2023-2024學(xué)年湖南省永州市高二年級上冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省永州市高二上冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)集合4={41八41},5={X|X2-2X<0),則()

A.{x|-14x<0}B,{x[0<x41}

C.{x|l<x<2}D.(x|-l<x<2}

【正確答案】B

【分析】先解出集合8,再直接計算交集.

[詳解]因?yàn)?={x|-l<x<lj,8=卜卜2-2x<。}={乂0<x<2},所以4c8={x[0<x41}.

故選:B.

2.已知不共線向量Z，b,\a\=2,|^|=3>a-(b-a)=\,貝()

A.V3B.2>/2C.不D.26

【正確答案】A

先由已知等式求出〉坂=5,再利用向量模的求法即可求得歷-￡|.

【詳解】|a|=2,即4.族=5，

\h-a\=-\l(b—a)2=yh-2a-h+a=yfi-

故選：A

本題考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知sin(a+K)=g,則cos(g-2a)=()

A.-正B,--C.立D.-

3939

【正確答案】D

先用誘導(dǎo)公式化為cosIq-ZalMCOsOa+q),再用二倍角公式計算.

【詳解】cos(9-2a)=cos(2a+弓)=l-2sin2(a+^)-l-2x(g)=".

故選：D

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)六千七百七十三人，西鄉(xiāng)五千

二百二十七人，南鄉(xiāng)若干人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百人，而南鄉(xiāng)需遣二百人，問南鄉(xiāng)人數(shù)幾何？”

其意思為：今某地北面有6773人，西面有5227人，南面有若干人，這三面要征調(diào)500人，

而南面共征調(diào)200人（用分層抽樣的方法），則南面共有（）人.

A.7200B.8000C.8200D.8800

【正確答案】B

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及計算方法，列出方程，即可求解.

【詳解】設(shè)南面有x人，則晨找,解得x=8000.

x+6773+5227500

故選：B.

5.已知直線云-y-3&+l=0,當(dāng)左變化時，所有直線都恒過點(diǎn)（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（2,1）D.（3,1）

【正確答案】D

【分析】將直線方程整理為儀x-3）-（y-l）=0,從而可得直線所過的定點(diǎn).

【詳解】直線6-P-3后+1=0可化為A（x-3）-（y-l）=0,

[x—3=0[x=3

令，c，解得：,,所以直線過定點(diǎn)（3,1）,

3-i=ob=i

故選.D

6.己知直三棱柱/BC-44G中，ZJ5C-120°,AB=2,5C=CC,=1,則異面直線第

與8G所成角的余弦值為（）

A百715「屈n6

A?RD?-----lx?-----U.

2553

【正確答案】C

【分析】由題知函=函-直，BC{=BC+CCy,進(jìn)而利用向量求解異面直線所成角即可.

【詳解】解：由題知，在直三棱柱/8C-48c中，平面/8C,CG，平面"8C，

?.?8Cu平面/8C,平面力BC,

:.BBJBC,CC,1AB,

?.?函=函-初，sq=sc+cq,

二麗.西=函.就+西.西-0灰-瓦Q=0+1-2X1X,1)-0=2

?.［珂=6匹卜日

.cos/"Bc\-網(wǎng)BQ-2_叵

「1”,片畫畫一6xb5，

異面直線AB,與BC｛所成角的余弦值為叵

5

故選：C.

Bi

7.若直線y=x+b與曲線y=3_j4x-x2有公共點(diǎn),則b的取值范圍是)

A.[1-72,1+72]B.[1-72,3]C.[1-272,3]D.[-U+V2]

【正確答案】C

曲線y=3_，4x_x2,即(x-2)2+3-3)2=4(14^43,04x44),

表示以4(2,3)為圓心，以2為半徑的一個下半圓,

由圓心到直線N=x+b的距離等于半徑2,

可得^~~--2,解得6=]+2近或6=]—2近，

結(jié)合圖象可知1-2近4643，故選C.

8.設(shè)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(-8,0)單調(diào)遞增，設(shè)"303"=(￡|°',。=1嗎0.3,

則()

A./(c)>/(a)>/(i)B./(a)>/(c)>/(Z>)

C.f(c)>f(h)>f(a)D./(a)>/(/>)>,/(c)

【正確答案】A

【分析】先將a,6化為同底數(shù)的累，利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較。、b、?三個數(shù)的大小

關(guān)系，再由函數(shù)N=/(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性并結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得出/(a)、

/("、/(c)的大小關(guān)系.

030403

【詳解】".,|c|=|log40.3|=pog4^=log4y-e^),1),a=3>\,b=3>3>1,

即b>a>1>|c|>0,

由于函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間(-紇,0)上單調(diào)遞增，所以在(0,+8)上單調(diào)遞減，

由于函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，則/(|c|)>/(4)>/伍)，即/(c)>/(a)>/(6),

故選：A.

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，涉及指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算和比較大小，考查

推理能力，屬于中等題.關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為(0,+8)上的單調(diào)性再比較.

二、多選題

9.利用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件,

其余為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“是一等品”，8為“是合格

品”，C為"是不合格品“，則下列結(jié)果正確的是()

7

A.P(B)一

10

B.P(Zc8)=0

7

C.尸(8cC)=—

100

9

D.P(AuB)=—

10

【正確答案】ABD

【分析】依題意可得A、8、C為互斥事件，即可判斷B、C,再根據(jù)古典概型的概率公式

得到「(⑷、P⑻、尸(C),即可判斷A,最后根據(jù)和事件的概率公式判斷D；

【詳解】解：由題意知A、B、C為互斥事件，.?.尸(，08)=尸(8nC)=0,故B正確、C

錯誤；

271

?.?從100件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件，...2?)=歷、尸出)=而、尸O=歷，

9

則尸(4UB)=尸(4)+尸伊)=正，，A、D正確，

故選：ABD.

10.已知向量G=(L-l,0),6=(-1,0,1),3=(2,-3,1),則()

A.忖一.=6B.卜+2很)?伍+?)=6

C.(a+5^)lcD.a//(6-c)

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一計算可得.

【詳解】解：因?yàn)榉?(1,一1,0),^=(-1,0,1),

所以萬一彼=(2,-1,-1),所以［叫="2+(_1)2+(7)2=屈,故A錯誤；

因?yàn)?+26=(-1,-1,2),ft+c=(l-3,2),所以(2+2孫@+口=6,故B正確；

因?yàn)?+5在=(-4,-1,5),所以(3+5在”=—4x2+(-l)x(_3-5x1=0,故C正確；

因?yàn)榱、(_3,3,0),5=(1,-1,0),所以U=_*,所以％伍-4故D正確.

故選：BCD

11.已知直線八［的方向向量分別是面=(2,4,x),而=(2,必2),若|瓦|=6且44,則x+y

的值可以是()

A.—3B.-1C.1D.3

【正確答案】AC

根據(jù)空間向量模的計算公式以及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】荏=(2,4,x),而=(2,弘2),

若|力例=6且44，

>/22+42+X2=6"/日卜=4[x=-4

則〈，解得〈?；颉?

2x2+4y+2x=0[夕=-3[y=1

所以x+y=l或-3.

故選：AC

12.已知圓O:x?+_/=4和圓A/:/+_/+4x-2y+l=0相交于A,8兩點(diǎn)，下列說法正確

的是()

A.圓。與圓”有兩條公切線

B.圓。與圓A/關(guān)于直線N8對稱

C.線段的長為姮

2

D.E,尸分別是圓。和圓M上的點(diǎn)，則用的最大值為4+石

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，由圓的方程分析兩圓的圓心和半徑，由此依次分析4個選項(xiàng)，即可得答

案.

【詳解】解：根據(jù)題意,圓。:/+/=4,其圓心為。(0,0),半徑R=2,

HM:X2+/+4X-2^+1=0,即(x+2y+()，-l)2=4,其圓心為M(-2,l),半徑r=2,

依次分析選項(xiàng):

對于A,由于OM\R-r\=0,R+r=4,又0＜逐＜4,所以兩圓相交，故有

兩條共切線，A正確，

對于B,圓。和圓M的半徑相等，則線段。”的垂直平分線為48,則圓。與圓M關(guān)于直

線N8對稱，B正確，

x2+y2=4

對于C,聯(lián)立《化簡可得4x-2y+5=0即AB的方程為

x2+y2+4x-2y+l=0

4x-2y+5=0,

。到48的距離［=1==逝，則|48|=2XJF丁=2乂、15=而，C錯誤;

J16+4211V4

對于D,|OM|=J4+1=忑*,則IEF|的最大值為|。徵+R+r=正+4,D正確，

故選：ABD.

三、填空題

13.已知（l+i）z=2i（i為虛數(shù)單位），則2=.

【正確答案】l+i##i+l

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)的四則運(yùn)算計算即可.

［詳解］???1+iz=2i,；.z=L=\J與i-i=i+i

故答案為.z=l+i

14.已知兩個向量a=（2,-1,3）,b=（4,m,n）,且，力，則加+力的值為.

【正確答案】4

【分析】依題意可得存在實(shí)數(shù)%使得加=2￡,即可得到方程組，解得即可；

【詳解】解：因?yàn)?=（2,—1,3）,否=（4,心,〃），且溫,所以存在實(shí)數(shù)2使得否=/，即

4=2A2=2

（4,九〃）=4（2,-1,3）,即“團(tuán)=一/1,解得＜租=一2,所以〃2+〃=4

n=3An=6

故4

15.如圖所示，若正方形48C。的邊長為1,「。_1_平面力8。。，且PO=1,E、/分別為

AB、BC的中點(diǎn)，則直線ZC到平面PE尸的距離為

AEB

【正確答案】叵Q后

1717

【分析】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線到平面的距離.

【詳解】依題意，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線。4。0。/＞分別為巷必2軸非負(fù)半軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖,

則4(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,l),￡(l,1,0),F(1,l,0),則

—?一11—I

AC=(-l,l,0),￡F=(--,-,0),PE=.

n,EF=—xH—y=0

22

設(shè)平面PEF的一個法向量為7=(xj,z),貝小，令＞=2,得］=(2,2,3),

n-PE=x+-y-z=0

顯然＞花=0，即］_L祝，而直線4C＜Z平面尸以7，則4C//平面在戶，

因此直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，而方=(0,；,0),

\AE-n\J歷

則點(diǎn)A到平面PEF的距離d==不=*,

網(wǎng)V1717

所以直線AC到平面PEF的距離為姮.

17

故姮

17

16.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)4B是4M0N

的ON邊上的兩個定點(diǎn)，C是。河邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)C在何處時，//C8最大？問題的

答案是：當(dāng)且僅當(dāng)48C的外接圓與OM邊相切于點(diǎn)C時，N4c8最大.人們稱這一命題

為米勒定理，已知點(diǎn)。，E的坐標(biāo)分別是(0,1),(0,3),尸是x軸正半軸上的一動點(diǎn),

當(dāng)NOFE最大時，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為.

【正確答案】也

【分析】根據(jù)米勒定理可知，當(dāng)。田的外接圓與x軸相切時，NDFE最大,利用垂徑定理

和三角形外接圓的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。，E是y軸正半軸上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)F是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，

根據(jù)米勒定理可知，當(dāng)。砂的外接圓與x軸相切時，NDFE最大,

易知，弦。E的垂直平分線必過OE5的外接圓圓心，

所以弦中點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，即為。即外接圓半徑的大小，即/^=2.

設(shè)DM的外接圓的圓心為(a,2),其中a>0,則/+(竿)~=/，

即02+F=22,解得〃=百，所以△DEE的外接圓的方程為(x-6)’+(y-2)2=4,令y=0,

可得x=g，即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為石.

故答案為.百

四、解答題

17.(1)求過點(diǎn)(4,3)且與直線工+2^+1=0垂直的直線/的方程；

(2)求過點(diǎn)/(2,-1)且在x軸和夕軸上的截距相等的直線/的方程.

【正確答案】⑴2x-y-5=0；(2)x+2y=0或x+y-l=O.

(1)根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系設(shè)/的方程為2x-y+c=0,代入點(diǎn)，可得所求直線的方程：

(2)分直線/過原點(diǎn)和直線/不過原點(diǎn)兩種情況求得所求直線/的方程.

【詳解】解：(1)設(shè)/的方程為2x-y+c=0,代入(4,3)得c=-5.

.?.直線/的方程為2x-y-5=0,

(2)當(dāng)直線/過原點(diǎn)時，直線/的方程是y=-；x,即x+2夕=0；

當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時，設(shè)直線/的方程是2+上=1,將點(diǎn)力坐標(biāo)代入，得2-工=1,解得。=1,

aaaa

此時直線/的方程是x+y-l=0.

綜上所述，所求直線/的方程是x+2y=0或x+y-l=0.

18.在△/2C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知(。-。)$吊。="5出/-加m8.

(1)求的大??；

(2)若a=5,c=2,。為8c的中點(diǎn)，求cos4Z)C的值.

【正確答案】⑴3=9；

（2）一警.

【分析】（1）應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系得ac=T+c2一/，再由余弦定理求cos8,即可得

的大小

21

（2）應(yīng)用余弦定理求得4c2=19、AD2=--在△/QC中求cos/4DC.

49

【詳解】（1）由正弦定理邊角關(guān)系，可得（"＜。=由一從,則℃=

22121

而COS5="+L-=L且Be?*故8=三

2ac23

⑵

由(1)知：b2=a2+c2-2accosB=29-10=19，即4c2=19,

▽f2a2c41?21

又AD'=Pc2-accosB=---5=—，

444

2521

7J9in二而

八vCD2+AD2-AC2

在△NDC中，cosZ4￡)C=2CDAD

\5V21-7-

2x—x---

22

19.如圖，四棱錐尸-/8C。的底面是矩形，ABCD,PD=DC=\,BC=y/2>

M]為8c的中點(diǎn).

AB

（1）求證：PB工AM；

（2）求平面Q4M與平面PDC所成的角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）恒.

7

【分析】（1）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，依次以D4,DC,。尸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，求出而.而=0,利用數(shù)量積即可證明.

（2）求出兩平面與平面PDC的法向量，則法向量夾角余弦得二面角的余弦.

【詳解】解：（1）依題意，棱DA,DC,0P兩兩互相垂直.

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，依次以D4,DC,DP所在直線為x,y,z軸,

1,0

可得而=(0,1,-1),而=(叵八

I2)

所以麗?五萬=收

所以「8J./M

(2)由(1)得到4(0,0,0),M—,1,0,

因此可得--旌,1,0,AP-(-A/2,0,1).

設(shè)平面P力"的一個法向量為4=（x,%z）,則由

~^x+y=Q,

3?竺=0,得

〃「AP-0,

-y[2,X+Z=0,

令z=20，解得］=（2,2五）.

同理，可求平面POC的一個法向量0=（1,0,0）.

所以，平面以M與平面POC所成的銳二面角。滿足:

即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為巫.

20.心絞痛是冠狀動脈供血不足，心肌急劇地暫時缺血與缺氧所引起的以發(fā)作性胸痛或胸部

不適為主要表現(xiàn)的臨床綜合征.在某地隨機(jī)調(diào)查10位心絞痛患者第一次出現(xiàn)癥狀的年齡，

得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

本頻率/組距

0.020

0.015

0.010

0.005

O2030405060708090年齡/歲

（1）求直方圖中。的值；

（2）估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

【正確答案】（1）0.030；

（2）53.5.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可得出“的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，列出式子，計算即可得出答案.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

0.005xl0+0.015xl0+0.020xl0+axl0+0.015xl0+0.010xl0+0.005xl0-l,

所以。=0.030.

(2)由頻率分布直方圖可知，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

25x0.05+35x0.15+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.1+85x0.05=53.5.

21.(1)求過點(diǎn)43,T),5(-1,5),。(1,3)點(diǎn)的圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑;

(2)求圓心在直線2x-y-3=0上，且過點(diǎn)(5,2)和(3,-2)的圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和

半徑.

【正確答案】(1)圓的方程為(x+8)2+(y+4『=130,圓心坐標(biāo)為(-8,-4),半徑為鬧；

(2)圓的方程為(x-2『+(y-I)2=10,圓心C(2,l),半徑風(fēng).

【分析】(1)求出N8和NC的中垂線方程即得圓心的坐標(biāo)和半徑，即得解；

(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,2.-3),解方程..一5)2+(23-3—2)2=15—3)2+(2.-3+2)2求

出。，即得解.

【詳解】解：⑴"的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),3=字；=一。，

—1—32

2

則的中垂線方程為尸2=和一1),即2x-3y+4=0,

4c的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),勉=空=_2,

則“C的中垂線方程為y-l=；(x-2),即x-2y=0.

2x-3v+4=0x=-8

聯(lián)立x4=0,解得

y=-4，

則圓心坐標(biāo)為(-8,-4),半徑為［(-8-3)2+(-4+1)2=呵.

所求圓的方程為(x+8y+3+4)2=130,圓心坐標(biāo)為(-8,-4),半徑為同;

(2)二?圓心在直線2x—歹―3=0上，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,2?！?),

因?yàn)?(5,2),5(3,-2),^\CA\=\CB\9

得J(a-5)2+(2a-3-2『=J(a-3y+(2a-3+2)2，

解得“=2,則圓心C(2,l),半徑r=|G4|=J(5-2)2+(3_l)2=阿

所求圓的方程為(x-2)，(y-lf=10.

22.已知動點(diǎn)朋?與兩個定點(diǎn)0(0,0),4(3,0)的距離的比為動點(diǎn)"的軌跡為曲線C.

(1)求C的軌跡方程，并說明其形狀；

(2)過直線x=3上的動點(diǎn)P(3,p)(p翔)分別作C的兩條切線P。、PR(Q、R為切點(diǎn))，N為弦

2H的中點(diǎn)，直線/：3x+4y=6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、F,求的面積S的取值范

圍.

【正確答案】(l)(x+l)2+V=4,曲線C是以(一1,0)為圓心，2為半徑的圓

【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)收的坐標(biāo)，利用直接法建立關(guān)系式，化簡即可求解；

(2)寫出以CP為直徑的圓的方程，然后利用。，R是兩個圓的交點(diǎn)得到0R所在直線方程,

聯(lián)立直線。R與圓C的方程，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)N