2023-2024學年河南省周口市扶溝縣包屯高級中學高三壓軸卷數(shù)學試卷含解析

2023-2024學年河南省周口市扶溝縣包屯高級中學高三壓軸卷數(shù)學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數(shù)滿足，則復數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-22．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．3．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．4．已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A．1 B．2 C． D．5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．6．已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的方程不可能為（）A． B． C． D．7．已知直線：與圓：交于，兩點，與平行的直線與圓交于，兩點，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④8．某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年9．設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．10．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或011．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，如果在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．12．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，那么______.14．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.15．在平面直角坐標系中，已知圓，圓．直線與圓相切，且與圓相交于，兩點，則弦的長為_________16．某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A＝(k≠0)的一個特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對應的變換將點(3，1)變?yōu)辄c(1，1)．求實數(shù)a，k的值．18．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．19．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設曲線與曲線交于，兩點，求.20．（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．22．（10分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復數(shù)滿足，∴，故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算，復數(shù)模長的概念，屬于基礎題．2、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.3、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4、C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖：直線的斜率為，直線的斜率為，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得，，，，所以陰影部分面積.故選：C.【點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力，屬于?？碱}.5、B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關于原點對稱且，在上即可.【詳解】A：因為定義域為，所以不可能時奇函數(shù)，錯誤；B：定義域關于原點對稱，且滿足奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關于原點對稱，且滿足奇函數(shù)，，在上，因為，所以在上不是增函數(shù)，錯誤；D：定義域關于原點對稱，且，滿足奇函數(shù)，在上很明顯存在變號零點，所以在上不是增函數(shù)，錯誤；故選：B【點睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關于原點對稱，屬于簡單題目.6、C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程，求得四個選項中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項.【詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況．依題意，雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°，雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為，B選項漸近線為，C選項漸近線為，D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎題.7、D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時滿足條件，根據(jù)點到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.8、D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.9、A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式．10、C【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，只需，即，令，利用導數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當時，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應用，屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則，設，則當時，，，即，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則得，得，即實數(shù)的最大值為，故選：B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.12、C【解析】

設，則的幾何意義為點到點的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解：設，則的幾何意義為點到點的斜率，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由圖可知當過點的直線平行于軸時，此時成立；取所有負值都成立；當過點時，取正值中的最小值，，此時；故的取值范圍為；故選：C.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標函數(shù)函數(shù)問題，解題時作出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解是解題關鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知利用誘導公式可求，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求解.【詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于基礎題.14、【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當且僅當m＝n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為：4.【點睛】本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.15、【解析】

利用直線與圓相切求出斜率，得到直線的方程，幾何法求出【詳解】解：直線與圓相切，圓心為由，得或，當時，到直線的距離，不成立，當時，與圓相交于，兩點，到直線的距離，故答案為．【點睛】考查直線與圓的位置關系，相切和相交問題，屬于中檔題．16、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用，古典概型概率的簡單應用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解：設特征向量為α＝對應的特征值為λ，則＝λ，即因為k≠0，所以a＝2．5分因為，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．綜上，a＝2，k＝2．20分【解析】試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點：特征向量,逆矩陣點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣．18、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個關于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設M，N對應的對數(shù)分別為，，則，當時，取得最小值為．【點睛】該題考查的是有關參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應用，屬于簡單題目.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標方程為：當時，，當時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標為，化直角坐標方程為，化直角坐標方程為，∴，∴.【點睛】本題考查利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，以及聯(lián)立方程組求交點坐標，考查計算能力.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，分別計算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計算即可.【詳解】（1）證明：分別取，的中點，，連接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系由面，所以面的法向量可取，點，點，點，，，設面的法向量，所以，取，二面角的平面角為，則為銳角.所以【點睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學生的運算能力，在做此類題時，一定要準確寫出點的坐標.21、（1）最小值為，此時；（2）見解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得；法二:運用基本不等式構造