四川省資陽市樂至中學2023-2024學年高二年級上冊開學考試數(shù)學試題

樂至中學高2025屆第三期入學考試

數(shù)學試題

本試題卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）。第1卷-2頁，第n卷3-4頁，共4頁?？?/p>

生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。

考試結(jié)束后，將答題卡交回。

第I卷（共60分）

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。每個小題只有

一個選項符合題目要求。

1.若復數(shù)z滿足zi=2+i,則復數(shù)z在復平面上對應的點在

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列說法一定正確的是（）

A.一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中

的情況

B.一個骰子擲一次得到2的概率是%貝I」擲6次一定會出現(xiàn)一次2

C.若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元

D.隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)

3.已知一組數(shù)據(jù)7,8,8,10,11,12,14,16,則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.13B.12C.14D.15

4.集合A={2,3},集合B={1,2,4},從A,B中各任意取一個數(shù)，構(gòu)成一個兩位數(shù),

則這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

W9J_

A.HB.12C.HD.2

5.函數(shù)兀x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期為

A.-B.-C.7iD.

42

2兀

6.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗

用具，其盆可以近似看作一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高18cm,盆口

直徑36cm,盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當水深6cm時，，則盆

內(nèi)水的體積為（）

A.655^cm3B.666^cw3

C.677%cMD.6887rcw?

7.已知點A點-2,11）,B（4,2,3）,C（6—1,4）則4ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.如圖，在三棱錐P-ABC中，/XABC和△ABP均為正三角

形，A8=4,二面角P-A8-C的大小為60。,則異面直線PB與AC

所成角的余弦值是（）

1111

A.--B.-C.--D.-

8844

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在

每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對

的得2分，有選錯的得。分。

9.已知復數(shù)z=（2+i）i,則（）

A.z=1+2iB.|z|=A

C.z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限D(zhuǎn).z+1為純虛數(shù)

10.在矩形ABCD中，已知七尸分別是BC,切上的點，且滿足BE=EC,CF

=2膽，則（）

AE=AB+-ADAF=AB+-AD

A.2B.3

1?

AF=-AC+-ADAC=-AE+-AF

C.33D.55

11.在他C中，內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,已知

sin（B-A）+sin（8+A）=3sin2A,且c=V7,C=],則。的可能取值為（）

A.1B.浮C.V2D.孚

12.在棱長為1的正方體ABCO-AgCQ中，M為線段A/上的動點，下列說法

正確的是（）

A.NAMR的最大值為9（）B.AM的最小值為

V2+V2

C.三棱錐V-OCG的體積為定值D.DC,1D,M

第II卷（非選擇題）

三'填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.將答案直接填

在答題卷相應的橫線上.

13.已知a=（4,2）,b=（6,y）,且Q/E，則y=.

14.在一些餐飲店中經(jīng)常見到用于計時的沙漏，從沙漏的下半部分可抽象出一

個高為底面圓半徑為1的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

15.甲、乙兩人獨立破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為1，兩

34

人都成功破譯的概率____________.「

16.如圖，在邊長為6的正方形相鳥鳥中，分別為“彳三三

《生的中點，現(xiàn)將4^4民居。分別沿A民3C,C4折

起使點4逐出重合，重合后記為點「，得到三棱錐P-A8C,P1Tj

則三棱錐P-MC的外接球表面積為.

四.解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知tana--,ae(0,—).

22

(1)求cosa；(2)若cos(a+￡)="^,6=(0,77),求/3的值.

18.(本小題滿分12分)

在矩形力中，點尸為8C的三等分點(靠近點C),點E在CO邊上，4ABE為

等邊三角形，^.ABBE+2BEAE=6-

(1)求兩；

(2)求cos＜力反力尸〉的值.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸一ABCO中，PC_L底面ABC。，在直角梯形ABC。中,

ABLAD,BC//AD,AO=2AB=23C,E是尸￡>中點.

求證：(1)CE〃平面PAB；

(2)平面PCO_L平面ACE.

20.(本小題滿分12分)

400名大學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方

法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,

30],[30,40],……，[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:

(1)在頻率分布直方圖中，求分

數(shù)小于70的頻率；

(2)已知樣本中分數(shù)小于40的

學生有5人，試估計總體中分數(shù)

在區(qū)間[40,50)內(nèi)人數(shù)；

(3)已知樣本中有一半男生的分

數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小

于70的男女生人數(shù)相等.試估

計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

21.(本題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=2cosx(.6sinx-cosx)+a的最大值為2.

(1)求實數(shù)。的值和函數(shù)式幻的對稱中心；

(2)將_/u)圖象上所有點向右平移正個單位，再將圖象上所有點的橫坐

2

標縮短為原來的5倍，縱坐標不變，得到g(x)的圖象，若g(x)-〃7=2在

龍一工二］上有兩個不同的解，求實數(shù)機的取值范圍.

_42)

22.(本題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，平面平面BCD,AB=AD,。為8D的

中點.

(1)證明：0A1CD；

(2)若,0CD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱A。上，DE=2EA,且二

面角的大小為45。，求三棱錐的體積.

2025屆樂至中學數(shù)學入學考試參考答案

一、單選題

12345678

DDAACBCB

二、多選題

9101112

BCDACDADBCD

三、填空題

13.314.2"

1_

15.—16.54"

12

四、解答題

17.（本小題滿分10分）

Vf：<I>聯(lián)亞=Lae(O.￡)和sin：a+cos：a=lncosa=.....................4分

cosa225

(2)cos(a?〃)=~~>0,a?6w(0.；1).a+夕w(0.g)

/.sin(a=Jl二cos“a?/?)??6分

▼10

...M3-卜?？?嚕呼邛，9分

10分

18.解：(1)?.?△ABE為等邊=角形,A8BE+2BKAE=6.

1?|HE\COS1200+21HE\?JAE|COS600-=6.................................................3分

乂|/網(wǎng)二陽:卜目????|同x,國x2：)+21M“八同x；=6,

那得|同=2#.6分

(2)一:如圖所示平面iVfi坐標系e”

AH=T2V^?()),BC-AH=~~x2>/3-3.

又點F為HC的：等分點<櫛近點C),

；.F(26,2).

AF=(275.2)............................................

:.八小AR=2GX2G+2X()=I2.

；.網(wǎng)一行而”=4......................................................................................10分

...ABAF1275

?cos<AB,Ar>?；——r：----：=―=—■——.........................................................io介

,,卜用AF|273x42-12

19.(本小題滿分12分)

民尸分別為尸口/^中點，；.^〃^。，EF=-AD,

2

又BCHAD,BC=-AD,;.EF//BC,EF=BC,

2

???四邊形BCEF為平行四邊形，CE〃8P,

BFu平面R4B,(30平面外3,二?！辏?/平面力記.

(2)PC_L平面ABC。，

設AQ=2,則/W=8C=1,

QBC//AD,ABA.AD,..ABIBC,:.AC=O,CD=Q(AD-BC)2+AB。=0,

AC-+CD1=AD-,：.ACCD-,

PCCD=C,PC,C。u平面PC。，.?.AC1平面PC。，

4。<=平面47￡：,，平面「8_1平面4。￡'

20.(本小題滿分12分)

(1)解：根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02+0.(M)xl0=0.6

所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.

(2)解：根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,

分數(shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-100x0.9-5=5.

所以總體中分數(shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400x熹=20.

100

(3)解：由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)X10X100=60,

所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60xg=30.

所以樣本中的男生人數(shù)為30x2=60,女生人數(shù)為100-60=40,

男生和女生人數(shù)的比例為60:40=3:2.

所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3:2.

21.(本小題滿分12分)

解：⑴函數(shù)f(x)=J3sin2x—(cos2x+1)+。

=2sin(2r——)—1+a

A

?.?函數(shù)/)的最大值為2,：2—1+。=2,即。=1

萬k京x

由2r—=k",k巨Z彳尋x=+,kqZ

6212

：危)的對稱中心為("+］：,0),ZuZ注：沒寫ZwZ或坐

標形式，適當扣分

(2)將fix)圖象上所有點向右平移三個單位得

-T

再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的1倍，縱坐標不變得g(x)=2sin(4x—y)

:2sin(4x—工)-m二2在“上有兩個不同的解轉(zhuǎn)化為y=2sin(4.r——)

aj，1

與y=m+2在xe［■,')有兩個不同的交點V—S4X--<—

:由圖可知，當一2<m+2<—時有兩個不同的交點

：。亡(-4,一Q—2)

22.（本小題滿分12分）

（1）因為AB=AD,0為BD中點，所以AOLBD

因為平面ABD、平面BCD=80,平面ABDL平面BCD,A。u平面ABD,

因此A。平面BCD,

因為COu平面BCD,所以AOLCD

（2）（法一：幾何法）作EF_LBD于F,作FMLBC于M,連FM

因為AOL平面BCD,所以AO，BD,AOLCD

所以EFLBD,EFLCD,8￡>cC￡）=￡）,因此EFL平面BCD,BPEF1BC

因為FMLBC,FMIEF=1r，所以BC,平面EFM,即BC_LME

IT

則NEWr為二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=-

因為BO=OD,OCD為正三角形，所以二BCD為直角三角形