2023-2024學年陜西省寶雞實驗高級中學高三（上）第一次模擬數學試卷（文科）（含解析）

2023.2024學年陜西省寶雞實驗高級中學高三(上)第一次模擬數學試

卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合力={x|y=eR},B={y|y=>0},則力nB=()

A.0B.[(1,1)}C.(0,+oo)D.R

2."/一%<0”是“e、〉。”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在復平面內，。是原點，向量被對應的復數是-1+i,將近繞點。按逆時針方向旋轉%則所得向量對應

的復數為()

A.―弋2B.—V2iC.-1D.—i

4.已知/(x)=/念■是奇函數，則Q=()

A.2B.-1C.1D.-2

5.在公比大于1的等比數列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,則%2=()

A.96B.64C.72D.48

6.函數/(%)=辿晤尹義的部分圖象大致為()

/、/14-v

7.已知點在圓C：%2+y2=m±,過M作圓C的切線貝〃的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.已知sin(a-/?)=5cosasinfi=p則sin(a+0)=()

1551

c

A-B--D-

8669

9.某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同

學抽到不同主題概率為()

10.用模型y=ae"》擬合一組數據組?,%)(i=1,2,...,7),其中與+0+…+%7=7；設z=2ny,得變換后

的線性回歸方程為z=x+4，則y，2“-y7=()

A.e70B.70C.e35D.35

11.已知函數f(x)=cos(3x+w)(0<a)<10,0<<p<兀)圖象的一個對稱中心是4(，0),點B(0,?)在/(x)

的圖象上，下列說法錯誤的是()

A./(%)=cos(2x+9B.直線x=浮是f(x)圖象的一條對稱軸

c.f(乃在［?，當］上單調遞減D./(x+9是奇函數

OOO

12.設A,B為雙曲線/一<=1上兩點，下列四個點中，可為線段4B中點的是()

9

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,4)D.(1,3)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.函數/(%)=x4-cos》的圖象在x=0處的切線方程為_.

14.設血、幾是兩條不同的直線，a、夕是兩個不同的平面，給出下列命題：

(1)若?n_La,n//af則m1九.

(2)若mJL九，n//a,則znJLa.

(3)若mla,a〃B，則ml￡.

(4)若?n1a,ml/?,則a〃夕.

其中正確命題的序號是(寫出所有正確命題的序號)

15.函數/(%)=sin(cox+0)(3>0,\(p\<今在一個周期內的部分取值如表：

71717157r77r

X

~121241212

/(X)a1a—a-1

則/(%)的最小正周期為;a=.

16.已知等差數列｛a九｝是遞增數列，且滿足。4/7=15，a+a=8,令%=("N2),且瓦=:,

38^a°nJ-lan3

則數列｛bn｝的前n項和=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

世界上的能源消耗有3?:是由摩擦和磨損造成的，一般機械設備中約有80%的零件因磨損而失效報廢.零件

磨損是由多方面因素造成的，某機械設備的零件隨著使用時間的增加，“磨損指數”也在增加.現根據相關

統(tǒng)計，得到一組數據如表.

使用時間t/年12345

磨損指數0％4.55.66.46.87.2

(1)求r關于t的線性回歸方程；

(2)在每使用完一整年后，工人會對該零件進行檢測分析，若該零件在下一年使用過程中的“磨損指數”超

過10%,則該零件需要在本次檢測后立即進行報廢處理.根據(1)中的回歸方程，估計該零件使用多少年后需

要進行報廢處理？

參考數據:貨=E=30.5,Sf=itirt=98.1.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=飛:消等，)=：；：詈,a=y-bx-

18.(本小題12.0分)

在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2acos4■cosB+bcos2A=—b.

(1)求角4

(2)若△4BC的面積為1,求a的最小值.

19.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，D是44］的中點，AC1BC,AC=BC,AB=AAr=4.

(1)證明：AC11平面BCD.

(2)求點D到平面4BG的距離.

B

20.(本小題12.0分)

設拋物線C：y2=2px(p>0),直線x—2y+l=0與C交于A,B兩點，且|4B|=4/B.

⑴求p；

(2)若在無軸上存在定點M,使得前了.麗=0,求定點M的坐標.

21.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=ax+x2—xlna—b(a,bER,a>1),e是自然對數的底數.

(1)當。=6,b=4時，求整數k的值，使得函數/(x)在區(qū)間(k,k+l)上存在零點；

(2)若36[—1,1],且b=0,求/1(%)=a*+/一xbia—b(a,b6R,a>1)的最小值和最大值.

22.(本小題10.0分)

'_2-2t

在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為「一不'?為參數).以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立

9=用

極坐標系，曲線。2的極坐標方程為p=2COS6.

(1)求出G的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)若G與有公共點，求m的取值范圍.

23.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=\2x-a|+|x-3al.

(1)當a=l時，求不等式/(x)〈4的解集；

(2)若VxeR,/(x)>|x-I+a2+1,求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：??,4=R,B=｛y\y＞0),

AC\B=(0,+8).

故選：C.

可求出集合4B,然后進行交集的運算即可.

本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：由％2一%＜0得，0＜乂＜1,

由e*＞0得，xeR,

因為｛尤|0＜尤＜1｝呈R,所以“――％＜0”是“靖＞0”的充分不必要條件.

故選:A.

根據充分條件和必要條件的定義判斷.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查復數的幾何意義，以及復數的四則運算，屬于基礎題.

根據已知條件，結合復數的幾何意義，以及復數的四則運算，即可求解.

【解答】

解：向量次對應的復數是-1+i,將被繞點。按逆時針方向旋轉會

則所得向量對應的復數為(一1+i)(cos*+sin/)=(―1+i)(殍+?i)=-^2.

故選:A.

4.【答案】A

【解析】解：?函數是奇函數，.??滿足/(-%)=-/(%),

即工二——,化簡為1)"=---^―,得Q-1=1,Q=2,

e?-1e^—l1—6以e"—1

此時/(x)=潟A，函數的定義域為(-8,0)U(0,+8),成立.

故選：A.

根據奇函數的定義，即可求解參數a的值.

本題考查了函數的奇偶性的定義，是基礎題.

5.【答案】A

【解析】解：在公比大于1的等比數列｛an｝中，

,**Q3Q7=72==27,

.??。2，。8是方程/一27%+72=0的兩個根，且。2<為，

解得=3，他=24,

OZ解得q2=2,

1110

a12=ciiQ=a2Q=3x2$=96.

故選：A.

由已知條件推導出。2,是方程/-27x+72=0的兩個根，且。2<。8，由此求得。2=3,a8=24,進而

得到q2=2,由此能求出的2.

本題考查等比數列的第12項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列的通項公式的靈活運用.

6.【答案】C

【解析】解：由題意可得：f(x)的定義域為R,

因為—駟哥辿=_/(x)，

所以/(x)為奇函數，排除B,D.

當x>0時，則1+田>OR++1+%>1，可得X2+1+工)>0,

所以/(x)>0,排除4.

故選：C.

根據函數奇偶性結合函數值的符合分析判斷.

本題考查函數奇偶性，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查圓的切線方程，屬于基礎題.

根據已知條件，先求出/CCM，再結合直線垂直的性質，即可求解.

【解答】

解：圓C：x2+y2=m,

則圓C的圓心為C(0,0),

過M作圓C的切線

則,h=-1，即&=一^^，

故，的傾斜角為150。.

故選：D.

8.【答案】B

【解析】解：因為sin(a-0)=sinacosp-cosasinp=sinacosp--=

_117

所以stnacos。

所以sin(a+.)=sinacos^+cosasinp=《+；=居=3.

故選：B.

利用兩角差的正弦公式展開求出sinacos。，然后利用兩角和的正弦公式計算即可.

本題主要考查兩角和與差的正弦函數，考查運算求解能力，屬于基礎題.

9.【答案】A

【解析】解：某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文,

甲、乙兩位參賽同學構成的基本事件總數n=6x6=36,

其中甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題包含的基本事件個數m=照=30,

則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為P=%=羽="

n366

故選：A.

利用古典概型、排列組合等知識直接求解.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

10.【答案】C

［解析］解：因為%1+不+…+%7=7,所以％=1,z=%+4=5，

叱x(In%+lny2+....+lny7)=-xln(y1y2...y7)=5,

所以y，2-y7=?35.

故選：c.

根據回歸直線方程，必過樣本點中心G,W),再利用換元公式，以及對數運算公式，化簡求值.

本題考查線性回歸方程的應用，屬于中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：因為點B(0,3)在/'(x)的圖象上，所以/(0)=COS0=，.又0<W(兀，所以W=：，

因為/(x)圖象的一個對稱中心是4后,0)，所以等+；=升而，kez,

則co=2+8k,卜62.又0<3<10,所以3=2,則/(x)=cos(2x+；),A正確；

/(y)=COSy=0,則直線X=:不是/(X)圖象的一條對稱軸，B不正確；

當欠€(wěn)年,黨時，2%+江［2兀,3網，/?(%)單調遞減，C正確；

f(x+?)=cos(2x+5)=-sin2x,是奇函數，。正確.

OL

故選：B.

由/(0)=?可得0=%由對稱中心4(,0)可求得3=2,從而知函數f(x)的解析式，再根據余弦函數的圖

象與性質，逐一分析選項即可.

本題主要考查了余弦函數的圖象和性質，考查了函數奇偶性的判斷，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：設4Qi，為)，S(x2,y2)>

則AB的中點M(歿強，空)，設直線OM的斜率為k,

門+丫2,

力一段k=-2=

可得%B%1-％2'%i+%2'

"B在雙曲線上，一,=1

對于4可得k=l,kAB=9,貝必B：y=9x—8,

y=9%—8

聯(lián)立方程「y2得72/—2x72%+73=0,

卜-卜1

此時A=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,

???直線4B與雙曲線沒有交點，故A錯誤；

對于8,可得k=-2,/CAB=—?,則AB：y=——I，

'95

y=一/—2

聯(lián)立方程得45x2+2x45x+61=0,

x2-y=1

此時4=(2x45)2-4x45x61=-4x45x16<0,

???直線與雙曲線沒有交點，故8錯誤；

對于C,k=4,kAB=p則=+

_9」7

y=TX+-

424,得63/-126%-193=0,

{T=i

此時4=1262+4x63X193>0,故直線4B與雙曲線有交兩個交點，故C正確；

對于D,可得k=3,kAB=3.則AB：y=3x,

由雙曲線方程可得a=1,b=3,則4B：y=3x為雙曲線的漸近線，

???直線4B與雙曲線沒有交點，故。錯誤.

故選：C.

根據點差法分析可得心釬%=9,對于4B、C,通過聯(lián)立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于D,結

合雙曲線的漸近線分析判斷.

本題考查直線與雙曲線的位置關系，訓練了點差法的應用，解題的關鍵是根據點差法得到%B4=9,然后

逐個分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.

13.【答案】x-y+l=0

【解析】解：因為/'(X)=x+cosx,所以/''(X)=1—sinx,則f(0)=1,4(0)=1,

故/'(x)的圖象在久=。處的切線方程為y=x+l=>x—y+l=0.

故答案為：x-y+1=0.

根據導數的幾何意義，結合直線點斜式方程進行求解即可.

本題主要考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎題.

14.【答案】⑴(3)(4)

【解析】解：(1)若m1a,n〃a,則m_Ln.此命題正確，因為n〃a,知在面內必存在一線與n平行，由m_La

知，此線與m垂直，故可得7nlzi；

(2)若mJLn,n//a,則mJ.a.此命題錯誤，因為mJLn,n〃a只能得出m與面內有些線垂直，不能得出它垂

直于面內任意一條直線，故不正確；

(3)若m_La,a//p,則ml/?.此命題正確，因為m_La,a//p,一條直線垂直于兩平行平面中的一個，必

垂直于另一個；

(4)若mJLa,m1.0,貝Ua〃0.此命題正確，因為?n_La,ml/?,而垂直于同一直線的兩個平面必平行故可

得結論；

綜上(1)(3)(4)是正確命題

故答案為。)(3)(4)

由題意，(l)若mla,n//a,則m1n.此命題由線面垂直判斷線線垂直，由性質判斷即可

(2)若mln,n//a,則?n_La.此命題由線線垂直，線面平行判斷線面垂直，由線面垂直的判定定理判斷即

可；

(3)若m_La,a〃￡，則m_L￡.此命題由線面垂直與面面平行判斷線面垂直，由線面垂直的條件判斷即可：

(4)若mla,mLp,貝必〃住此命題由線面垂直判斷面面平行，由面面平行的條件判斷即可.

本題考查線線垂直，線面垂直，面面平行的判斷，解題的關鍵是熟練掌握判斷線線垂直，線面垂直，面面

平行的條件，作出正確判斷，本題需要有著較好的空間感知能力，考查了推理判斷的能力，空間想像能力.

15.【答案】TT

1

2

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數解析式的應用，利用五點對應法建立方程進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題.

根據條件先求出函數的周期和解析式，然后直接代入求a即可.

【解答】

解：由表格知,=,_噌=萼=用即7=兀,

即町=兀，得3=2,

0)

則/'(x)-sin(2x+w),

由五點對應法得2x"+勿=3+2kEZ),得3=尹2kMkGZ),

7T兀

"\(P\<2>"^=3

則/(x)=sin(2x+9,

則a=/(7)=sin(2xR?=sing+?)=cos?=

故答案為：n,p

16?【答案】肅

【解析】解:由題意,遞增數列｛冊｝滿足?！ā?=15,a3+a8=8,

可得。4，。7是方程%2-8%+15=。的兩根，且04V解得=3,a7=5,

設數列5｝的公差為d,可得d=合=|,

n—

所以數列｛a7J的通項公式為即=a4+(4)-d=3+(n—4)x|=駕

可得%=9即_1二==(2n-l)(2n+l)=2(2n-l-2n+l)'

又瓦=§=2(1-§)，

所以%=瓦+尻+…+%=5[(1_§)+(§―2+“?+(口-布)]=](1_麗)=訴

故答案為：舟

根據題意，求得。4=3,。7=5,設數列｛即｝的公差為d，得到d=|,求得數列的通項公式an=等，得

到%=—占一總r)，結合裂項法求和，即可求解?

n2v2n-l2n+r

本題考查數列的求和，考查裂項相消法求數列的前n項和，考查運算求解能力，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)因為XL/=30.5,所以1=嬰=6.1,

又￡=1+2+J4+5=3,t.r.=98.1,

迪15-5tr_98.1-5x3x6.1

所以力==0.66,

55-5x3

所以a=亍-=6.1-0.66x3=4.12'

故7?關于t的線性回歸方程為；=0,66t+4.12；

(2)由(1)可知,當t=8時，r=0.66x8+4.12=9.4<10，

當t=9時，「=066x9+4.12=10.06>10，

故估計該零件使用8年后需要進行報廢處理.

【解析】(1)根據題中所給的公式和數據進行求解即可；

(2)運用代入法進行求解判斷即可.

本題主要考查了求線性回歸方程，以及利用線性回歸方程進行預測，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為2QCOSA?cosB+bcos2A=3c—b,

所以2acos/-cosB+b(l+cos2A)=V"^c，即2acos4?cosB+2bcos2A=

由正弦定理得，2sinAcosA-cosB4-2sinBcos2A=\T~3sinC?

所以2cosA(si?L4-cosB+sinBcosA)=V~~3smC?

所以2cos4?sin(A+8)=2cosAsinC=\T_3sinC?

因為CG(0,TT),所以sinCH0,所以cos/4=三-

因為4E(0,〃)，所以

(2)因為△ABC的面積為1,

所以gbcsin力=1,所以be=4,

由余弦定理知，Q2=^2+一2bccosA=b2+c2-4-/-3>2bc一4\Z-3=8-4，3(當b-c-2時，取

“=”),

所以Q>>J8—4A/-3=V-6—y[~2y

即Q的最小值是，石—y/~~2-

【解析】(1)結合三角恒等變換公式與正弦定理，化簡己知等式，可得cos4=?，從而得解；

(2)先由三角形的面積公式求出兒=4,再利用余弦定理與基本不等式，即可得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，三角恒等變換公式，基本不等式是解題的關鍵，考查邏輯推理

能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴在直三棱柱力BC-&BC中，CG1平面ABC,BCu平面ABC,故Cg1BC,BCLAC,

又因為4CnCCi=C,AC,CGu平面ACC1七,

所以8cl平面ACCiA，又.u平面4CGA1，所以BC_LAG，

因為AB=4,AC=BC,所以4C=2，7.

AnQA

又D是的中點，AA1=4?所以應;二啟^所以△4OC?△C4ci，1CD,

因為BCnCD=C,BC,CDu平面BCD,所以“GJ"平面BCD；

22

(2)%-gp=拉4cm?BC=：X：X2X2y/~2X2c=1.ACr=VAC+CC=2<6,BCr=

yjBC2+eel=2V_6-

所以S-BQ="BJ型一'=4AT5>

設點。到平面ASG的距離為d,由/TBQ=%-“，得殍d犬，

解得d=

即點。到平面ASG的距離為亨.

【解析】(1)確定BCJ.4G，根據相似得到4CiLCD,得到線面垂直;

(2)計算/的。智，S-BQ="虧再根據等體積法計算得到距離.

本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了等體積法求點到平面的距離，屬于中檔題.

20.【答案】解:(1)不妨設4(4,打),8(出,外)，

聯(lián)立聯(lián)2。，消去尤并整理得y?-4py+2P=0,

由韋達定理得”+犯=4p,yAyB=2p,

2x

所以|4B|=V+(yA-yB)=yT5\yA-yB\=屋J(以+為/一4以獨=4<T5,

即2P2—p-6=0,

因為p>0,

解得p=2；

(2)假設工軸上存在定點M(?n,0)使得拓？.麗=0,

聯(lián)立1=。消去X并整理得y2-8y+4=0,

由韋達定理得力+為=8,yAyB-4,

易知-MB=(xA—m.y^)?(xB—m,yB)=0，

2

此時X/B-m(xA+xB)+m+yAyB=0,

BPm2-14m+5=0,

解得zn=7+2d，

故存在定點M(7+2d,0)或M(7-2/14,0).

【解析】(1)由題意，不妨設4(乙,%),8(沖,沖)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式可得答

案；

(2)假設%軸上存在定點將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據g.麗=0的坐標運算即可求解.

本題考查拋物線的性質以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力.

21.【答案】解：(1)當。=6,6=4時，f(x)=ex+x2-x-4,

???fix')=ex+2x—1,

f(0)=0

當x>0時，ex>1,

???f'(x)>0,

故/'(x)是(0,+8)上的增函數，

同理/(X)是(-8,0)上的減函數，

12

/(-2)=e-2+2>0,/(-I)=e--4<0,/(0)=-3<0,/(I)=e-4<0,/(2)=e-2>0,

故當x>2時，/(x)>0,當x<-2時，/(x)>0,

故當x>0時，函數f(〉的零點在(1,2)內,

k=1滿足條件.

同理，當x<0時，函數/'(X)的零點在(—2,-1)內，

k=-2滿足條件，

綜上k=1,-2.

(2)由已知f'(x)=axlna+2x-Ina=2x+(ax—l)lna,

①當x>0時，由a>1,可知a*—l>0,Ina>0,

???/'(x)>0；

②當x<0時，由a>l,可知a*—1<0,Ina>0,

"(x)<0；

③當％=0時，/(x)=0,

在［-1,0］上遞減，［0,1］上遞增,

當xG時，=/(0)=1，f(x)max=max{/'(-l),/(l))

而/(I)—/(—I)=a---2Ina,

設g(t)=t—：—21nt(t>0),

g'(t)=1+N—-20(僅當t=1時取等號)，

???g(t)在(0,+8)上單調遞增，而g(l)