2023-2024學年江蘇省南通市高一年級下冊期中模擬數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省南通市高一下冊期中模擬數(shù)學試題

一、單選題

1.已知i是虛數(shù)單位，若Z=J=，則|z|=（）

2-1

A.1B.75C.—D.3

5

【正確答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡ZM-2+I1，進而即可求出答案.

ii（2+i）-l+2i1,2i

【詳解】因為z=）（）-1）

2-i一（2-i2+i-555

I

所以

故選：C.

1.4

2.3^*sin（7t+a）=-~9則cos（7t—2a）=（）

3D3cl

A.-D."—C.D.

5525~25

【正確答案】c

【分析】結(jié)合誘導公式和二倍角公式求得正確答案.

44

【詳角軍】由sin（兀+a）=-sina=得sina=

55

所以cos（7i-2a）=-cos2a=2sin2tz-1=2x^^j-17

25

故選：C

3.記_鉆。的內(nèi)角48,。的對邊分別為。為,。,。=2,。=3,8=1,則AC邊上的高為（）

&后n畑c3莊n3歷

147147

【正確答案】D

【分析】根據(jù)余弦定理求出分，再根據(jù)面積公式列式可求出結(jié)果.

【詳解】由層=q2+c2-2accos3=4+9-2x2x3x」=7,得A=g.

2

設AC邊上的高為〃,

百

2x3x

因為5,卄=丄加4118=丄劭，所以，acsinB23而,

''byH1

即AC邊上的高為亞

7

故選：D

4.利用公式：sin(a+y5)=sinacos/?+cosasin/3,sin(a-y5)=sincrcos/?-cosasin/?,可

得：sinacos/=g[sin(a+0+sin(a—/)].則化簡sin20cos70+sin10sin50的值是()

A.-B.2C.；D.旦

4224

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題目所給公式計算化簡即可求值.

【詳解】由sinacos/3=；[sin(a+夕)+sin(a-夕)]可得，

sin20cos70=g[sin(20+70)+sin(20-70)]=gsin90+^sin(-50),

sin10sin50=sin10sin(90-50)=sinl0cos40

=g[sin(10+40)+sin(10-40)]=；sin50+gsin(一30),

所以sin20cos704-sin10sin50=—sin90+—sin(-50)+—sin50+—sin(-30)

=—sin90——sin50+—sin50——sin30=------=—,

2222244

故選:A.

5.如圖在中，N8AC=q.AD=2DB，P為8上一點，且滿足

AP=/nAC-i-^AB(/neR),若AC=3,AB=4,則APCD的值為(

)

13C,上1

A.-3B.D.

1212V2

【正確答案】c

i3

【詳解】由AO=2O3及AP=〃?AC+/A3（m￡R）,將AP="?AC+QAO（"?￡R）.由三點

共線可求加的值，再用厶3、AC表示CO，進而求AP.CD即可.

_.17

【分析】AP=mAC+-AB（meR）,AD=2DB，即厶。=148,

3、

/.AP=mACGR),

因為C、P、O共線，設CP=/ICD,即AP-AC=4(AO-ACj,

1-2=/n

31

所以，AP=(1-A)AC+AAD,所以，彳_3,故加=l-j=a，

."4

112

所以，AP=-AC+-AB,而CQ=A￡>-AC=—A8-AC,

423

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB-AC=k8H4Ckos]=4x3xg=6,

/.APCD=\(1-AC^1-ABV2-AB-AC\=\-AB2一1一ABAC——1AC2

(42丿(3丿334

12-13

=—x4yl—x6—x3=—.

33412

故選：C.

.I/。G.A2tan13°/l-cos500血心/、

6.設a=-cos6。--sin6°,b=--------77—,c=.-,則有()

221+tan-13°V2

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【正確答案】c

【分析】利用輔助角公式化簡。，利用倍角公式化簡6,C,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

【詳解】a=-cos6°-^-sin6°=sin(30°-6°)=sin240,

.2tan13°2sinl30cosl3°.

b=------——=——；-------；——=sin26°,

1+tan213°cos213°+sin213°

(

C=c^s5oO=Vsin225°=sin25°.

因為函數(shù)，=sinx在(0,5)上是增函數(shù)，所以

故選：C.

若三角形中cos4=g,S=4&，

7.43c的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c

且sin(A-8)=2sin8(l—2cosA),則匸=()

3

A.3B.-C.2D.4

2

【正確答案】D

【分析】易知sinA=迪，利用兩角差的正弦公式化簡原等式，可推出tanB=￥，從而知

sin8和cosB的值，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式，求得sinC的值，然

后由正弦定理，知力=：c,最后由S=；6c-sinA,得解.

【詳解】Qcos4=g,且Ae(O,m,

sinA=A/1-COS2A=,

3

sin(A-B)=2sinB(l-2cosA),

sinAcosB-cosAsin=2sinB-4sin^cosA,即sinAcosB=2sinB-3sinBcosA,

厶&cosB=2sin8-3x丄sin8=sin3

33

...tanB=^

3

B￡（0,兀），sinB=,8sB=~^=

V17V17

?.sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=x+丄x=8y,

3V173V173>/17

b

由正弦定理知,

sinBsinC'

b_c

3

???2y（2~8&,即〃

7173>/T7

S=-Z?csinA=---cc—=4^,

2243

c=4.

故選：D

ABC中,若sinC=sinAsinB,則tan（A+5）的取值范圍是（）

TB.c.同D.M]

【正確答案】A

【分析】利用三角函數(shù)恒等變換進行化簡，可得tanA+tan8=tanAtan8,利用基本不等式

得tanAtanB",利用兩角和的正切公式表示tan(A+B),結(jié)合以上條件即可求解

tan(A+8)的取值范圍.

【詳解】丁，cosAcosBwO,

VsinC=sinAsinB，即sin(A4-B)=sinAsinB,

sinAcosB+cosAsinB=sinAsinB,

兩邊同時除以cosAcosB,得lanA+lan8=lanAtan3,

tanA,tanB>0,

?*.tanA+tanB>2VtanAtanB,當且僅當tanA=tanB時等號成立,

tanAlanB>2jtanAtanB，B|JtanAtanB>4,

-n、tanA+tanBtanAtanB1

tan(A+B)=-----------------=------------------=------------------

1-tanAtanB1-tanAtanBI1，

tanAtanB

VtanAtanB>4，0<---------------<—,

tanA-tanB4

tanA-tanB4

——<-------------------<-1/、4

；?3-1.，即tan(A+5)的取值范圍是-不-l

-----------------1J

tanA-tanJB

故選：A.

二、多選題

2

9.在復平面內(nèi),復數(shù)z=皐瓦，正確的是()

A.復數(shù)I的模長為1

B.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限

C.復數(shù)z是方程f-x+l=0的解

D.復數(shù)。滿足|。-目=1,則同皿=&+1

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則化筒復數(shù)得2=丄-3i,進而可判斷厶8,將2=丄-立i代

2222

入方程中即可驗證C,根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可判斷D.

得“=(1+T)(f%[-樂則送+當

2

【詳解】由2=

1+后

2

對于A,|z|==1,故A正確,

對于B,復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為,故該點位于第四象限，故B錯誤,

316....1-73.日

---+—1+1=n0,tez=--------1是

42222

Y7+1=0的復數(shù)根，故C正確,

對于D,設復數(shù)。對應的向量為OW=(x,y)到，復數(shù)z對應的向量為OZ=；，由

3-z|=l得|ZW|=1的距離為1,故復數(shù)。對應點的(x,y)在以g,-券為圓心，半徑為1

的圓上，故網(wǎng)的最大值為|oz|+r=l+l=2,故D錯誤，

故選：AC

10.在一A5C中，記角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若ABMC=2，a=2,則()

A.b2+c2=SB.向量SA，AC夾角的最小值為？

C.內(nèi)角4的最大值為。D._A8C面積的最小值為G

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)向量的運算法則結(jié)合余弦定理得到從+C?=8,根據(jù)均值不等式得到反44,

計算cosA=；，得到AC正確，B錯誤，利用面積公式得到Sf=1"?一44百,得到答

案.

"+〃—4

【詳解】AB-AC=bccosA=------;------=2,/?2+c2=8,故A對；

2

217T

b2+c2=S>2bc,be<4,當且僅當b=c時取等，bccosA=2,cosA=—>-,即AMX=T，

be23

故B錯，C對；

S.ABC=3besinA=bcylI-cos2A=gbcjl—(=--—----<y/3>故D錯.

故選：AC

II.向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，

是溝通代數(shù)與幾何的橋梁?若向量a,8滿足同=同=2,卜+4=2百，則（）

兀

A.a-b=—2B.d與力的夾角為］

C.k一4＜卜+4D.a-b在/，上的投影向量為產(chǎn)

【正確答案】BC

【分析】利用向量的模長公式以及題中條件即可判斷A,C,由夾角公式可判斷B,根據(jù)投影向

量的求法即可判斷D.

【詳解】由同=2,卜+0=2?

12冃4+切2=/+24./,+32=4+24./,+4,解得人/,=2,故厶錯誤

〃力=時也即6,6}=2宀?力）=前=3,

由于（a,b”（0,兀），.工與/，的夾角為T，故B正確，

pz-Z>|=’（a-/?）=\la-2a-b+b2=,4-2a.J+4=2<卜+0=2A/3，故C正確

b'（ci^bybci'h-bhh\

a—b在b上的投影向量為TI-%=—:—n=-1=-力，故D錯誤,

\b\\b\2\b\\b\2

故選：BC

三、單選題

12.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式

e，=cosx+isinx（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個公式在復變論中占有非常重要的

地位，被普為“數(shù)學中的天橋”.下列說法正確的是

A.eLV4-1=0B.

eiv+e-u

C.cosx=----------D.

22

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題設中的公式和復數(shù)運算法則，逐項計算后可得正確的選項.

【詳解】對于A,當x=］時，因為e，=cos/+isin/=i,所以/+1=i+1*0，故心+1=0

不一定成立，選項A錯誤;

fl+^iT=fcos^+isin4

對于B,e3=e”1=cos4+isin)二一1,所以B錯誤;

(22丿I33丿

對于C,由/=ssx+isinx,e-Lr=cos(-x)+isin(-x)=cos-isinx,所以eir+e"u=2cosx，得

出cosx=+e—，選項C正確；

2

對于D,由C選項的分析得e*-e±=2isinx,得出sinx=-唬主工選項D錯誤.

2

故選：C.

四、填空題

13.復數(shù)2+i與復數(shù)丄在復平面上對應點分別是43,則tan/AOB=______

3+1

【正確答案】1

【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則可得A8兩點的坐標，再根據(jù)兩角和的正切公式即可算出

tanZAOB=1.

【詳解—】根據(jù)復數(shù)運算法則可得±二苔蒜二言二宗一臺

所以2+i與A對應的點的坐標為42」）,B』-丄〕

如下圖所示:

10'10J

11

一+一

tana+tan/?23

則tanZAOB=tan(a+/)==1.

1-tancrtanp111

23

故1

14.已知sin￡=^,COS（a+夕）=得，二￡（0,3，萬?0,兀），則sina=

【正確答案】豊

65

【分析】通過構(gòu)角。=9+尸)-夕，再利用正弦的兩角差的公式得

sina=sin(a+/?)cos/?-cos(a+^)sin/?,利用已知條件，通過進一步縮小廠和a+尸的范圍,

再利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式求出sin廣，cos)，sin(a+0的值，進而可求出sina

【詳解】因為sina=sin[(a+￡)-/7],由正弦的兩角差的公式得

sinc=sin(tz+/?)cos/?-cos(a+尸)sin夕.

又因為力?0,兀)，又sin'=日，所以cosg=舊碼=半,

又因為血分《凈聞，"w(局,

3

所以sin/?=2sincosP=Jl-sin/

MT5

又.ael0,y1,.-.a+/7e又cos(a+/?)=搐，所以

sin(a+〃)=Jl-cos2(a+/?)=也,

r.sina=sin[(a+△)—6]=sin(a+￡)cosP-cos(a+A)sin4

1235416

=—x---------X—=——

13513565

..16

故而?

15.設A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知”=6,b=2,要使，45C為鈍

角三角形，則c的大小可取..(取整數(shù)值，答案不唯一).

【正確答案】5(填7也對，答案不唯一)

【分析】利用三角形兩邊和與差點關(guān)系，求出4<c<8,再分別討論。和c?為鈍角時，邊c?的

取值范圍，根據(jù)題意即可得到答案.

【詳解】首先由“，b,c構(gòu)成三角形有4=a-b<c<a+6=8,

若c為鈍角所對邊，有02>巒+庁=40,C>740,

若“為鈍角所對邊，有36=/>層+。2=4+02,c<伝,

由b<a,b不可能為鈍角所對邊,

綜上，C的取值范圍是(4,后)(740,8),

由題意，。取整數(shù)值，故。的大小可取5或7.

故5(填7也對，答案不唯一).

16.如圖，尸為矩形A8CO邊A8中點，M,N分別在線段EF、CQ上，其中AB=4,BC=3,

AE^BF^l,若PMPN=4,則PM+^M的最小值為?

【正確答案】2石

【分析】根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標系，設M(W,1),N(〃,3),然后表示出PM,PN,

由PM/N=4可得根=丄=，代入PM+PN中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.

n-2

【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，

可知尸(2,0),M,N分別在線段￡F、C￡>上，

設N(〃,3)(0</n<4,0<M<4),

則PM=(/"-2,l),PN=5-2,3),

所以PM?PN=("?-2)(〃-2)+3=，*"-2(，〃+”)+7=4,

所以機=竺^20,

n-2

PM+PN=(m+〃-4,4),

所以|PM+=7(W+?-4)2+16

2+〃一4儲6

n-2丿

IUULTmill?

所以|PM+PN|的最小值為20.

故

五、解答題

,sin2a-4sincr「(八冗、

17.已知一o——；---------7=3，?e°'r?

cos2a-4cosa+l\Z)

⑴求tana和sin2a的值；

⑵若sin尸=2si嗚+/?J,夕w（0,卦求a+夕的大小.

3

【正確答案】（1）tana=3,sin2a=-；

【分析】(1)結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系即可化簡求得tana=3,以及sin2a=當吟求

tana+1

值；

(2)條件等式由誘導公式可得sinZ?=2cosZ7ntanQ=2,即可由和差公式求得tan(a+/7),

結(jié)合a+尸范圍即可.

—sin2a-4sina2sinacosa-4sina2sina(costz-2)

【詳解】(1)------------------------=---------z-----------------=---------7-----------^-=tana=3,

cos2a-4cosa+12cos-a-4cosa2cosa(cosa-2)

.82sinacosa2tancr3

sin2a=——7---------3-=——3-----=一；

sin~6Z+cos~atan-a4-15

(2)sinyff=2sin^+^j=2cos/?=>tan/?=2,

tana+tan

tan(a+yg)=^=-l,

1-tanatan(3

Va+y0G(O,7r),2+1=弓.

22

18.已知復平面內(nèi)的點A,B對應的復數(shù)分別為Z|="?-加，z2=2/n-l+(/n-2)i(/?zeR),

設AB對應的復數(shù)為z.

(1)當實數(shù)，〃取何值時，復數(shù)z是純虛數(shù)；

(2)若復數(shù)z在復平面上對應的點位于第四象限，求實數(shù)機的取值范圍.

【正確答案】(1)m=――；(2)—2<m<—.

22

【分析】(1)求出z=z2-Z-z是純虛數(shù)，虛部不為0,實部為0,即可求解；

(2)根據(jù)z的值，求出對應點到坐標，根據(jù)已知列出不等式，即可求出結(jié)論.

【詳解】點A,8對應的復數(shù)分別為4=加-,成22=2/-1+"一21，

A8對應的復數(shù)為z,，z=Z2-Z[=2,"2-,〃-l+O2+〃i-2)i,

[2濟—1=o

(1)復數(shù)Z是純虛數(shù)，，2。八，

[m-+"7—2.0

m1T?

解K/得r｛~——2或根=1,

m工一2且機w1

(2)復數(shù)z在復平面上對應的點坐標為(2布-〃LI,/+〃?一2),

2m2-m-l>0m{——或）1

位于第四象限,即\2/

m2+/%—2<0

-2<m<\

-2<m<——.

2

本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法、幾何意義、復數(shù)的分類，屬于基礎題.

19.某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近

似為圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形ABC。是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知邊界A8=A￡>=4萬

米，8C=6萬米，CD=2萬米.

（1）請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABC。的面積及AC的長；

（2）因地理條件的限制，邊界厶。,OC不能更改，而邊界A3,8c可以調(diào)整，為了提高棚戶

區(qū)建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點尸，使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地4PCO

的面積最大，并求出最大值.

【正確答案】⑴AC=2百萬米.S.s=8百萬平方米.

（2）所求面積的最大值為9石萬平方米，此時點P為弧ABC的中點.

【詳解】試題分析：（1）利用圓內(nèi)接四邊形得到對角互補，再利用余弦定理求出相關(guān)邊長,

再利用三角形的面積公式和分割法進行求解；（2）利用余弦定理和基本不等式進行求解.

試題解析：⑴根據(jù)題意知，四邊形內(nèi)接于圓，???NABC+NAOC=180。.

在△ABC中，由余弦定理，WAC2=AB2+BC2-2ABBCcos/.ABC,

即AC2=42+62—2x4x6xcosZABC.

在△AQC中，由余弦定理，得

AC2=AD2+DC2—ZADDCcosZADC,即AC2=42+22—2x4x2xcosNADC.

又cosZABC=—cosZ.ADC,

/.cosZABC=g,AC2=28,即AC=2、j7萬米，

又NA8C￡（0,n）,/.ZABC=-.

5囲邊形ABCD=SbABC+SA（平方萬米）.

⑵由題意知，S四邊形APCD=S>ADC+S^APCf

KSAADC=^/4￡）CDsin^-=2-j3（平方萬米）.

設AP=xfCP=y,則SAAPC=-xys\n^=^lhxy.

911

在ZkAPC中，由余弦定理，得AC2=x2+y2—2wcos+=x2+y2一孫=28,

又x2+y2—xy>2xy—xy=xy,

當且僅當x=y時取等號，:.xyCg.

..S峻/1PC￡>=2、布+業(yè)外，42、幣+魚28=95（平方萬米），

44

故所求面積的最大值為9s平方萬米，此時點P為弧ABC的中點.

20.在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且出竺上讐=￡當

smCa—b

(1)若〃=2石，b=2,求角8;

（2）設Z54C的角平分線A力交BC于點。，若“記C面積為g,求AO長的最大值.

【正確答案】（1）8=2

O

（2）1

【分析】（1）從正弦定理出發(fā)進行角換邊，再利用余弦定理求得角4再利用一次正弦定理

求得角度從

（2）利用角平分線性質(zhì)及面積公式得到厶0=急,再利用基本不等式得出厶“最值?

sinA+sinB_c+b

【詳解】（1）解：因為

sinCa-b

依據(jù)正弦定理號二七二工

sinAsinBsine

所以==兒+。2,

ca-b

即b2+c2-a2=-be,

-he1

由余弦定理變形知cosA=La-----=—

2bc2bc2

因為Ae（O,4,所以厶=4.

因為。=26，b=2,

則在48c中，由正弦定理得：

ab2732.D1

又sinAsinBV3sinB2，

T

因為/?VQ=3VA,所以8=￡.

(2)法一：因為SABC=；bcsinN8AC=曰力。=栃=Z?c=4,

AO是NBAC=?的角平分線，

而SABC~SABD+SACD,

i771TT124

所以一xABxA￡)xsin—+—xACxA￡)xsin—=—xA8xACx——,

232323

即(Z?+d)AT)=秘,

所以陋=魚,

因為6>0,c>0,Z?+c>2\[bc,且人c=4,故==

當且僅當b=c=2取等,

所以AO最大值為1.

答：當力=c=2時，49最大值為1.

法二：因為SMe=—/?csinZBAC=be=6nbe=4,

ABC24

AABD=0,6￡(°，彳｝

在AABD，ACD中由正弦定理知:

AD_cAD_c

sin。sinZADBsin。.f)、①，

smn9+一

I3丿

____A_D____—_____b____<>_____A_D____—_____b_____

.(71sinZADC.(4d.(Z)乃、②，

sinl——<91sinl--6^Isml0+yI-

因為歷=4,所以①?②得，

bcsinJsin(4-0)8sin^sin|---0

2百sin26+2cos2,-2

A》_3_I3

sin-(—+0)1+cosf2^—l+cosf20-yj

令r=l+cos[26-(J,0w(0號

7T

由于2。-彳€

所以心=4-；,易得此函數(shù)在Ul，2為單調(diào)遞增函數(shù),

所以當，=2=6=5時＞A￡＞最大值為1.

6

本題考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解決范圍與最值問題，涉及求余弦定理的值域

或最值，利用單調(diào)性求最值，屬于較難題.

21.jWC的三個內(nèi)角4,B,C的對邊分別為小b,c.①asin-------=6sinA；

2

②(“-6)(sinA+sinB)=sinC(a-c)；?2a-c=2bcosC.

(1)在上述三個條件中任選一個，求B；

(2)在(1)所選定的條件下，若二ABC為銳角三角形，且c=2,求_ABC面積的取值范圍.

【正確答案】(1)條件選擇見解析，B=g；(2)且<s<26.

32

【分析】(1)選①，由誘導公式變形，再由正弦定理化邊為角，然后由二倍角公式變形后可

得B;

選②，由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理得角；

選③，先由余弦定理化角為邊，然后再由余弦定理求得角;

(2)求出三角形面積，由正弦定理化為角的表達式，然后然后由誘導公式，兩角和的正弦

公式，同角關(guān)系式化為C的代數(shù)式，再由C角范圍得結(jié)論.

【詳解】(1)asin+6sinA?sin—~—=i>sinA=>?cos—=bsinA

222

由正弦定理得：2/?sinAcos—=2/?sinBsinA=4/?sin—cos—sinA

222

在三角形中A、8e(0,萬)得sinBwO,cos—^0

2

選②.由正弦定理得：(。-加"上夕=’-(a-c)nd+c2-b2=ac^>cosB=-

2R2R2

在三角形中Be(0,〃)，

/ex.ci~+h~—c-ci~+h~—c2“2,”八1

選③.2a-c=2b---------------=--------------na-+c—-=ac=>cosB=一

2aba2

7T

在三角形中3￡(0,萬)，丄^二^

/八亠十4宀皿。asinA

(2)由正弦定理大=一二=),

2csmC