黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024屆高三年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

哈九中2024屆高三學(xué)年上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

(考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

I卷

一、單選題:本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1,設(shè)全集U=R,集合M=??>T},N={+2<x<3},則??≤-2}=()

A.e(MN)B,d(MN)

C.M@N)D.N(?M)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】由題意可得MCN={H-l<x<3},MuN={V-2<x},

M={x∣x<T},tyN={x∣x<-2或χ≥3},

對于A,Q∕(Λ/N)={x∣x<-1或x≥3},故A錯(cuò)誤，

對于B,4(M∣N)={x∣x≤-2},故B正確，

對于C,MC(Q∕N)={x∣x≥3},故C錯(cuò)誤，

對于D,NU(QM)={x∣x<3},故D錯(cuò)誤,

故選：B

2.已知正實(shí)數(shù)機(jī)，〃滿足加+〃=1,則J￡+〃的最大值是()

A.2B.√2C.也D.?

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式(審］≤求解即可.

【詳解】由于疔-乙亙=一色心I<0n色吆丫<且包，

22422

所以]亞也≤S=1,

I2J2

即J∕+6≤J5,當(dāng)且僅當(dāng)m=〃=g時(shí)等號成立.

故選:B.

3.若P：實(shí)數(shù)。使得“辦,eR,X+2/+α=0”為真命題，<7：實(shí)數(shù)α使得“?xe[l,+8),/一“〉。，，為真

命題，則P是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出P和q,進(jìn)而根據(jù)充分條件和必要條件的定義

判斷即可求解.

【詳解】對于。:叫eR,?ɑ+2x0+α=0,

所以A=4-4α'0,即α≤l.

2

對于4：VX∈[l,+∞),χ-a>0,

因?yàn)楹瘮?shù)y=∕-α在[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=I時(shí)，(x2-6f)=?-a

?/?n?n9

則1—α>0,即a<1.

所以"是g的必要不充分條件.

故選：B.

yy

【答案】D

【解析】

[分析】利用y=sinx?In為奇函數(shù)排除A,B；利用XW(0,兀)時(shí)，y=SinA-In>(),排除C,

JrX

從而可求解.

2?

【詳解】因?yàn)閥=/(力=51院」11與土定義域?yàn)閧乂為彳0},

(T>:2=_sinx,In=-/(x),

對于AB,/(-x)=sin(-x)?ln

(-X)2X2V)

所以y=sinx?lMn±+F2為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A,B都不正確;

X

2-??2.?

對于C,XW(O,兀)時(shí)，si∏Λ>0,^4^=l+4>l>所以In3^>0,

XXX

χ2+2

所以y=siarIn——?—>(),故C不正確；

x~

2.?

對于D,符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，也符合XW(O,兀)時(shí)，y=sinx?lnW4>O,故D正確.

X

故選：D.

a

?-∣-----3?≥4

5.若函數(shù)/(x)TX'一，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

αv^3,x<4

A.0B.C.(1,2)D.(1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】首先，對勾函數(shù)/(x)=x+q-3,和/(x)=α?i都是遞增函數(shù)，當(dāng)》=4時(shí)，對勾函數(shù)取值要大

X

于或等于指數(shù)式的值，再求交集即可實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】當(dāng)x<4時(shí)，函數(shù)/(x)=αAT單調(diào)遞增

所以α>l

當(dāng)χ≥4時(shí)，〃x)=x+7—3,是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以JZ≤4,所以0<α<16

當(dāng)x=4時(shí)，對勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，

所以。<4+3—3,

4

4

解之得：6Z≤-,

3

綜上所述：實(shí)數(shù)”的取值范圍是Q,g

故選：B

γ?if)-4-/7

6.設(shè)函數(shù)/(x)=Ig亡，若/(a)+/?=。，則與J的最小值為()

A.4+2√3B.4+2√2

C.l+4√2D.2+4√3

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)/O)的定義域，根據(jù)給定等式求出的關(guān)系，再利用“1”的妙用求解作答.

YX

【詳解】函數(shù)/(X)=Ig;一中，——>0,解得O<x<l,由/(a)+/(力)=0，得。,人∈(0,l),

I-X1-

Lτ/。人、CEab

且Ig(I----；^^T)=°，則:；-----；~7=1,整理得

1—cii—b1—a\—b

E”3b+α,、/3l,3baC—?--4+2^,當(dāng)且僅當(dāng)過=0,即a=√?取等

因此-----=①z+/7)(—+-)x=4+—+—≥4λ+2.

ababababab

號,

由α=?βb且=得。=~~-^?,b—--

22

所以當(dāng)a=*'"=鋁時(shí)’絮取得最小值4+2"

故選：A

7.已知/(χ)是定義在R上的偶函數(shù)且在［(),+8)上為減函數(shù)，若α=/log,3,?=∕(θ.9"),

I2√

c=∕(0.912),則()

A.c>b>aB.h>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及對數(shù)的運(yùn)算，利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因?yàn)?(X)是偶函數(shù)，

所以α=/IogI3)=/(-log?3)=F(IOg23),

由Iog23>Iog22=1,

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y=0.9*在R上單調(diào)遞減，且L1<L2,

所以l>0.9">0.9'2>0，

所以log23>l>0.9">0.9∣?2>0,

因?yàn)?(χ)在［0,+8)上為減函數(shù)，

12

所以/(Iog23)</(0.9")<f(0.9),即〃<b<C.

故選：A.

8.定義m?{x,y}表示兩個(gè)數(shù)X,5'中的較小者，max{x,y}表示兩個(gè)數(shù)羽)中的較大者，設(shè)集合

M={1,2,3,4,5,6,7,8},S∣,S2,?,S*都是〃的含有兩個(gè)元素的子集，且滿足：對任意的

E={q,4},Sj={%也}（，。〃,je{l,2,3,…用）都有，min<2,幺>?max<2，與4=1，則%的最大

IbJ%」

5cii

值是

A2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)題意，對于M，含2個(gè)元素的子集有C；=28個(gè),

其中，｛1,2｝、｛2,4｝、｛3,6｝>｛4,8｝可以任選兩個(gè);

｛1,3｝、｛2,6｝符合題意;

[2,3｝、｛4,6｝符合題意;

｛3,4｝、｛6,8｝符合題意;

%b匕>=1的任意的S,={α,?聞,S,={%也?}(i≠j,i,j∈{1,2,3,,左})最

即滿足mini>?max?

b；aj.

多有4個(gè),

故％的最大值是4,

應(yīng)選：C.

二、多選題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共2()分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部

選對的得5分，有選錯(cuò)的得O分，部分選對的得2分.

9.下列結(jié)論正確的是()

A.“x>1”是“國>1”的充分不必要條件

B√1a∈PcQ”是"aeP"的必要不充分條件

C."?x∈R,有d+χ+ι≥o”的否定是“使V+x+ivo”

D."χ=l是方程以2+bχ+c=0的實(shí)數(shù)根，，的充要條件是“。+〃+。=0，，

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的范圍判斷A；根據(jù)交集的概念判斷B；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷C；

將1代入方程求解判斷D.

【詳解】對于A,因兇>1,所以x>l或％<-1,所以“當(dāng)x>l”時(shí)，“忖>1”成立，反之不成立，

故“X>1”是“W>1”的充分不必要條件,正確;

對于B,"a∈PcQ"一定有eP”成立，反之不成立，

故"a∈PcQ”是"aeP"的充分不必要條件，錯(cuò)誤；

對于C,命題“VxeR,有f+x+iNO”是全稱量詞命題，

其否定是存在量詞命題，即“玉eR,使f+χ+ι<(r,正確；

對于D,當(dāng)a+h+c=O時(shí)，1為方程ax?+bχ+c=O的一個(gè)根，故充分;

當(dāng)方程ax?+bx+c=O有一個(gè)根為1時(shí)，代入得α+b+c=O,故必要，正確；

故選：ACD

10.下列各式正確的是()

A.設(shè)α>0,α。1則〃2.iΓ~2_I

Cl"≡"VC<一Cl

B.已知3α+∕j=l,則包工=3

3?

1n+

C.若Iogfl2=/”，log“5=∕ι,則a'"=20

11C

D--------+-------->2

Iog49Iog53

【答案】BCD

【解析】

［分析］由基指數(shù)的運(yùn)算可判斷AB.由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式可判斷CD.

224

【詳解】對于A,以町=02~=上=板,故A錯(cuò)誤,

Oit/?bo4aqb

對于B,^~=^-Z-=2>3a+b=3,故B正確，

3〃3"

對于C,由log,,2=m,log“5=〃得2m+〃=21og“2+lOg?5=k>g04+log.5=log.20,所以

a2,,,+n=20(故C正確，

對于D,—?-+-?r=Iog94+log35=Iog32+log,5=Iog310>Iog39=2,故D正確，

Iog49Iog53

故選：BCD

11.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽∕(3無+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時(shí)，

/(x)=α+log2%?則下列結(jié)論正確的是()

A./(1)=1B./(7)=0

2023100

C.X/伏)=1D.ZV(A)=-IOO

A=Ik≈?

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)的奇偶性和題設(shè)條件，推得/(X)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)，利

用賦值法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】因?yàn)?(3x+l)為奇函數(shù)，所以/(一3x+l)=—/(3x+l),即函數(shù)/(x)關(guān)于(1,0)對稱,

即/(1一X)=-/(1+X),即/(—x)=_/(2+x),

又因?yàn)?(x+2)為偶函數(shù)，所以/(τ+2)=∕(x+2),即函數(shù)/(x)關(guān)于x=2對稱，

則/(一x)=∕(4+x),所以〃T)=F(4+x)=-F(x+2),即/(χ+2)=-∕(x),

所以/(4+χ)=-/0+2)=/(X),所以F(X)是周期為4的周期函數(shù)，

令X=O,由"1-X)=-/(l+x),可得〃1)=V(1),可得〃1)=0,所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)閤e[l,2]時(shí)，/(x)=α+log2x,所以〃l)=α+0=0,可得α=0,

即當(dāng)xe[l,2]時(shí)，"x)=log2》,則"7)=f⑶=f(l+2)=-〃1)=0,所以B正確;

因?yàn)?(l)=0,/(2)=log22=l,/(3)=0,/(4)=-/(2)=-1,

所以一個(gè)周期內(nèi)的和為/⑴+/(2)+〃3)+〃4)=0+1+0—1=0,

2023

則Zf伏)=504x"⑴+〃2)+/⑶+f(4)]+∕(l)+"2)+"3)=l,所以C正確；

k=?

100

由ZV(A)=2"2)+4∕⑷+646)++98/(98)+100/(100)

Λ=l

=2-4+6-8++98-100=(2-4)+(6-8)++(98-100)=-2×25=50,

所以D錯(cuò)誤;

故選：BC.

3

12.若a=tan0.03,/?=In1.03,c=----,則()

103

A.a<bB.a>bC.c>aD.b>c

【答案】BD

【解析】

Y

【分析】記/(x)=tanx-x,xe∣0,g),,g(x)=lnx-x+1,Λ(x)=ln(l+?)-際利用導(dǎo)數(shù)判斷函

100

3

數(shù)的單調(diào)性，從而可得tan0.03>0.03,lnl.03<0.03,lnl.03-->0,由此能判斷。，b,C的大小關(guān)系.

(八π，則f'(χ]=坐二〉0,所以/(x)在10,外單調(diào)遞增,

【詳解】記/(X)=ta∏Λ-x,x∈0,—

I2

COSXV2Z

故/(0.03)>/(O)=Ontan0.03>0.03,

記g(x)=lnx—x+1,則g'(χ)=一—1,

X

令g’(x)<0,解得X〉l,故g(χ)在(l,+∞)上單調(diào)遞減,

故g(l.03)<^(l)=0,g[Jlnl.O3-l.O3+l<0,BlnnI.03<0.03<tan0.03，

故4>b,

YX

記〃(X)=In(1+——)-------

IOO100+x

7“、111OO+%-XX

hIyi—_________X______________________=_____________

貝IJ-∣,XIOO(IOO+x)2-(100+x)2，

1十---

IOO

故當(dāng)九∈(0,+∞)時(shí)，h,(x)>O,故〃(X)在(0,+∞)上是增函數(shù),

3

故刈3)>/?(0),即Inl.03-忘>0,故b>c,

故0>6>c,

故選：BD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式大小問題：

I.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

∏卷

三、填空題:本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分..

13.已知幕函數(shù)f(x)="-2加-2日滿足/(2)</⑶，則機(jī)=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃2=(>-2"-2)/'為尋函數(shù),

則加-2，"一2=1,解得〃？=3或，"=T,

又因?yàn)?(2)<∕(3),所以機(jī)=3,

故答案為：3.

14.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依

據(jù)，通過這一原理很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，現(xiàn)有圖形如圖所

示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a,5C=b,O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)。作AB的垂

線交半圓于。，連結(jié)OD,4。,3。，過點(diǎn)C作。。的垂線，垂足為E，若不添加輔助線，則該圖形可以完

成的所有無字證明為.(填寫序號)

①?≥疝(a>0,b>0);②/+/≥2ab(a>0,b>0);

0≥jgθQo)④JZIE>叫>0Q0)

a+b'22

【答案】①@

【解析】

【分析】先明確竺2,而的幾何意義，即在圖中相對應(yīng)的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相應(yīng)的比例

2

式，結(jié)合不等關(guān)系，即可證明①③選項(xiàng)；由于/+/在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，可判斷②④選項(xiàng).

【詳解】由題意可知AB=α+匕,OA=OB=。。=—,

2

CDAC

由Rt二ACz)SRtDCB可知一~=——，即CD2=AC?BC-cιb，

BCCD

所以CD=J^；在RtAOCD中，OD>CD,即@!^>疝3>0,匕>0)

當(dāng)時(shí)，C點(diǎn)重合，a=b,此時(shí)把2=瘋(a>0,0>0),所以①正確;

2

在RtAOCD中，Rt_DECSRtDCO可得詁=*即CD?=DE?OD，

CLCD2ab2ab

[)卜',----------,-----2----

所以—0。—。+人—a+力—1,1，

ah

Γ~Γ]

由于cr>>θE,所以>11,

—+—

ab

1

當(dāng)α=b時(shí)，Cr)=DE,此時(shí)?1,所以③正確；

—I—

ab

由于"+〃在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，故②④中的不等式無法通過這種幾何方法來證明，

故答案為：①③.

15.己知函數(shù)/(X)=2022'^3+(X-3)3-20223-jt+2x,則不等式/任—4)+/(2—2x)≤12的解集為

【答案】[—2,4]

【解析】

【分析】令g(x)=2022'-2O227+X3+2X,分析函數(shù)g(x)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式

變形為g(Y-7)≤g(2x+l),結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得出關(guān)于X的不等式，解之即可.

【詳解】設(shè)g(x)=2022'-2022^Λ+√+2x,則函數(shù)g(x)定義域?yàn)镽,

因?yàn)間(_力=2022T-2022x+(-x)3—2X=-(20221—2022-x+x3+2x)=-g(x),

故函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)y=2022，y=-2022T'y=V、y=2x均為R上的增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)為R上的增函數(shù)，

因?yàn)?(χ)=2022——20223-，+(X-3Y+2(x-3)+6=g(x-3)+6,

由/(V一4)+/(2-2x)≤12∏T?g(Λ2-4-3)+g(2-2x-3)+12≤12,

可得g(d-7)≤-g(-l-2x)=g(2x+l),

所以，X2-7≤2%+1,即f-2χ-8≤0,解得一2≤尤≤4.

因此，不等式/任一4)+/(2-2力412的解集為[-2,4].

故答案為：[-2,4].

16.已知a>0,b>0,c>0,Z?log42+4clog16V∑=，則"-2.+最小值為.

2be?+1

【答案】IO

【解析】

C2+2

【分析】根據(jù)給定的等式求出仇C的關(guān)系式，再求出的最小值，然后利用均值不等式求解作答.

he

【詳解】依題意，?log,2+4clog.,即+'C=逅?，則/?+0=灰，又8>(),c>0,

/%2222

2,O十C?2ΓT

2

因此c?+2C+√34C2+b2+2bc2√4C?+Ibc.，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=效■時(shí)取等號,

bebe3bc3bc

又α>0,

Hac~+2a18薩.〃+念≥2α+息=2(α+l)+急-222拙+1).焉一2=10,

從π而-------+----

be67+1

18

當(dāng)且僅當(dāng)2(α+l)=即α=2時(shí)取等號,

A+l

所以當(dāng)"如半,C=半時(shí)’竺B+總?cè)〉米钚≈礗。

故答案為：10

四、解答題:本題共有6個(gè)小題，共70分.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=x2+ax+b(?a,beR),集合

4={x∣x=/(X),x∈R},B={x∣X=/[/(X)],x∈Rj

(1)證明:AUB.

(2)當(dāng)A={-l,3}時(shí)，求8.

【答案】(1)證明見解析；

(2)β={-√3,-l,√3,3).

【解析】

【分析】(1)按A=0與A70分類討論，結(jié)合集合包含關(guān)系的定義推理作答.

(2)根據(jù)給定條件，結(jié)合韋達(dá)定理求出4,6,再代入解方程作答.

【小問1詳解】

當(dāng)A=0時(shí)，方程/(x)=X無實(shí)根，即χ2+(α-i)χ+z,=o無實(shí)根，A=(α-1>一4b<0,

此時(shí)/(x)-x>0恒成立,又方程/"(x)]=x,即"(X)F+叭χ)+b=χ,

[/(x)l2+3—1)/(%)+b=x-f?x),顯然[/(x)]2+(a-1)/(x)+?>0,≡Λ-∕U)<0,

因此方程/"(x)]=X無實(shí)根，8=0,則A=8,

當(dāng)A40時(shí)，任取XOWA,則Xo=∕O?),于是/(/(Xo))=∕(??)=??,即有XoeB，因此AU8,

所以A=Bo

【小問2詳解】

-l+3=-(π-l)

由4={-1,3},得一1,3是方程/+(。一1)%+6=0的二根,由<-1×3→'解得

于是/(x)=χ2_*_3,方程∕T∕(x)]=X,即(X2_》_3)2_(*2_*_3)_3=X,

22

整理得(%-X-3)(X—3)=O>解得N=-l,x2=3,X3=-?∣3,X4=百，

所以B={-G,-l,6,3}?

18.在第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，又稱2022年北京冬季奧運(yùn)會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，

于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕，冬奧會的舉辦為冰雪設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)帶來了新的發(fā)展機(jī)遇.

某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)X千件，需另投入成本C(X)(萬

元).經(jīng)計(jì)算，若年產(chǎn)量于件低于100千件，則這X千件產(chǎn)品的成本C(X)=gV+iOx+uoo；若年產(chǎn)量X

千件不低于100千件時(shí),則這X千件產(chǎn)品的成本C(X)=I20x+?!黑-5400.每千件產(chǎn)品售價(jià)為100萬元，

為了簡化運(yùn)算，我們假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.

(1)寫出年利潤L(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(千件)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

1,

——X2+90X-3100,0<X<100

2

【答案】(1)M尤)=<

—20X-+3400,x≥100

x-90

(2)最大值為IOOO萬元，此時(shí)年產(chǎn)量為105千件

【解析】

【分析】(1)分0<x<100與x2100兩種情況，求出函數(shù)解析式；

(2)在(1)基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與基本不等式求出分段函數(shù)的最大值.

【小問1詳解】

當(dāng)0<x<100時(shí)

∣x2+10%+1100j-2000=-∣1√+90x-3100,

L(X)-1OOx-

2

當(dāng)x≥IOO時(shí)，

L(X)=IooX-1120x+-5400|-2000=-20X-+3400,

,)Ix-90)x-90

12

—X+90X—3100,0<X<1OO

ΛL(χ}=?2.

,,4500

-20x---------+3400,X>100

Ix-90

【小問2詳解】

當(dāng)0<x<100時(shí)

22

L(Λ)=-1Λ+90X-3100=-∣(X-90)+950,

無=90時(shí)，L(X)取得最大值，最大值950,

當(dāng)x≥100時(shí)，

4500「225'

L(χ}=-2Qx--------+3400=-20(Λ-90)+——+1600

`jx-90Lx-9θj

I225

≤—20x2J(X—90)--------+1600-1000

Γ'尤-90

225

當(dāng)且僅當(dāng)X—90=-------,即X=IO5時(shí)取等號，

x-90

因?yàn)镮ooo>950,所以L(X)的最大值為IooO萬元，此時(shí)年產(chǎn)量為105千件.

19.已知的定義域?yàn)镽,對任意x,y∈R都有〃x+y)=∕(x)+∕(y)-l,當(dāng)χ>0時(shí),

/(x)<l,∕(l)=0

⑴求/(O)J(T);

(2)證明:/(x)在R上是減函數(shù)；

(3)解不等式：/(2/一3%一2)+2/(力>4.

【答案】(1)/(0)=1,/(-1)=2

(2)證明見解析⑶

【解析】

【分析】(1)由/(χ+y)=/(X)+/(力―1,取特殊值即可求解;

(2)由題構(gòu)造/(χ+y)-f(x)=f(y)-1,結(jié)合題意可證明單調(diào)性；

(3)根據(jù)單調(diào)性解抽象不等式即可.

【小問1詳解】

根據(jù)/(χ+根=f(χ)+/(y)-l,

令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0)-1,解得/(0)=1,

再令X=Ly=—1,則有/(O)=/(1)+/(-1)—1,解得—.

【小問2詳解】

設(shè)x+y=x∣,x=X2,Xι>X2<則y=F_%>°，

所以Fa)=/(/)+/(>)-1，即/(芯)一/(々)=/3)-1，

因?yàn)閥>0,所以/(y)<l,所以/(再)一/(馬)<0，

即VX],々GR,%>孫都有了(否)<f(?x2)，

所以F(X)在R上單調(diào)遞減.

【小問3詳解】

由題可知f(χ)+∕(y)=∕(χ+y)+l,

所以2∕(x)=∕(x)+/(X)=/(2x)+1,

所以由/(2X2-3X-2)+2∕(x)>4得/(2x2-3x-2)+/(2x)+1>4,

即f(2x~—3x—2+2x)+1+1>4,即/(2x^—?—2)>2,

又因?yàn)?(-1)=2,所以/(2χ2-χ-2)>∕(-l),

由(2)知/(χ)在R上單調(diào)遞減，所以2χ2-χ-2<-l，

即2f—Λ—1<0,B∣J(2x+1)(%—1)<0,解得—<X<1.

2

所以，解集為1-g,1?

；；；：，設(shè)機(jī)(x)=min{∕(∣x-d),g(∣x-2d)}.

20.已知己(X)=X+1,g(x)=∕+2.定義min{α,b}=<

(1)若f=3,畫出函數(shù)MX)的圖象并直接寫出函數(shù)加(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)定義區(qū)間A=(p,q)的長度MA)=q-p.若

B=AAA,(w∈N*),?'Ay=0(l≤Z<j<n),則L(B)=WL(4).設(shè)關(guān)于X的不等式

Z=I

加(X)</的解集為。.是否存在實(shí)數(shù)f,且1W3,使得L(O)=6?若存在，求出/的值；若不存在，請說明

理由.

【答案】(1)圖象見解析，遞減區(qū)間是(-8,3],(5,6],遞增區(qū)間是(3,5],(6,+8)；

(2)存在，t=3.

【解析】

【分析】(1)把r=3代入，求出機(jī)W,再畫出函數(shù)m(χ)的圖象，求出單調(diào)區(qū)間作答.

(2)對r按l<f≤2,2<r≤3進(jìn)行分類討論即可求解作答.

【小問1詳解】

當(dāng)f=3時(shí),/(∣X-3∣)=∣X-3∣+1,^(∣X-6∣)=(X-6)2+2,

當(dāng)無≤3時(shí)，(x-6)2+2-[∣X-3∣+1[=?T2-IIX+34,函數(shù)y=/一IIX+34在(-8,3]上遞減，

而x=3時(shí)，y=10>0,因此當(dāng)x≤3時(shí)，/(∣Λ-3∣)<G(∣X-6∣),

當(dāng)x>3時(shí)，(x—6)2+2-[∣x-3∣+l[=χ2-13X+40=(X-5)(x—8),

則當(dāng)3<龍≤5或x≥8時(shí)?，/(∣Λ-3∣)≤g(∣x-6∣),當(dāng)5<無<8時(shí)，/(∣x-3∣)>g(∣x—6|),

∣x-3∣÷l,x∈(-∞,5]u[8,+<χ>)

于是m(X)=V函數(shù)加(X)的圖象，如圖,

(Λ-6)2+2,X∈(5,8)

觀察圖象知，函數(shù)皿X)的遞減區(qū)間是(—8,3],(5,6],遞增區(qū)間是(3,5],(6,+8).

【小問2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)AX)的最小值為1,函數(shù)g(x)的最小值為2,

函數(shù)"W的圖象是函數(shù)/(X)和函數(shù)g(x)的圖象左右平移后，再取下方圖形而得，

因此函數(shù)見χ)的最小值為1,若不等式機(jī)(x)<f有解，則必有r>ι,又函數(shù)g(χ)的最小值為2,

則當(dāng)1<∕≤2時(shí)，m(x)=/(Ix-t|)Hx-tI+1<r,ap∣x-z∣<r-l,解得1<尤<2f-l,

于是Z)=(L2/-1),若L(Z))=6,則2"2=6,解得，=4,矛盾，

當(dāng)2<∕<3時(shí)，不等式/(IXTl)的解集為(L2—1),

由g(k—即(x-2rp+2<f,解得Xe⑵--2,2f+-2),

于是不等式g(|x—2t∣)<r的解集為(2f-√T≡I,2f+J仁)，

又2∕-"≡5-(2r-1)=I-Jnz0,當(dāng)且僅當(dāng)/=3時(shí)取等號，

即有(l,2∕-l)c∣(2∕-√T≡^,2f+√Γ^)=0,因止匕L(Z))=2f-2+2√T≡^,

若L(D)=6,則2-2+2√Γ工=6,又2<t≤3,解得t=3,

所以存在實(shí)數(shù)/=3滿足條件.

21.如圖，在四棱錐尸一ABCQ中，平面243，平面ABe。，ABlBC,AD/∕BC,Ao=3,

PA=BC=2AB=2，PB=G.

(1)求證：BC±PB；

（2）若點(diǎn)E為棱Q4上不與端點(diǎn)重合的動點(diǎn)，且CE與平面∕?6所成角正弦值為拽，求E點(diǎn)到平面

5

PCQ的距離.

【答案】（1）證明見解析

力3√30

20

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直證得線面垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值確定E點(diǎn)位置，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求得結(jié)果.

【小問1詳解】

平面RW_L平面ABC。，平面RWC平面ABCD=AB，BClAB,BCU平面ABCO，

BCI平面RW且尸BU平面Q48，故BCLP8,

小問2詳解】

QAB中n2=Aβ2+依2,ΛPB±AB,

???平面RW_L平面ABCQ,平面RWc平面ABCr）=AB，

.?.PB±平面ABc￡>,8C,BAu平面ABCD,PB±BC,PBBA.

以B為原點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

B(0,0,0),A(To,0),C(0,2,0),D(-l,3,0),P(θ,θ,√3),AP=(1,O,√3),

設(shè)AE=TIAP=(40,G/1),其中∕l∈[(M],則耳"1,0,62),

取平面PAB法向量功=(0,1,0),CE=(Λ-1,-2,√3Λ),

設(shè)CE與平面∕?3所成角為。，

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