2022年湖南省株洲市第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年湖南省株洲市第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋2)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(x)＝，則在區(qū)間(－2，6)上關(guān)于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的個(gè)數(shù)為（

）A.4 B.3 C.2 D.1參考答案：B【分析】把原方程轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由，可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，再在同一坐標(biāo)系下，畫出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解．【詳解】由題意，原方程等價(jià)于與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由，可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，作出在上的圖象，再根據(jù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合對(duì)稱性，可得作出在上的圖象，如圖所示．再在同一坐標(biāo)系下，畫出的圖象，同時(shí)注意其圖象過點(diǎn)，由圖可知，兩圖象在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，從而原方程有三個(gè)根，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，合理應(yīng)用函數(shù)的奇偶性，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔試題．2.某同學(xué)從家里到學(xué)校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的

路，設(shè)在途中花的時(shí)間為t，離開家里的路程為d，下面圖形中，能反映該同學(xué)的行程的是（

）.

A.

B.

C.

D.參考答案：C3.拋物線y2=4x經(jīng)過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A．y2=x﹣1 B．y2=2（x﹣1） C． D．y2=2x﹣1參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過焦點(diǎn)弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y1+y2，進(jìn)而求得焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，消去參數(shù)k，則焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程可得．【解答】解：由題知拋物線焦點(diǎn)為（1，0）設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x﹣1）代入拋物線方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韋達(dá)定理：x1+x2=所以中點(diǎn)橫坐標(biāo)：x==代入直線方程中點(diǎn)縱坐標(biāo)：y=k（x﹣1）=．即中點(diǎn)為（，）消參數(shù)k，得其方程為y2=2x﹣2故選B．4.設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱和在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則的取值范圍為(

) A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.空間四邊形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=600，則（

）A． B． C．? D．0參考答案：D6.底面是正三角形，且每個(gè)側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是A、一定是正三棱錐

B、一定是正四面體

C、不是斜三棱錐

D、可能是斜三棱錐參考答案：D7.曲線C的參數(shù)方程為，則它的普通方程為（）A．y=x2+1 B．y=﹣x2+1C． D．y=x2+1，x∈[﹣，]參考答案：C【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】將第1個(gè)方程兩邊平方，加上第2個(gè)方程，可得y=﹣x2+1，結(jié)合x的范圍，即可得出結(jié)論．【解答】解：將第1個(gè)方程兩邊平方，加上第2個(gè)方程，可得y=﹣x2+1，又x=sin（α+）∈[﹣，]，∴普通方程為．故選：C．8.如圖，的左右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)。若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.參考答案：B10.與兩圓及都外切的圓的圓心在（

）A.一個(gè)橢圓上

B.雙曲線的一支上

C.雙曲線上 D.一個(gè)圓上參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用原料3噸、原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用原料1噸、原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗原料不超過13噸，原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是

萬元.參考答案：2712.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．參考答案：的幾何意義表示為點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)間的斜率，，，∴，．∴恒成立表示函數(shù)的曲線在區(qū)間內(nèi)的斜率恒大于，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒大于．∴，則在區(qū)間內(nèi)恒成立，∴恒成立，時(shí)，，∴．13.等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

▲

參考答案：14.某商品一件的成本為元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件元出售，可賣出件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為

元時(shí)，利潤最大．參考答案：

15.已知雙曲線的一條漸近線和圓相切，則該雙曲線的離心率為

參考答案：略16.若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則sinθ的值為______

.參考答案：.解析：所有與平面平行的平面都滿足題設(shè).由得：，所以

17.的展開式的常數(shù)項(xiàng)是

▲

．參考答案：160略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù),的最大值為2。（Ⅰ）求函數(shù)在上的值域；

(Ⅱ)已知外接圓半徑，，角所對(duì)的邊分別是，求的值．參考答案：解：（1）由題意，的最大值為，所以．

而，于是，在上遞增．在遞減，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?；?）化簡(jiǎn)得：．由正弦定理，得，因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為．．所以略19.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且（n+1）a+anan+1﹣na=0對(duì)?n∈N*都成立．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bn=a2n﹣1a2n+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn＜．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）（n+1）a+anan+1﹣na=0對(duì)?n∈N*都成立．分解因式可得：[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，由an+1+an＞0，可得（n+1）an+1﹣nan=0，即=．利用“累乘求積”方法即可得出．（2）bn=a2n﹣1a2n+1==．利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】（1）解：（n+1）a+anan+1﹣na=0對(duì)?n∈N*都成立．∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，∵an+1+an＞0，∴（n+1）an+1﹣nan=0，即=．∴an=?…?=?…??1=．（2）證明：bn=a2n﹣1a2n+1==．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn=+…+=．即Tn＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”方法、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分別為BD、AC的中點(diǎn)．（I）證明：EF⊥CD；（II）若BC=CD=AD=1，求點(diǎn)E到平面ABC的距離．

參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（I）取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，證明CD⊥平面EFG，即可證明：EF⊥CD；（II）利用等體積方法，求點(diǎn)E到平面ABC的距離．【解答】（I）證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，∵E為BD的中點(diǎn)，∴EG∥BC，∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，∴EF⊥CD；（II）解：S△ABC==，S△BCE==，設(shè)點(diǎn)E到平面ABC的距離為h，則，∴h=，即點(diǎn)E到平面ABC的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查等體積法求點(diǎn)E到平面ABC的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它們?cè)趚=0處有相同的切線．（1）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）﹣2（ex+x），試判斷函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（3）若函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值為φ（t），解關(guān)于t的不等式φ（t）≤4e2．參考答案：解：（1）∵f（x）=ex（ax+b），g（x）=x2+2bx+2∴f′（x）=ex（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，由題意它們?cè)趚=0處有相同的切線，∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．（2）由題意F（x）=2xex+x2+2x+2，∴F′（x）=2（ex+1）（x+1），由F′（x）＞0，得x＞﹣1；由F′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，∴F（x）極小值=F（﹣1）=1﹣＞0，∴函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．（3）f′（x）=2ex（x+2），由f′（x）＞0，得x＞﹣2，由f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣2，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，﹣2）單調(diào)調(diào)遞減，∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2．①當(dāng)﹣3＜t＜﹣2時(shí)，f（x）在（t，﹣2）單調(diào)遞減，（﹣2，t+1）單調(diào)遞增，∴．②當(dāng)t≥﹣2時(shí)，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，∴∴φ（t）=，當(dāng)﹣3＜t＜﹣2時(shí)，φ（t）≤4e2，當(dāng)t≥﹣2時(shí)，φ（t）=2et（t+1），當(dāng)﹣2≤t≤﹣1時(shí)，φ（t）≤4e2，當(dāng)t＞﹣1時(shí)，φ（t）=2et（t+1）是增函數(shù)，又φ（2）=6e2，∴﹣1＜t≤2，∴不等式φ（t）≤4e2的解集為（﹣3，2]．略22.（本小題滿分14分）已知，函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點(diǎn)，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．參考答案：（Ⅰ）（1）因?yàn)?，所以?……1分則，而恒成立， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． …4分（2）不等式在區(qū)間上有解，即不等式在區(qū)間上有解，即不等式在區(qū)間