彎矩M為x的一次函數(shù)，故彎矩圖為一條斜直線。一般由梁段兩端的彎矩值來確定該直線：在x=0處，MA=0；在x=l處，MB＝－Fl。取直角坐標系xAM，選適當(dāng)比例繪彎矩圖。因M為負值，按規(guī)定M圖畫在軸上側(cè)，可不注負號（見圖3-22（c））。（3）確定內(nèi)力最大值。由圖可見：Ｑmax＝Ｆ，發(fā)生在全梁各截面；Ｍmax＝Ｆl，發(fā)生在固定端截面上。內(nèi)力圖特征為：無荷載作用的梁段上，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線?！纠?-9】簡支梁受集度為q的均布荷載作用，如圖3-23（a）所示。試作其剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支座反力。由結(jié)構(gòu)和外力的對稱性，可知兩支座反力相等，即ＦＡ＝ＦB＝0．5ql（↑）（2）建立剪力方程和彎矩方程。坐標原點取在A端，根據(jù)任意截面x左側(cè)梁段外力直接求截面內(nèi)力Ｑ（x）＝ＦＡ－qx＝0.5ql－qx（0＜x＜l）(a)Ｍ（x）＝ＦＡx－0.5qx2＝0.5qlx－0.5qx2（0≤x≤l）(b)（3）繪剪力圖和彎矩圖。由剪力方程（a）可知，剪力為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線。在x=0處，ＱＡ＝0．5ql；在x＝l處，ＱB＝－0.5ql。選合適比例定兩點作剪力圖（見圖3-23（b））。注明正負號，可不畫坐標軸。

由彎矩方程式（b）可知，彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線，確定曲線至少需要三個點。在x=0處，MA=0；在x＝l處，MB=0；在x＝0.5l處，ＭＣ＝18ql2。選合適比例在受拉側(cè)作彎矩圖（見圖3-23（c）。M圖上有極值點。由彎矩函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)（剪力函數(shù)）為零確定極值點位置，再代入彎矩方程求出M極值。如本題，由Ｍ′(x)＝0.5ql－qx＝0，得x＝0.5l，代入彎矩方程，得Ｍ(x)x＝0.5l＝ql2/4－ql2/8＝ql2/8(4)確定內(nèi)力最大值。由內(nèi)力圖可直觀確定：Ｑmax＝0.5ql，在A、B兩端截面；Ｍmax＝1/8ql2，在跨中截面。內(nèi)力圖特征：在均布荷載q作用的梁段，剪力圖為斜直線；彎矩圖為二次拋物線，曲線彎曲方向與q指向相同；在剪力為零的截面，彎矩有極值?！纠?-10】簡支梁AB在C點處作用集中力Ｆ，如圖3-24（a）所示。試作梁的內(nèi)力圖。解：（1）求支座反力。由整體平衡方程得∑ＭB＝0－ＦＡl＋Ｆb＝0和∑ＭＡ＝0ＦBl－Ｆa＝0得ＦＡ＝Ｆb/l（↑）ＦB＝Ｆa/l（↑）校核：∑Ｆy＝ＦＡ＋ＦB－Ｆ＝0，計算無誤。（2）建立剪力方程和彎矩方程。因集中力兩側(cè)桿段的內(nèi)力變化規(guī)律不同，故剪力方程和彎矩方程應(yīng)分AC、CB兩段分別列出。AC段：坐標原點取在A端，取任意截面x1左側(cè)梁段為研究對象，由外力直接求截面內(nèi)力Ｑ（x1）＝ＦＡ＝Ｆb/l（0＜x1＜a）(a)Ｍ（x1）＝ＦＡx1＝Ｆbx1/l（0≤x1≤a）(b)CB段：為使內(nèi)力方程形式簡單，坐標原點取在B端，取任意截面x2右側(cè)梁段為研究對象，由外力直接求截面內(nèi)力為Ｑ（x2）＝－ＦB＝－Ｆa/l（0＜x2＜b）(c)Ｍ（x2）＝ＦBx2＝Ｆax2/l（0≤x2≤b）(d)（3）繪剪力圖和彎矩圖。由式（a）、式（c）可知，剪力與x無關(guān)，為常量，在AC段為正值，在CB段為負值，故剪力圖為兩段水平線，如圖3-24（b）所示。由式（b）、式（d）可知，在AC、CB梁段，M均為x的一次函數(shù)，故彎矩圖為兩段斜率不同的斜直線，在x1=0處，MA=0;在x1=a處，ＭＣ＝Ｆab/l；在x2=0處，MB=0;在x2=b處，ＭＣ＝Ｆab/l。作彎矩圖如圖3-24（c）所示。（4）確定內(nèi)力最大值。由內(nèi)力圖可知：Ｑmax＝Ｆb/l（b＞a），在AC梁段各截面；Ｍmax＝Ｆab/l,在C截面。如果集中力F作用在跨中截面，即a＝b＝l/2時，Ｍmax＝Ｆl/4，在跨中截面。內(nèi)力圖特征：在集中力F作用截面，剪力圖有突變，突變的絕對值為F；彎矩圖有尖角，尖角的指向與F相同。剪力圖在集中力作用處不連續(xù)的情況，是由于忽略集中力作用面積的簡化結(jié)果。實際上，集中力總是分布在梁上某一范圍內(nèi)，若將力F按作用在梁微段上的均布荷載處理，則剪力圖將不會發(fā)生突變，如圖3-25所示?！纠?-11】簡支梁AB在C處作用一集中力偶m，如圖3-26（a）所示。試作其內(nèi)力圖。解：（1）求支座反力。由整體平衡方程得ＦＡ＝－m/l（↓）ＦB＝m/l（↑）校核無誤。（2）建立剪力方程和彎矩方程。由于集中力偶作用截面左、右兩側(cè)梁段內(nèi)力變化規(guī)律不同，應(yīng)分段列內(nèi)力方程。AC段：取坐標原點為A點，由x1截面左側(cè)梁段外力，直接求截面內(nèi)力Ｑ（x1）＝ＦＡ＝－m/l（0＜x1≤a）（a）M（x1）＝ＦＡx1＝－（m/l）x1（0≤x1＜a）（b）CB段：坐標原點取在B端，由x2截面右側(cè)梁段外力，直接求截面內(nèi)力Ｑ（x2）＝－ＦB＝－m/l（0＜x2≤b）（c）Ｍ（x2）＝ＦBx2＝（m/l）x2（0≤x2＜b）（d）（3）繪內(nèi)力圖。由式（a）、式（c）可見，AC、CB梁段剪力相同，剪力圖為水平線，如圖3-26（b）所示。由式（b）、式（d）可見，AC、CB梁段彎矩均為x的一次函數(shù)，彎矩圖為兩條斜率不同的斜直線。在x1=0處，MA=0;在x1=a處，ＭＣ左＝－ma/l；在x2=0處，MB=0；在x2=b處，ＭＣ右＝mb/l。繪梁彎矩圖如圖3-26（c）所示。（4）確定內(nèi)力最大值。設(shè)a<b，從內(nèi)力圖上直觀確定Ｑmax＝m/l，沿全梁各截面；Ｍmax＝mb/l，在C右截面處。內(nèi)力圖特征：在集中力偶作用處，剪力圖不受影響；彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于該力偶矩的大小。

桿件的內(nèi)力分析一、梁的內(nèi)力如圖3-15（a）所示，簡支梁AB在荷載F和支座反力FA、FB的共同作用下處于平衡狀態(tài)，用截面法分析n—n截面上的內(nèi)力。(1)假想用n—n截面將梁分為兩段。(2)取左段為研究對象（見圖3-15（b））。舍棄部分對保留部分的作用用截面上的內(nèi)力代替，則內(nèi)力與外力FA平衡。顯然，F(xiàn)A有使左梁段上下移動和繞截面形心O轉(zhuǎn)動的作用，因而截面上相應(yīng)有與之平衡的兩種內(nèi)力Q、M。剪力Q——限制梁段沿截面方向移動的內(nèi)力，單位為N或kN。彎矩M——限制梁段繞截面形心O轉(zhuǎn)動的內(nèi)力矩，單位為N·m或kN·m。

梁的內(nèi)力分析桿件的內(nèi)力分析(3)由梁段的平衡條件

∑Ｆy＝0ＦＡ－Ｑ＝0

得Ｑ＝ＦＡ

∑ＭＯ＝0ＦＡ·x－Ｍ＝0

得Ｍ＝ＦＡ·x若研究右梁段的平衡，可得同樣結(jié)果，如圖3-15（c）所示。

∑Ｆy＝0ＦB－Ｆ＋Ｑ′＝0

得Ｑ′＝Ｆ－ＦB＝ＦＡ＝Ｑ

∑ＭＯ＝0ＦB·（l－x）－Ｆ·（a－x）－Ｍ′＝0

得Ｍ′＝ＦB·（l－x）－Ｆ·（a－x）＝ＦＡ·x＝Ｍ

為了取不同的研究對象計算同一截面的內(nèi)力時數(shù)值和符號均相同，梁的內(nèi)力符號規(guī)定為：剪力Q：使截面鄰近的微梁段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正值，反之為負值(見圖3-16（a）)。彎矩M：使截面鄰近的微梁段產(chǎn)生下邊凸出，上邊凹進變形的彎矩為正值，反之為負值（見圖3-16（b））?！纠?-4】已知簡支梁AB如圖3-17（a）所示。求距左端支座2m處截面上的內(nèi)力。已知F1=20kN，F(xiàn)2=40kN。解：（1）求支座反力。由整體的平衡條件得∑ＭＡ＝0Ｆ1a＋Ｆ2（l－c）－ＦBl＝0ＦB＝Ｆ1a＋Ｆ2（l－c）l＝20×1＋40×（4－1）4＝35（kN）（↑）∑ＭB＝0Ｆ1（l－a）＋Ｆ2c－ＦＡl＝0ＦＡ＝Ｆ1（l－a）＋Ｆ2cl＝20×（4－1）＋40×14＝25（kN）（↑）（2）用截面法求內(nèi)力。截取截面左段梁為研究對象，畫受力圖如圖3-17（b）所示，為便于判斷計算結(jié)果，圖中未知內(nèi)力都按符號規(guī)定的正向假設(shè)。由左段梁平衡條件得∑Ｆy＝0ＦＡ－Ｆ1－Ｑ＝0Ｑ＝ＦＡ－Ｆ1＝25－20＝5（kN）∑ＭＯ＝0ＦＡx－Ｆ1（x－a）－Ｍ＝0Ｍ＝ＦＡx－Ｆ1（x－a）＝25×2－20×（2－1）＝30（kN·m）計算結(jié)果均為正值，實際內(nèi)力方向如圖3-17（b）、（c）所示。

由以上計算結(jié)果可見，由梁上外力可直接計算截面上的內(nèi)力。（1）梁任一橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)梁段上所有外力在截面上投影的代數(shù)和，即:Ｑ＝∑ＦiQ。（2）梁任一橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)梁段上所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和，即:Ｍ＝∑ＭＯ(ＦiQ)

由外力直接判斷內(nèi)力符號為：（1）對截面產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢的外力（截面左側(cè)梁上所有向上的外力或截面右側(cè)梁上所有向下的外力）在截面上產(chǎn)生正剪力；反之產(chǎn)生負剪力，如圖3-18（a）所示。（2）使梁段產(chǎn)生下邊凸出、上邊凹進變形的外力（截面兩側(cè)梁上均為向上的外力,使梁產(chǎn)生左側(cè)截面順時針、右側(cè)截面逆時針的外力矩）在截面上產(chǎn)生正彎矩；反之產(chǎn)生負彎矩，如圖3-18（b）所示。直接由外力計算截面內(nèi)力時，先看截面一側(cè)有幾個外力，再由各外力方向判斷產(chǎn)生內(nèi)力的符號，最后計算各項代數(shù)和確定截面內(nèi)力?！纠?-5】簡支梁上作用集中力F=1kN，集中力偶m=4kN·m，均布荷載q=10kN/m，如圖3-19所示。試求1—1截面和2—2截面上的剪力和彎矩。解：（1）求支座反力。由整體的平衡條件，可得ＦＡ＝0.75Ｆ－m＋q/2×(0.5)2＝0.75×1－4＋102×0.25＝－2（kN）（↓）ＦB＝0.25Ｆ＋m＋q×0.5×0.75＝0.25×1＋4＋10×0．5×0.75＝8（kN）（↑）（2）求內(nèi)力。由1—1截面左側(cè)外力Q1=FA＝－2kNM1=0.2FA=－0.4(kN·m)由2—2截面右側(cè)外力Ｑ2＝0．4q－ＦB＝0．4×10－8＝－4（kN）Ｍ2＝ＦB×0．4－q/2×(0.4)2＝8×0.4－10/2×(0.4)2＝2.4（kN·m）【例3-6】外伸梁受荷載作用如圖3-20所示。圖中截面1—1、2—2分別無限接近于截面A的左側(cè)、右側(cè)，截面3—3、4—4分別無限接近于跨中截面的左側(cè)、右側(cè)。試求圖示各截面的剪力和彎矩。解：（1）求支座反力。取整體為研究對象由∑ＭB＝0Ｆ×3a－m－ＦＡ×2a＝0得ＦＡ＝(3Ｆa－m)/2a＝(3Ｆa－0．5Ｆa)/2a＝1.25Ｆ（↑）由∑ＭＡ＝0Ｆa－m＋ＦB×2a＝0得ＦB＝(－Ｆa＋m)/2a＝(－Ｆa＋0．5Ｆa)2a＝－0.2