2023-2024學(xué)年北京市對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2023-2024學(xué)年北京市對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,22．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．23．設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，點.已知動點在雙曲線的右支上，且點不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若所有點，所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，則（）A． B． C．1 D．9．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．10．在中，點D是線段BC上任意一點，，，則（）A． B．-2 C． D．211．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．12．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則_________.14．已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)的范圍為______.15．設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.16．若雙曲線C：（，）的頂點到漸近線的距離為，則的最小值________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.18．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點A在圓C上，右準線與圓C相切.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過點A的直線l與圓C相交于另一點M，與橢圓E相交于另一點N.當(dāng)時，求直線l的方程.20．（12分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.21．（12分）已知橢圓：，不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.（Ⅰ）若線段的中點坐標為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過點，點滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.22．（10分）設(shè)為實數(shù),在極坐標系中,已知圓（）與直線相切,求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．2、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．3、A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.4、C【解析】由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是常考知識點.在二項式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項公式進行計算，從而問題可得解.5、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】點不在直線、上，若直線、互相平行，則過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，故，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當(dāng)趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當(dāng)時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.8、D【解析】

依題意，可得，在上單調(diào)遞增，于是可得在上的值域為，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因為，，所以，在上單調(diào)遞增，則在上的值域為，因為所有點所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，所以，解得，故選：D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到是關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．9、B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.10、A【解析】

設(shè)，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由，，.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.12、A【解析】

根據(jù)或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因為，所以.因為，所以，又，所以，所以..14、【解析】

由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，在第二象限，得，且，從而求出實數(shù)的范圍．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，∴，且，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系，解不等式，且是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為16、【解析】

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線，頂點，再利用點到直線的距離公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C：（，，可得一條漸近線，一個頂點，所以，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點到直線的距離公式、基本不等式求最值，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標方程為.將直線的極坐標方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）（2）9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；(2)任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元，分別求出，，，進而求得數(shù)學(xué)期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望為（元）.【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）或.【解析】

（1）圓的方程已知，根據(jù)條件列出方程組，解方程即得；（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，方法一：設(shè)直線l的方程為：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去，可得，同理直線方程和圓方程聯(lián)立，可得，再由可解得，即得；方法二：設(shè)直線l的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，可得，將其與圓方程聯(lián)立，可得，由可解得，即得.【詳解】（1）記橢圓E的焦距為（）.右頂點在圓C上，右準線與圓C：相切.解得，，橢圓方程為：.（2）法1：設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：.直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，整理得.由，解得.直線方程和圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，由，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.分法2：設(shè)，，當(dāng)直線l與x軸重合時，不符題意.設(shè)直線l的方程為：.由方程組消去x得，，解得.由方程組消去x得，，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的分析和運算能力.20、（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求解；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符題意，當(dāng)時，因為有兩個零點，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以單調(diào)遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，根據(jù)，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)，，則兩式相減，