高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析10.3 統(tǒng)計(jì)案例

高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：

10.3統(tǒng)計(jì)案例.

（一）線性回歸分析

※相關(guān)鏈接※

1.首先利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).

2.求回歸方程y=bx+a.

⑴線性回歸方程中的.截距。和斜率匕都是通過樣一本估計(jì)而來的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)

結(jié)果的偏差.

（2）回歸方程y=區(qū)+4中的人表示X增加1個(gè)單位時(shí)y的變化量為人

（3）可以利用回歸方程y=bx+a預(yù)報(bào)在x取某一個(gè)值時(shí)），的估計(jì)值.

3.相關(guān)系數(shù)廠

利用相關(guān)系數(shù)，?來衡量兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)的強(qiáng)弱.

4.建立回歸模型的步驟

（1）確定研究對象,明確哪個(gè)變量是解釋變量,哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）.

⑶由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系,則選用線性回歸方程y=bx+a）.

（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）.

（5）得出結(jié)果后分析殘差是否異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大,或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等）.若存在異

常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否適合等.

注：回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體,而且一般都有時(shí)間性.樣本的取值范圍一般不能超過

回歸方程的適用范圍，否則沒有實(shí)用價(jià)值.

※例題解析※

K例1測得某國10對父子身高（單位:英寸）如下:

父親身

60626465666768707274

高（力

兒子身

63.665.26665.566.967.167.468.370.170

V）

(1,)對變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；

(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸方程.

(3)如果父親的身高為73英寸，估計(jì)兒子的身高.

思路解析：(1)先根據(jù)已知計(jì)算相關(guān)系數(shù)「，判斷是否具有相關(guān)關(guān)系.

(2)再利用分工求出回歸方程進(jìn)行回歸分析.

解答：⑴

101010

x=66.8,y=67.0l,x=4462.24,y?4490.4,Zx：=44974,工=44941.93,工=44842.4,

/=1i=l/=!

44842.4-10x4476.26879.72,、。八，

-I,~~iy0.804.

（fxMoz）（Zx2-io7）“44794—44622.4）（44941.93-449.3.4）,6611.5764

/=!/=1

所以y與x之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān),關(guān)系.

10____

￡3為-10Q

44842.4-44762.68_79.72

(2)設(shè)回歸方程為y=〃x+a.由3=/=|

-?0.4646.

E%,2-10x44794-44662.4171.6

；=1

a=y-bx=61.01-0.4646x66.8?35.97.

故所求的回歸方程為：?=0.4646x+35.97.

⑶當(dāng)x=73時(shí)，3=0.4646x73+35.97a69.9.所以當(dāng)父親身高為73英寸時(shí)，估計(jì)兒子身高約為

69.9英寸.

(二).非線性回歸分析

※相關(guān)鏈接※

1.非線性回歸模型：當(dāng)回歸方程不是形如y=尿+。時(shí)稱之為非線性回歸模型.

2.非線性回歸模型的擬合效果:對于給定的樣本點(diǎn)(內(nèi),兇),(々,％)，，(x“,y”)，兩個(gè)含有未知數(shù)的模

型)川=/(x,a)和y°)=g(x,勿，其中。和匕都是未知參數(shù).

可按如下的步驟比較它們的擬合效果：

⑴分別建立對應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程歹D=/(x,&)和/⑵=其中4和△分別是參數(shù)。和Z?

的估計(jì)值；

⑵分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和"=￡(y—%D)2和。⑵=f(y—*2))2；

1=1/=1

⑶若。⑴V0⑵，則/=/(X,0的效果比嚴(yán)=g(x,b);

反之，科＞=/(x,4)的效果不如亍⑵=g(x1)的好.

※例題解析※

K例】為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化時(shí),繁殖個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：

3

人數(shù),7A1O156

繁殖個(gè)數(shù)w個(gè)1112251995190

(1)用一天數(shù)x作解釋變量,繁殖個(gè)數(shù)y作預(yù)報(bào)變量,作出這些數(shù)據(jù).的散點(diǎn)圖

(2)描述解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y之間的關(guān)系；

(3)計(jì)，算殘差平方和、相關(guān)指數(shù).

思路解析:作出散點(diǎn)圖f分析與哪種曲線擬合-轉(zhuǎn)化線性關(guān)系T進(jìn)行回歸分析.

解答：(1)所作散點(diǎn)圖如圖所示.

r?

20()?

*

150-

1()0-?

5()-?

(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分析在一條指數(shù)函數(shù)y=的周圍,于是令z=Iny,則

?)

131,16

ry

1.i2.183.22.-1,15.25

由計(jì)算器得：2=0.69X+1.112,則有1=/69MLU2.

r6.06］：'；.'：：!?18.0195.771D

yI-；121995190

(3)

666?1643

則2?，2=》?'一力）2=3/643,y（x-X）2=24642.8,g=1一二-=0.9999，即解釋變量

MM24642.8

天數(shù)對預(yù)報(bào)變量細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)解釋了99.99%.

（三）獨(dú)立性檢驗(yàn)

K例》在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分別利用圖形和獨(dú)立性

檢驗(yàn)的方法來判斷色盲與性別是否有關(guān)?你所得到的結(jié)論在什.么范圍內(nèi)有效？

思路解析：（1）先由已知作出調(diào)查數(shù)據(jù)的列聯(lián)表；

（2）再根據(jù)列聯(lián)表畫出二維條形圖,并進(jìn)行分析；

（3）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)作出判斷.

解答:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的聯(lián)表:

色盲不色盲合計(jì)

男38112180

女I-;511520

合計(jì)9561000

根據(jù)列聯(lián)表作出,相應(yīng)的二維條形圖，如圖所示.

從二維條形圖來看，在男人中患色盲的比例生，要比在女人中患色盲的比例且要大，其差值為

480520

|衛(wèi)-上一花0.068,差值較大,因而我們可以認(rèn)為“性別與患色盲是有關(guān)的”，根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)

480520

可以有a=38,b=442,c=6,1=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,〃+d=956,〃=1000,

1000x(38x514-6x442)^

代入公式K2=-------〃""一姐-------得K-