七年級數(shù)學專題三-多邊形、軸對稱考點例析-華東師大版

初一數(shù)學專題三多邊形、軸對稱考點例析華東師大版【本講教育信息】一.教學內(nèi)容：專題三多邊形、軸對稱考點例析二、知識點分析1.三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，會根據(jù)三邊關(guān)系判斷已知的三條線段能否組成三角形.2.三角形的分類.3.三角形具有穩(wěn)定性.4.多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和的探索過程.5.理解某些正多邊形能夠鋪滿地面的道理，會欣賞豐富多彩的圖案.6.了解軸對稱的概念，能夠判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，并能找出對稱軸.7.會畫和一個簡單圖形關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形，會設(shè)計簡單的軸對稱圖形.特別是在坐標系中對一些圖形會以坐標軸為對稱軸進行軸對稱變換.8.認識線段的垂直平分線的性質(zhì)，并能用來解決相關(guān)的簡單問題.9.理解等腰三角形的性質(zhì)與判定，了解等邊三角形是特殊的等腰三角形，以及等邊三角形的性質(zhì)與判定，能用來解決相關(guān)的簡單問題.10.等腰三角形性質(zhì)表示如果一個三角形是等腰三角形，那么可以得出：兩底角相等；而要判定一個三角形是等腰三角形，必須先說明三角形中有兩個角相等.兩者是實現(xiàn)“等角”與“等邊”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，常用來說明兩條線段、兩個角相等.三、典型例題求正多邊形的邊數(shù)例1．若一個正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______．分析:根據(jù)由多邊形的內(nèi)外角和公式列出邊數(shù)的方程解題.解:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則（n-2）×180°＝3×360°，解得n＝8求正多邊形的內(nèi)角例2.如圖是一個五角星圖案，中間部分的五邊形ABCDE是一個正五邊形，則圖中∠ABC的度數(shù)是.分析:根據(jù)多邊形內(nèi)角和及正多邊每個內(nèi)角相等.解:正五邊形的內(nèi)角和為：（5－2）×180°＝540°，又因為正五邊形內(nèi)角相等，故∠ABC＝540°÷5＝108°.點評:正多邊形既具有一般凸多邊形的內(nèi)角和關(guān)系：（n－2）×180°，同時它還具有各角都相等，各邊都相等的特性.求多邊形的個數(shù)例3.若n邊形所有的邊都相等，所有的內(nèi)角都相等，則這樣的n邊形叫做正n邊形，如果一個正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)都是整數(shù)，那么這樣的正n邊形共有＿＿＿＿個.分析:因為這個正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)都是整數(shù)，所以這個正n邊形的每個外角的度數(shù)也是整數(shù)，所以n應是360的約數(shù)．解:易求得360的大于2的約數(shù)共有22個：3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，所以這樣的正n邊形共有22個．求正多邊形的對角線條數(shù)例4.如果多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍還多30°，則這個多邊形的對角線的總條數(shù)為＿＿＿＿．分析:本題首先根據(jù)多邊形的內(nèi)外角的關(guān)系求出多邊形的邊數(shù)，再聯(lián)系對角線的條數(shù)計算可求得這個多邊形的對角線的總數(shù).解:設(shè)外角為x，則內(nèi)角為（4x+30°）因為每一個內(nèi)角與它的外角互為鄰補角所以：x+(4x+30°)=180°x=30°.因為多邊形的外角和為360°，所以360°÷30°=12這個多邊形的內(nèi)角和為（12-2）×180°=1800°，因為12邊形從任意頂點出發(fā)均可以畫出9條對角線所以對角線的總條數(shù)為：×9×12=54，這個多邊形的對角線的總條數(shù)為×12×（12-3）=54.求不規(guī)則的多邊形的角度和例5.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為＿＿＿＿＿.分析:我們觀察整個圖形，里面包含著三角形和四邊形，我們可以借助四邊形的內(nèi)角和解決問題.解:四邊形ABPO的內(nèi)角和為∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°.因為∠BPO是△PDC的外角，所以∠BPO=∠C+∠D.因為∠POA是△OEF的外角，所以∠POA=∠E+∠F.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.點評:把這些分散的角集中到一起構(gòu)成多邊形，借助多邊形內(nèi)角和求解，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想.正多邊形的操作例6.將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形.將紙片展開，得到的圖形是（）分析:把一個正方形按如圖所示進行四次折疊，將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形，展開，得到的圖形是C.解:C.點評:本題無論是內(nèi)容還是方法都更重視動手實驗操作的作用.要改變以往數(shù)學學習過分依賴模仿與記憶的學習方式.正多邊形的密鋪例7.如圖，用灰白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面。根據(jù)第1—3個圖案的排列規(guī)律，第6個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)應為＿＿＿＿塊.分析:觀察圖形知第一個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)為5塊；第二個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)為（5＋3×1）塊；第三個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)為（5＋3×2）塊；……第六個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)為（5＋3×5）塊；解:第6個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)應為20塊.點評:本題以同學們熟知的用灰白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面的問題為背景，探究圖形的排列規(guī)律.通過由特殊到一般的分析，第n個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)為（5＋3×（n-1））塊.判斷圖形的軸對稱性例8.如圖所示，圖中是軸對稱圖案的是（）解析:根據(jù)軸對稱圖形的定義，圖形A、C、D無論怎樣翻轉(zhuǎn)都不能使兩部分完全重合，而圖形B沿過左下、右上兩個頂點的直線翻轉(zhuǎn)后兩個部分能夠完全重合.所以選B.尋找對稱軸例9.下列圖案中，有且只有三條對稱軸的是（）解析:A有2條對稱軸，B有4條對稱軸，C不是軸對稱圖形，D有3條對稱軸（對稱軸如圖中虛線所示），故選D.作軸對稱圖形例10.如下圖，在正方形網(wǎng)格上有一個△ABC.⑴作△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形（不寫作法）；⑵若網(wǎng)絡上的最小正方形的邊長為1，求△ABC的面積.解析：⑴利用圖中格點，可以直接確定出△ABC中各頂點的對稱點的位置，從而得到△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A’B’C’，如圖中虛線所示.⑵此三角形面積為：.考查設(shè)計軸對稱圖案例11.⑴觀察圖①～④中陰影部分構(gòu)成的圖案，請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征；⑵借助圖⑤的網(wǎng)格，請設(shè)計一個新的圖案，使該圖案同時具有你在解答（1）中所寫出的兩個共同特征．解析:⑴都是軸對稱圖形；它們的面積相等；⑵如圖⑥（答案不惟一）．軸對稱的性質(zhì)的應用例12.如圖，把一張矩形紙片（AD∥BC）沿折疊后，點分別落在的位置上，交于點．已知，那么＿＿．分析:根據(jù)折紙的操作原理可知C點與C點關(guān)于EF對稱，即EC和EC關(guān)于EF對稱，所以∠CEF＝∠GEF，再根據(jù)∠EFG和∠CEF的關(guān)系即可求得.解:根據(jù)折疊原理可知，EC和EC關(guān)于EF對稱，∴∠CEF＝∠GEF＝58.又∵AD∥BC，∴∠EFG＝∠CEF＝58，∴∠BEG＝180－2×∠EFG＝180－2×58＝64.等腰三角形性質(zhì)的應用例13.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D.請你再添加一個條件，就可以確定△ABC是等腰三角形.你添加的條件是.分析：本題是探索條件類，只要根據(jù)結(jié)論（等腰三角形）添加使之成立的條件即可，答案不唯一，按照等腰三角形的條件可以添加線段相等，也可以添加角相等．解:添加的條件可以是：BD=CD(或∠BAD=∠CAD等的其中之一).圖形的對折例14.將一張長方形的紙對折，如圖所示，可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到________條折痕，如果對折n次，可以得到_________條折痕.解析:本題是通過折疊次數(shù)的變化來研究折痕變化的規(guī)律題型，第一次對折有一條折痕，第一次對折后紙有兩層，第二次對折已有的兩層各有一條折痕，再加上原有的一條折痕共有1＋2＝3＝22－1條折痕，兩次對折后紙共有4層，第三次對折后在3條折痕的基礎(chǔ)上又增加了4條折痕，則此時共有1＋2＋4＝7＝23－1條折痕，由此可知第四次對折后共有24－1＝15條折痕，第n次對折共有（）條折痕.評注:本題利用由特殊到一般的方法，尋求對折后折痕的條數(shù)的變化規(guī)律，要從對折的結(jié)果去分析對折過程中紙的層數(shù)的變化，再從紙的層數(shù)的變化去總結(jié)折痕的變化規(guī)律.四、本講數(shù)學思想方法的學習1.與角、線段有關(guān)的計算題除了掌握與之對應的圖形性質(zhì)外，要注意方程思想的運用.2.與圖形有關(guān)的操作題，如果不能確定結(jié)果，應通過動手操作，這也是數(shù)學學習的方法之一.【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一、選擇題1、等邊三角形的對稱軸有（）A、一條B、二條C、三條D、九條2、下列撲克牌中，是軸對稱圖形的有()A、4張B、3張C、2張D、0張.3、已知等腰三角形的兩邊長分別為8與16，則其周長為（）A、32B、40C、32或40D、8或164、如果一個三角形一條邊上的中點到其它兩邊距離相等，那么這個三角形一定是()A、等邊三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、斜三角形5、等腰三角形頂角是底角的4倍，則頂角為()A、20°B、30°C、80°D、120°6、下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A、1，2，3B、1，4，2C、2，3，4D、6，2，37、一個多邊形只有27條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A、8B、9C、10D、118、已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形為（）A、三角形B、四邊形C、五邊形D、六邊形9、一個三角形的兩邊的長分別為3和8，第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長為（）A、5或7B、7C、9D、7或910、如圖，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°,則∠C的度數(shù)是()A、31°B、35°C、41°D、76°二、填空題1、一個四邊形是軸對稱圖形，有且只有四條對稱軸，則這個四邊形是形.2、0～9十個阿拉伯數(shù)字中是軸對稱圖形的有.3、等邊三角形的性質(zhì)：⑴三邊；⑵三角且都為度；⑶具有等腰三角形的一切性質(zhì).4、若兩圖形關(guān)于直線對稱，則圖形上的對應點連線段被對稱軸.5、△ABC中，已知∠A=80°，∠B=70°，則∠C=.6、如果一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2∶3，則這個三角形是三角形.7、用7根火柴棒首尾順次連接擺成一個三角形，能擺成不同的三角形的個數(shù)為_____.8、如圖，在圖1中，互不重疊的三角形共有4個，在圖2中，互不重疊的三角形共有7個，在圖3中，互不重疊的三角形共有10個，……，則在第個圖形中，互不重疊的三角形共有個（用含的代數(shù)式表示）.三、解答題1、畫出圖中的對稱軸.2、已知：如圖,AB=AC，∠ABD=∠ACD.試說明：BD=DC.3、圖中，已知∠AOB和C、D兩點，求作一點P使P到∠AOB兩邊的距離相等且使P到C、D兩點的距離和最小.4、有一個凸十一邊形，它由若干個邊長為１的正三角形和邊長為１的正方形無重疊、無間隙地拼成，求此凸十一邊形各內(nèi)角的大小，并畫出一個這樣的凸十一邊形的草圖.5、一個多邊形的內(nèi)角和比外角和多360度，這是幾邊形？6、小美想：2008年奧運會在北京召開，設(shè)計一個內(nèi)角和為2008°的多邊形圖案多有意義，小美的想法能實現(xiàn)嗎？

【試題答案】一、1、C；2、D；3、B；4、B；5、D；6、C7、B8、C9、D10、C二、1、正方形；2、1，3，8，0；3、相等；相等；60；4、垂直平分；5、30°；6、直角；7、2；8、三、1、解：在圖中找出兩個對稱點：點A、點A′，再畫出點A和點A′的垂直平分線.2、理由：連結(jié)BC.∵AB=AC(已知)，∴∠1=∠2(等邊對等角).又∠ABD=∠ACD(已知)，∴∠ABD-∠1=∠ACD-∠2(等式運算性質(zhì)).即∠3=∠4.∴BD=DC(等角對