第16講 相似三角形單元分類總復(fù)習(xí) (原卷版)

第16講相似三角形單元分類總復(fù)習(xí)考點(diǎn)一比例線段【知識(shí)點(diǎn)睛】比例的基本概念中，a、b、c、d成比例（或）；其中要特別注意：需要看清楚是數(shù)字之間的成比例，還是線段成比例，數(shù)字可以為負(fù)數(shù)，線段只能是正數(shù)；比例線段是有順序的，線段a、b、c、d成比例，只能得到在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位比例的基本性質(zhì)：；比例中項(xiàng)：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例當(dāng)題目中有若干個(gè)比例相等的條件是時(shí)，一般采用“設(shè)k法”解題；如：已知，則設(shè)，故有【類題訓(xùn)練】1．已知（b≠﹣3），則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B． C．2a＝3b D．2．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，3．如圖，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的長(zhǎng)為（）A．9 B．12 C．15 D．184．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．5．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC分別與直線l1，l2，l3，交于A、B、C三點(diǎn)，直線DF分別與直線l1，l2，l3交于D、E、F三點(diǎn)，AC與DF交于點(diǎn)O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．則OF的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知，若b+d+f＝15，則a+c+e＝．7．已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項(xiàng)，則c＝cm．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E，若E為AC中點(diǎn)，則＝．9．如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）?10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，則的值．11．如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F．若AD＝3AF，則＝．12．如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)睛】相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；相似三角形的對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線之比=相似比相似三角形的周長(zhǎng)之比=相似比；面積之比=相似比的平方【類題訓(xùn)練】1．兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4，較小的三角形的周長(zhǎng)為4，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．16 B．8 C．2 D．12．若兩個(gè)相似三角形的面積比是1：9，則它們對(duì)應(yīng)邊的中線之比為（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：813．如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°4．如圖所示，若△DAC∽△ABC，則需滿足（）A．CD2＝AD?DB B．AC2＝BC?CD C． D．5．如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC＝，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．如圖，將等邊三角形ABC沿AC邊上的高線BD平移到△EFG，陰影部分面積記為S，若，S△ABC＝16，則S＝．8．如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范圍是．9．如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)E在AB上且AE＝3，點(diǎn)F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF＝．10．在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1邊長(zhǎng)的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6），點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．12．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長(zhǎng)．考點(diǎn)三相似三角形的判定與基本模型【知識(shí)點(diǎn)睛】相似三角形的判定：預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)需要寫在對(duì)應(yīng)的位置，當(dāng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊不明確時(shí)，常常需要分類討論基本模型1.平行線型——A字圖、8字圖：常見的有如下兩種，當(dāng)CD∥AB時(shí)，則有△OCD∽△OAB2.斜線型——如圖，當(dāng)∠1=∠A時(shí)，則有△OCD∽△OAB3.一線三等角型——如圖，當(dāng)∠B=∠ADE=∠C時(shí)，則有△ABD∽△DCE4.旋轉(zhuǎn)型——如圖，當(dāng)∠1=∠2，且OD：OA=OC：OB（或∠D=∠A）時(shí)，則有△OCD∽△OBA【類題訓(xùn)練】1．如圖，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則在網(wǎng)格圖中的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．4．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊AB上，則在下列四個(gè)條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能滿足△APC與△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③6．如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，1），（1，5），（5，1），（7，1）、以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（）A．（5，3） B．（7，3） C．（6，0） D．（7，0）7．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，PE，過點(diǎn)P作PQ⊥AE于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQE∽△EDA時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C． D．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，已知S△AEF＝3，則下列結(jié)論：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正確的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②9．如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)問經(jīng)過秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似．10．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AD上，過點(diǎn)Q作QE⊥AP于點(diǎn)E，連接PQ，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}：?（1）AP＝；（2）當(dāng)△QEP∽△ABP時(shí)，PQ＝．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長(zhǎng)為3的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，△CDE與△ACE相似．12．如圖，等腰△OAB中，OA＝OB＝6，cosA＝，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫圓分別交OA，OB于點(diǎn)C，D，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APC與△BPD相似時(shí)，線段AP的長(zhǎng)是．13．如圖，已知AD?AC＝AB?AE，∠DAE＝∠BAC．求證：△DAB∽△EAC．14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)．沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求線段CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ與△ABC相似？16．如圖，在△PAB中，C、D為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC＝PD．（1）若PC＝CD，∠APB＝120°，則△APC與△PBD相似嗎？為什么？（2）若PC⊥AB（即C、D重合），則∠APB＝90°時(shí)，△APC∽△PBD；（3）當(dāng)∠CPD和∠APB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△APC∽△PBD？請(qǐng)說明理由．17．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：PE?PF＝PC2．（2）如圖2，連接AC交BD于O，連接OE，若CE⊥BC，求證：△POC∽△AEC．考點(diǎn)四相似三角形的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)睛】當(dāng)物體的高度和寬度不能直接測(cè)量時(shí)，一般思路是先根據(jù)題意建立相關(guān)的相似三角形模型，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及比例關(guān)系等列式求解【類題訓(xùn)練】1．如圖是小孔成像原理的示意圖，這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長(zhǎng)是1cm，則像CD到小孔O的距離為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m3．如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．如圖，要測(cè)量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點(diǎn)B處豎立一根長(zhǎng)為5.5m的直桿AB，恰好使得觀測(cè)點(diǎn)E、直桿頂點(diǎn)A和高樓頂點(diǎn)N在同一條直線上，若DB＝5m，DE＝1.5m，則樓高M(jìn)N是（）A．13.5m B．16.5m C．17.5m D．22m5．如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC，且EH＝2EF，則這個(gè)矩形零件的長(zhǎng)為（）A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm6．在一次實(shí)驗(yàn)操作中，如圖①是一個(gè)長(zhǎng)和寬均為3，高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6；現(xiàn)將圖①容器向右傾倒，按圖②放置，發(fā)現(xiàn)此時(shí)水面恰好觸到容器口邊緣，則圖②中水面高度為（）A． B． C． D．7．三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成的影子如圖所示，若OA＝25cm，AA′＝50cm，則這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子的周長(zhǎng)的比是．8．如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上撬起，石頭就被撬動(dòng)了．在圖②中，杠桿的D端被向上撬起的距離BD＝9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA＝3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），要把這塊石頭撬起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓cm．?9．如圖，在某一時(shí)刻測(cè)得1米長(zhǎng)的竹竿豎直放置時(shí)影長(zhǎng)1.5米，在同一時(shí)刻旗桿AB的影長(zhǎng)不全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測(cè)得落在地面上影長(zhǎng)為BD＝12米，留在墻上的影長(zhǎng)CD＝2米，則旗桿的高度為米．10．甲、乙兩幢完全一樣的房子如圖1，小聰與弟弟住在甲幢，為測(cè)量對(duì)面的乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離，制定如下方案：兩幢房子截面圖如圖2，AB＝12m，小聰在離屋檐A處3m的點(diǎn)G處水平放置平面鏡（平面鏡的大小忽略不計(jì)），弟弟在離點(diǎn)G水平距離3m的點(diǎn)H處恰好在鏡子中看到乙幢屋頂N，此時(shí)測(cè)得弟弟眼睛與鏡面的豎直距離IH＝0.6m．下樓后，弟弟直立站在DE處，測(cè)得地面點(diǎn)F與E，M，N在一條直線上，DE＝1.2m，F(xiàn)D＝2m，BF＝5m，則甲、乙兩幢間距BC＝m，乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離為m．11．圖1是一款自動(dòng)關(guān)門器，其示意圖如圖2所示．固定鐵架的寬AB＝20cm，支點(diǎn)P，Q分別固定在墻面和鐵門上，AP⊥AB，AP＝20cm，搖臂OP＝20cm，連桿OQ＝25cm，點(diǎn)A、B、O、p、Q在同一平面內(nèi)．關(guān)門器工作時(shí)，點(diǎn)C繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，搖臂OP與連桿OQ長(zhǎng)度均固定不變．當(dāng)鐵門完全關(guān)閉時(shí)（如圖3），點(diǎn)A、B、Q在同一直線上，OP⊥AP．在開門的過程中，當(dāng)端點(diǎn)C落在墻面AP上或連桿OQ落在BC上，都無法將門進(jìn)一步打開，稱此時(shí)為開門的極限狀態(tài)．（1）BQ＝cm．（2）為使在開門的極限狀態(tài)下，連桿OQ落在BC上，則門寬BC的最大值為cm．12．圖1是一折疊桌，桌板DEIJ固定墻上，支架AD，HE繞點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)時(shí)，AD∥HE，桌板邊緣AH∥BG∥CF∥DE，桌腳AN⊥AH，桌子放平得圖2．圖3是打開過程中側(cè)面視圖，當(dāng)點(diǎn)N在直線CF上時(shí)，點(diǎn)N到墻OE的距離為69cm．視圖中以C，K為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方形表示一圓柱體花瓶，桌子打開至點(diǎn)M，C，F(xiàn)在同一直線時(shí)，桌板邊緣GL恰卡在點(diǎn)K，為不影響桌板BG收放，則至少將花瓶沿CF方向平移cm．13．疫情期間，小紅在家里在圖1所示的平板支架上網(wǎng)課，圖2是她觀看網(wǎng)課的側(cè)面示意圖，已知平板寬度AB＝20cm，支架底板寬度CD＝AB，支撐角∠ABC＝60°，支撐板CE＝BE＝6cm，小紅坐在距離支架底板20cm處觀看（即DF＝20cm），Q點(diǎn)是AB中點(diǎn)．當(dāng)視線PQ與屏幕AB垂直時(shí)，小紅的眼睛距離桌面的高度PF等于18cm；當(dāng)落在屏幕中點(diǎn)的視線與屏幕構(gòu)成的夾角（指銳角或直角）不小于75°時(shí)，能使觀看平板視頻的效果最佳，為保證最佳的觀看效果，小紅眼睛距離桌面的最大高度和最小高度的差等于cm．14．有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE的長(zhǎng)為ycm、EF的長(zhǎng)為xcm．（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x取多少時(shí)，EFGH是正方形．15．為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長(zhǎng)度．16．甲乙兩位同學(xué)利用燈光下的影子來測(cè)量一路燈A的高度，如圖，當(dāng)甲走到點(diǎn)C處時(shí)，乙測(cè)得甲直立身高CD與其影子長(zhǎng)CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)E處時(shí)，甲直立身高EF的影子恰好是線段EG，并測(cè)得EG＝2.5m．已知甲直立時(shí)的身高為1.75m，求路燈的高AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m）17．某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：項(xiàng)目主題：測(cè)量旗桿高度問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些科學(xué)原理來測(cè)量旗桿的高度？組內(nèi)探究：由于旗桿較高，需要借助一些工具來測(cè)量，比如自制的直角三角形硬紙板，標(biāo)桿，鏡子，甚至還可以利用無人機(jī)…確定方法后，先