直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理

關于直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理

直線與平面有幾種位置關系？復習引入

其中平行是一種非常重要的關系，不僅應用較多，而且是學習平面和平面平行的基礎．

有三種位置關系：在平面內(nèi)，相交、平行．問題第2頁,共60頁，2024年2月25日，星期天

如何判定一條直線和一個平面平行呢？線面平行的定義是什么？用定義好判斷嗎？引入新課問題第3頁,共60頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點．但是，直線無限延長，平面無限延展，如何保證直線與平面沒有公共點呢？a第4頁,共60頁，2024年2月25日，星期天觀察請您動手體驗一下將一本書平放在桌面上，翻動書的硬皮封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關系？第5頁,共60頁，2024年2月25日，星期天如果平面內(nèi)有直線與直線平行，那么直線與平面的位置關系如何？是否可以保證直線與平面平行？觀察直線與平面平行第6頁,共60頁，2024年2月25日，星期天直線與平面平行的判定請同學們預習課本P54--P56第7頁,共60頁，2024年2月25日，星期天直線與平面平行的判定

您做對了嗎？如果一條直線與一個平面沒有公共點我們稱做直線與平面平行，表示式：a與α沒有公共點a∥α如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.用符號表示為：αα，bα且a∥ba∥α第8頁,共60頁，2024年2月25日，星期天

平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.（用符號表示？）直線與平面平行的判定定理：ab三個條件不能少？線線平行

線面平行化歸與轉(zhuǎn)化的思想：（1）化線面平行為線線平行（2）化空間問題為平面問題第9頁,共60頁，2024年2月25日，星期天定理說明

1、線面平行的判定定理的數(shù)學符號表示，其中三個條件缺一不可.2、線線平行線面平行線線平行是條件的核心.3、注意定理中文字敘述、符號語言、圖

形表示的相互轉(zhuǎn)換。4、判定線面平行的二種方法：（1）定義法（2）判定定理第10頁,共60頁，2024年2月25日，星期天思考：您現(xiàn)在判定線面平行的方法有幾種？方法一：根據(jù)定義判定方法二：根據(jù)判定定理判定直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線線平行線面平行第11頁,共60頁，2024年2月25日，星期天直線和平面平行的性質(zhì)定理1第12頁,共60頁，2024年2月25日，星期天線面平行的判定定理解決了判定線面平行的問題（即所需條件）；反之，在直線與平面平行的條件下，會得到什么結(jié)論？直線和平面平行的性質(zhì)新課引入：第13頁,共60頁，2024年2月25日，星期天（1）如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和這個平面內(nèi)的直線有怎樣的位置關系？

abα

aαb問題討論：平行異面(2)什么條件下，平面

內(nèi)的直線與直線a平行呢？第14頁,共60頁，2024年2月25日，星期天直線和平面平行的性質(zhì)定理

如果一直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.求證：l∥m證明：

∵l∥α∴l(xiāng)和α沒有公共點；

∴l(xiāng)和m也沒有公共點；

又l和m都在平面β內(nèi)，且沒有公共點；∴l(xiāng)∥m.

α

mβ已知：l∥α,lβ,α∩β=m

又∵mα二、l第15頁,共60頁，2024年2月25日，星期天(1)“線面平行線線平行”

(3)在有線面平行的條件或要證線線平行時，m∥l(2)線線平行線面平行a∥α

證線面平行關鍵在于找線線平行（中位線、平行四邊形）第16頁,共60頁，2024年2月25日，星期天練習:(1).如果一條直線和一個平面平行,這個平面內(nèi)是否只有一條直線和已知直線平行呢?平面內(nèi)哪些直線都和已知直線平行?有幾條?(有無數(shù)條)(不是)第17頁,共60頁，2024年2月25日，星期天(2).如果a∥α,經(jīng)過a的一組平面分別和α相交于b、c、d…,b、c、d…是一組平行線嗎？為什么？(平行，線面平行的性質(zhì)定理)第18頁,共60頁，2024年2月25日，星期天(3).平行于同一平面的兩條直線是否平行？

(不一定)第19頁,共60頁，2024年2月25日，星期天

(4).過平面外一點與這平面平行的直線有多少條？(無數(shù)條)第20頁,共60頁，2024年2月25日，星期天判定定理的定理的應用例1.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點.

求證：EF∥平面BCD.ABCDEF分析：要證明線面平行只需證明線線平行，即在平面BCD內(nèi)找一條直線平行于EF，由已知的條件怎樣找這條直線？第21頁,共60頁，2024年2月25日，星期天證明：連結(jié)BD.∵AE=EB,AF=FD∴EF∥BD（三角形中位線性質(zhì)）例1.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點.

求證：EF∥平面BCD.ABDEF定理的應用第22頁,共60頁，2024年2月25日，星期天1.如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，若，則EF與平面BCD的位置關系是_____________.

EF//平面BCD變式1:ABCDEF第23頁,共60頁，2024年2月25日，星期天變式2:ABCDFOE

2.如圖,四棱錐A—DBCE中,O為底面正方形DBCE對角線的交點,F為AE的中點.求證:AB//平面DCF.分析:連結(jié)OF,可知OF為△ABE的中位線,所以得到AB//OF.第24頁,共60頁，2024年2月25日，星期天∵O為正方形DBCE對角線的交點,∴BO=OE,又AF=FE,∴AB//OF,BDFO

2.如圖,四棱錐A—DBCE中,O為底面正方形DBCE對角線的交點,F為AE的中點.求證:AB//平面DCF.證明:連結(jié)OF,ACE變式2:第25頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例2.如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點.BCADEFGH(3)你能說出圖中滿足線面平行位置關系的所有情況嗎？(1)E、F、G、H四點是否共面？(2)試判斷AC與平面EFGH的位置關系；第26頁,共60頁，2024年2月25日，星期天BCADEFGH解：(1)E、F、G、H四點共面?！咴凇鰽BD中，E、H分別是AB、AD的中點.∴EH∥BD且同理GF∥BD且EH∥GF且EH＝GF∴E、F、G、H四點共面。（2）AC∥平面EFGH證明：∵AC∥HG,AC平面EFGH,HG平面EFGH

∴AC∥平面EFGH第27頁,共60頁，2024年2月25日，星期天BCADEFGH（3）由EF∥HG∥AC，得EF∥平面ACDAC∥平面EFGHHG∥平面ABC由BD∥EH∥FG，得BD∥平面EFGHEH∥平面BCDFG∥平面ABD第28頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例2：已知：如圖，四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,M,N分別為AB,PC中點.求證：MN//平面PADPABCDMN分析：找一條在平面PAD內(nèi)并且和MN平行的線O平行四邊形的平行關系第29頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例3:正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE?BD上各有一點P?Q,且AP=DQ.求證:PQ∥平面BCE.分析:解法1:證明線面平行,可用線面平行的判定定理.第30頁,共60頁，2024年2月25日，星期天證明:如圖所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,連結(jié)MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,第31頁,共60頁，2024年2月25日，星期天∴AE=BD.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN,∴∴PMQN.∴PQ∥MN.第32頁,共60頁，2024年2月25日，星期天解法2:線面平行可以轉(zhuǎn)化為線線平行,而線線平行可通過“線段對應成比例”得到.連結(jié)AQ并延長交BC于K,連結(jié)EK,只需證出 即可.第33頁,共60頁，2024年2月25日，星期天證明:如圖所示,由AD∥BC,AK∩BD=Q知,△ADQ∽△KBQ,∴另一方面,由題設知,AE=BD,且AP=DQ.∴PE=QB,∴∴PQ∥EK.又PQ 平面BCE,EK平面BCE.∴PQ∥平面BCE.第34頁,共60頁，2024年2月25日，星期天練習：如圖，在三棱柱ABC——A1B1C1中，D是AC的中點。求證：AB1//平面DBC1P第35頁,共60頁，2024年2月25日，星期天1、如下圖在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,點E是PD的中點,求證:PB∥平面AEC.能力提升第36頁,共60頁，2024年2月25日，星期天證明:連結(jié)BD與AC相交于O,連結(jié)EO,∵ABCD為平行四邊形,∴O是BD的中點,又E為PD的中點,∴EO∥PB.∵第37頁,共60頁，2024年2月25日，星期天2.如圖所示,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E?F?P?Q分別是BC?C1D1?AD1?BD的中點.(1)求證:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的長;(3)求證:EF∥平面BB1D1D.第38頁,共60頁，2024年2月25日，星期天解:(1)證明:連結(jié)D1C,∵P?Q分別為AD1?AC的中點,∴PQ∴PQ∥面DCC1D1.(2)∵第39頁,共60頁，2024年2月25日，星期天(3)證明:取B1D1的中點Q1,連結(jié)Q1F?Q1B,∵F為D1C1的中點,Q1F

BE.∴四邊形Q1FEB為平行四邊形,EF∥Q1B,∴∴EF∥面BB1D1D.第40頁,共60頁，2024年2月25日，星期天3.(天津高考)如圖所示,在五面體ABCDEF中,點O是矩形ABCD的對角線的交點,面CDE是等邊三角形,EF,求證:FO∥平面CDE.第41頁,共60頁，2024年2月25日，星期天證明:取CD的中點M,連結(jié)OM,EM,則OM 又EF∴OMEF.∴四邊形OMEF為平行四邊形,∴FO∥ME.∵FO 平面CDE,ME平面CDE,∴FO∥平面CDE.第42頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例1

如圖所示的一塊木料中,棱BC平行于面A'C'．過點P作直EF//B'C'，棱A'B'、C'D'于點E、F，連結(jié)BE、CF，F(xiàn)PBCADA'B'C'D'E解：⑴如圖，在平面A'C'內(nèi)，

下面證明EF、BE、CF為應畫的線．分別交⑴要經(jīng)過面A'C'內(nèi)的一點P和棱BC

將木料鋸開，應怎樣畫線？性質(zhì)定理的應用：第43頁,共60頁，2024年2月25日，星期天⑴則EF、BE、CF為應畫的線．BC//B'C'EF//B'C'BC//EFEF、BE、CF共面．

例1

如圖所示的一塊木料中,棱BC平行于面A'C'．解：FPBCADA'B'C'D'E⑴要經(jīng)過面內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應怎樣畫線？第44頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例1

如圖所示的一塊木料中,棱BC平行于面A'C'．⑴要經(jīng)過面內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應怎樣畫線？⑵所畫的線與平面AC是什么位置關系？⑵解：EF//面AC由⑴，得BE、CF都與面相交．EF//BC，EF//BC線面平行線線平行線面平行FPBCADA'B'C'D'E第45頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例2.已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，求證：另一條也平行于這個平面．已知：直線a、b，平面

，且a//b，

b//求證：提示：過a作輔助平面

，且ab第46頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例2.已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，求證：另一條也平行于這個平面．已知：直線a、b，平面

，且a//b，

b//求證：證明：且過a作平面

，abc性質(zhì)定理判定定理線面平行線線平行線面平行第47頁,共60頁，2024年2月25日，星期天

例3.求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行.αβaγδlbc已知:α∩β=l,a∥α,a∥β.求證:a∥l.提示：過a作兩個輔助平面第48頁,共60頁，2024年2月25日，星期天

變式1.設平面α、β、γ兩兩相交，且，若a∥b.求證：a∥b∥c.bαβγacαγβOcba(全國高考)三個平面兩兩相交，試證明它們的交線交于同一點或互相平行.若a，b不平行，求證：a，b，c交于同一點第49頁,共60頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共60頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共60頁，2024年2月25日，星期天例5:如圖所示,四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面,若截面為平行四邊形.(1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.第52頁,共60頁，2024年2月25日，星期天變式:如圖,已知A?B?C?D四點不共面,且AB∥平面α,CD∥平面AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,

(1)求證:EFGH是一個平行四邊形;

(2)若AB=CD=a,試求四邊形EFGH的周長.第53頁,共60頁，2024年2月25日，星期天(1)證明:AB∥α,AB