2.2 切線長(zhǎng)定理（選學(xué)）（分層練習(xí)）（解析版）

第2章直線與圓的位置關(guān)系2.2切線長(zhǎng)定理分層練習(xí)1．（2021上·河南漯河·九年級(jí)漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，、、是的切線，切點(diǎn)分別為、、，若，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理?？傻玫紸P=AC，BP=BD，即可求解．【詳解】解：∵、、是的切線，∴AP=AC，BP=BD，∵，，∴AP=3，∴BD=BP=AB-AP=2．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京·統(tǒng)考一模）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，的周長(zhǎng)為14，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周長(zhǎng)為14，可求BC的長(zhǎng)．【詳解】解：與，，分別相切于點(diǎn)，，，，，的周長(zhǎng)為14，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·福建福州·九年級(jí)福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長(zhǎng)是（）A． B． C．5 D．5【答案】C【分析】先利用切線長(zhǎng)定理得到PA=PB，再利用∠APB=60°可判斷△APB為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△APB為等邊三角形，∴AB=PA=5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形邊長(zhǎng)為，以正方形一邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，過(guò)點(diǎn)A作半圓切線，與半圓相切于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)E，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，設(shè)，則，然后在中，由勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面積．【詳解】解：∵與圓O切于點(diǎn)F，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，∴．故選D．5．（2022上·天津紅橋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、切⊙O于點(diǎn)A、B，，切于點(diǎn)E，交、于C、D兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出，，，求出的周長(zhǎng)是，代入求出即可．【詳解】解：∵、切⊙O于點(diǎn)A、B，切于點(diǎn)E，∴，，，∴的周長(zhǎng)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出的周長(zhǎng)．6．（2023上·北京·九年級(jí)北京八中校考期中）如圖，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過(guò)上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理．利用切線長(zhǎng)定理得出，，，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)等于4，可求得，從而利用勾股定理可求解．【詳解】解：∵，是的切線，切點(diǎn)分別是，，∴，∵、是的切線，切點(diǎn)是D，交，于點(diǎn)，，∴，，∵的周長(zhǎng)為4，即，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，勾股定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·河南濮陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）如圖，切線、分別與相切于點(diǎn)、，切線與相切于點(diǎn)，且分別交、于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)為，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，通過(guò)切線長(zhǎng)定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形的周長(zhǎng)等于是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵都是的切線，∴，同理，，∴的周長(zhǎng)，∴；故答案為：3．8．（2023上·山西呂梁·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)切圓，D，E分別為邊，上的點(diǎn)，且為的切線．若的周長(zhǎng)為32，的周長(zhǎng)為12，則的長(zhǎng)為．

【答案】10【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，，，，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式即可求解，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：

由切線長(zhǎng)定理得：，，，，，，，故答案為：10．9．（2023上·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的切線，切點(diǎn)分別為A，B，，則的值是．【答案】【分析】此題考查切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理，勾股定理，由切線長(zhǎng)定理可知：，利用勾股定理求出，即可得到答案，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知：，∵是的切線，∴，∴，∴．故答案為：．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，、分別切圓于、，并與圓的切線，分別相交于、，已知，則的周長(zhǎng)等于．

【答案】14【分析】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，由于、、都是的切線，可根據(jù)切線長(zhǎng)定理，將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為、的長(zhǎng)，然后再進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)與的切點(diǎn)為；、分別是的切線，且切點(diǎn)為、；；同理，可得：，；則的周長(zhǎng)；故答案為：14．11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，外一點(diǎn)向引兩條切線，與相切于點(diǎn)、，且，線段與相切于點(diǎn)．則的周長(zhǎng)是．

【答案】20【分析】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，正確理解的周長(zhǎng)等于是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長(zhǎng)定理可以得到的周長(zhǎng)等于，據(jù)此即可求解．【詳解】解：，是圓的切線，，同理，，的周長(zhǎng)．故答案為：20．12．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是外的一點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)是劣弧上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)．若，則的周長(zhǎng)為．

【答案】8【分析】由、分別與相切于點(diǎn)、，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，同理得，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義得到的周長(zhǎng)，然后利用等相等代換得到的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵、分別與相切于點(diǎn)、，∵過(guò)點(diǎn)的切線分別交、于點(diǎn)、，∴的周長(zhǎng)故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．13．（2022上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓O是邊長(zhǎng)為6的正方形的內(nèi)切圓，切圓O于P點(diǎn)，交、于點(diǎn)E，F(xiàn)，求的周長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)O分別作于M，于N，證是正方形，求出正方形邊長(zhǎng)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可．【詳解】解：過(guò)O分別作于M，于N，，，是正方形，由題意可知：，圓O是的正方形的內(nèi)切圓，切圓O于P點(diǎn)，，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的內(nèi)切圓即切線長(zhǎng)定理；熟練運(yùn)用切線長(zhǎng)定理將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．14．（2022·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）已知是直徑，，分別切于點(diǎn)，．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)64°(2)63°【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=∠PBO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACO=58°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）連接OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，證明PB是OD的垂直平分線，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】（1）解∶如圖，連接OC，∵PC，PB分別切OO于點(diǎn)C，B，AB是直徑，∴∠PCO=∠PBO=90°，∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=58°，∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；（2）解：如圖，連接OP，∵PC，PB分別切OO于點(diǎn)C，B，AB是直徑，∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，∵BD=OB，∴PB是OD的垂直平分線，∴PO=PD，∴∠OPB=∠DPB，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，∵∠DPC=81°，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，∴∠D=90°-27°=63°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)，并且．(1)求證：直線是的切線；(2)過(guò)點(diǎn)作的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，如圖，由于，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：證明：連接，如圖，，，，直線是的切線．（2）如圖，∵，為切點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30度的直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到．16．（2022上·北京西城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，與相切于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)D，交于點(diǎn)，，是的直徑．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)，時(shí)，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出，進(jìn)而證得，得到，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)，即可求出答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴，

∴，∵與相切，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的切線，與相切，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即的半徑長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022·福建·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)B在⊙O上，且PA=PB．(1)求證：PB與⊙O相切；(2)點(diǎn)Q在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，N．若PA=6，則△PMN的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)12【分析】（1）連接OB，證明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，則可得出結(jié)論；（2）由切線長(zhǎng)定理可得出答案．【詳解】（1）證明：連接OB，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，在△APO和△BPO中，，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB與⊙O相切；（2）解：∵PA，PB是⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線，PA=6，∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，∴△PMN的周長(zhǎng)=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022下·北京·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，Rt中，，為上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓恰好與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的半徑及的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為1.5，【分析】（1）連接DE，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，從而得到∠BAO=∠BAD，從而得到∠BAO==∠F，即可求證；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，設(shè)的半徑為x，則OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半徑為1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接DE，∵，∴AB與相切，∵AD與相切，∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，∴∠BAO=∠BAD，∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，∴∠BAO==∠F；（2）解：∵AB與相切，AD與相切，∴AB=AD=3，∵CD=2，∴AC=5，∴BC=4，設(shè)的半徑為x，則OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=1.5，∴的半徑為1.5，即OB=1.5，∵DF為直徑，DF=3，∴∠DEF=90°，∵，∴，∴EF=2DE，在中，由勾股定理得：，∴，解得：或（舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，切于點(diǎn)，，，切于點(diǎn)，交，于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．20 B．36 C．40 D．44【答案】C【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，，再求周長(zhǎng)即可得結(jié)論．【詳解】解：、切于點(diǎn)、，，切于點(diǎn)，交、于、兩點(diǎn)，，，．則的周長(zhǎng)是40．故選：C．2．（2022下·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，、是的切線，切點(diǎn)分別為A、B，若，，則的長(zhǎng)為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)切線長(zhǎng)定理求得，利用正切函數(shù)求得，再求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式解答即可．【詳解】解：連接，

∵、是的切線，切點(diǎn)分別為、，∴，∵，∴，，∵，∴，∴的長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理、正切函數(shù)、四邊形的內(nèi)角和定理和弧長(zhǎng)公式，屬于基本題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2022上·天津西青·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，若與的三邊分別相切于點(diǎn)，，，且的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，，，再證明是等邊三角形即可作答，【詳解】∵內(nèi)切于，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∵的周長(zhǎng)為32，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線長(zhǎng)定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022上·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，切于A，兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，交、于、，若的周長(zhǎng)等于，則線段的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，切于A，兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，∴，，∵的周長(zhǎng)等于，∴，即，∴，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了切線長(zhǎng)定理，從圓外一點(diǎn)出發(fā)的圓的兩條切線長(zhǎng)相等，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·北京海淀·九年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過(guò)上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，勾股定理；利用切線長(zhǎng)定理得出，，，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)等于4，可求得，從而利用勾股定理可求解．【詳解】解：∵，是的切線，切點(diǎn)分別是，，∴，∵、是的切線，切點(diǎn)是D，交，于點(diǎn)，，∴，，∵的周長(zhǎng)為4，即，∴，∵，∴，故選：B．6．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，的半徑為是上一動(dòng)點(diǎn)，分別切于點(diǎn)的另一條切線交于點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線性質(zhì)、勾股定理求得，根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，最小，求出最小值為，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B（或C）重合時(shí)，AD最長(zhǎng)，此時(shí)，即可得出，從而可求得l最大與是最小值，即可得出答案．【詳解】解：連接，，設(shè)切于G，

∵，分別是的切線，∴，∵是的切線，∴，，∴，∴周長(zhǎng)，∵是的切線，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，l最小，當(dāng)最大時(shí)，l最大；根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，最小，∵是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，∴，由勾股定理得：，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B（或C）重合時(shí)，AD最長(zhǎng)，此時(shí)，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短．根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線性質(zhì)、勾股定理求得，以及當(dāng)時(shí)，最小，點(diǎn)D與點(diǎn)B（或C）重合時(shí)，AD最長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．7．（2021上·北京·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，是的切線，，，為切點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】此題考查切線長(zhǎng)定理，由與相切于點(diǎn)、與相切于點(diǎn)，可得，同理得，再由求得結(jié)果．熟練運(yùn)用切線長(zhǎng)定理解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：與相切于點(diǎn)、與相切于點(diǎn)，，，，與相切于點(diǎn)、與相切于點(diǎn)，，的長(zhǎng)為3，故答案為：3．8．（2023上·北京東城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，是的切線，切點(diǎn)分別為A，B．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)，是的切線，得出，進(jìn)而得出，即可求證為等邊三角形，即可解答．【詳解】解：∵，是的切線，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，故答案為：3．9．（2023上·吉林白城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，分別切于A，B兩點(diǎn)，為直徑，，若，則的周長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，由切線的性質(zhì)得出，由切線長(zhǎng)定理得出，判斷出是等邊三角形，從而得出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵是切線，∴．∵為直徑，∴，∴，∵∴∴是等邊三角形，∴的周長(zhǎng)．故答案為：6．10．（2023上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形的各邊都與相切，若，則四邊形的周長(zhǎng)為．

【答案】24【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，關(guān)鍵是由切線長(zhǎng)定理推出AB+CD=AD+BC．由切線長(zhǎng)定理推出，，，，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】如圖，，，，是切點(diǎn)

四邊形各邊與相切，，，四邊形的周長(zhǎng)為故答案為：24．11．（2023上·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與、、、分別相切于點(diǎn)、、，且，，，則圖中由線段、及組成的陰影部分的面積是．

【答案】/【分析】本題考查了求扇形面積，正方形的性質(zhì)與判定，切線長(zhǎng)定理，先得出是直角三角形，進(jìn)而證明四邊形是正方形，根據(jù)陰影部分面積等于正方形的面積減去個(gè)圓的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴∴，∵的內(nèi)切圓與、、、分別相切于點(diǎn)、、，∴∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，則，如圖所示，連接，，，

∴∵，∴，∴，故答案為：．12．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A是外一點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)B，C．P是上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．，則的周長(zhǎng)是，若，則．【答案】/110度【分析】本題考查切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，先利用勾股定理可計(jì)算出的長(zhǎng)，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到得到的周長(zhǎng)，由四邊形的內(nèi)角和得到的度數(shù)，然后利用圓周角定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，,∵分別與切于點(diǎn)B，C，∴，，，在中，，∵與相切于P，∴，∴的周長(zhǎng)．∵，，∴，∴，∴優(yōu)弧的度數(shù)為，∴，故答案為：，．13．（2023上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知：四邊形是的外切四邊形，，，，分別是切點(diǎn)，求證：．

【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，，，，問(wèn)題隨之得解．【詳解】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，，，，∴，，∴，，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出，，，，是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023上·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是不倒翁的正視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿、分別相切于點(diǎn)、，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，求的度數(shù)．

【答案】【分析】由切線長(zhǎng)定理可得，進(jìn)而有，因此要得到的度數(shù)只需得到或的度數(shù)；由切線的性質(zhì)可得，已知，根據(jù)即可得到的度數(shù)；接下來(lái)，在中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可完成解答．【詳解】解：切于點(diǎn)，是半徑，，．，．、分別切于點(diǎn)、，，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．15．（2023下·福建福州·九年級(jí)福建省福州第八中學(xué)?？计谥校┰谡叫沃?，是邊上的點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：在圖中求作，使得與、均相切；保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法(2)在（1）的條件下，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作的平分線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理及等邊對(duì)等角求解．【詳解】（1）解：如圖：即為所求；

（2）在正方形中，平分，，與、均相切，，．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握角平分線的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，，分別與相切于，兩點(diǎn)，是的直徑．

(1)求證：(2)連接交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)可得，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，可得，，得到，從而得證；（2）根據(jù)余弦，正弦的定義及勾股定理可得，從而有，，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)．∵、為的切線，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴．

（2）解：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題考