第17講 相似三角形常見模型之平行相似 (解析版)

第17講相似三角形常見模型之平行相似【知識點睛】A字圖及其變型“斜A型”當DE∥BC當DE∥BC時△ADE∽△ABC性質：當∠ADE=∠ACB時△ADE∽△ACB性質：變型☆：斜A型在圓中的應用：如圖可得：△PAB∽△PCD☆：“A字圖”最值應用A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當MN為△ABC中位線，☆：“A字圖”最值應用A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當MN為△ABC中位線，矩形面積達到最大值！當∠A=∠C當∠A=∠C時△AJB∽△CJD性質：當AB∥CD時△AOB∽△DOC性質：變型☆：“蝴蝶型”常見應用☆：“蝴蝶型”常見應用常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關此時注意“同弧所對圓周角相等”的應用出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”☆☆：A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此兩種模型常見“∥”的引入方式：直接給出平行的已知條件平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行由很多中點構造的“中位線”的平行根據(jù)線段成比例的條件或結論自己構造平行輔助線【類題訓練】1．已知，在?ABCD中，E是BC邊上的點，AE與BD相交于點F．若BE：EC＝3：2，則△ABF的面積與△ADF的面積之比為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得AD∥BC，AD＝BC，從而結合已知可得＝，然后再證明8字模型相似三角形△AFD∽△EFB，從而利用相似三角形的性質可得＝＝，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE：EC＝3：2，∴＝，∴＝，∴∠ADF＝∠DBE，∠DAF＝∠AEB，∴△AFD∽△EFB，∴＝＝，∴△ABF的面積與△ADF的面積之比＝BF：DF＝3：5，故選：C．2．如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若內接矩形DEFG鄰邊DG：GF＝1：2，則△GFC與四邊形ABFG的面積比為（）A． B． C． D．【分析】利用A字模型相似三角形，證明△CGF∽△CAB，利用相似三角形的性質求出FG的長，再求出△CGF與△CAB面積比即可解答．【解答】解：∵DG：GF＝1：2，∴設DG＝x，F(xiàn)G＝2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴FG∥DE，∴∠CGF＝∠A．∠CFG＝∠B，∴△CGF∽△CAB，∵CH⊥AB，F(xiàn)G∥DE，∴CH⊥FG，∴＝，∴＝，∴x＝2.5，經檢驗，x＝2.5是原方程的根，∴FG＝5，∴＝（）2＝，∴△GFC與四邊形ABFG的面積比為＝1：3，故選：A．3．如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結HF交DE于點M．若，則的值為（）A． B． C． D．【分析】延長CB，DE，交于點N，設AH＝1，AE＝2，依據(jù)△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根據(jù)△DHM∽△NFM，即可得到的值．【解答】解：如圖所示，延長CB，DE，交于點N，設AH＝1，AE＝2，∵正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，∴BE＝1，DH＝BF＝2，∵AD∥BN，∴△ADE∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝1.5，∵DH∥NF，∴△DHM∽△NFM，∴＝＝＝，故選：C．4．如圖來自清朝數(shù)學家梅文鼎的《勾股舉隅》，該圖由四個全等的直角三角形圍成，延長BC分別交AG，HG于點M，N，梅文鼎就是利用這幅圖證明了勾股定理．若圖中記△MNG的面積為S，△GDF的面積為9S，則陰影部分的面積為（）A．20S B．21S C．22S D．24S【分析】設AH＝a，MG＝x，則AC＝HN＝a，證明△MNG∽△AHG，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得＝＝＝，所以MN＝a，NG＝a，AG＝3x，根據(jù)△MNG的面積為S，表示a2＝12S，由勾股定理列等式表示x2＝a2，最后根據(jù)面積差可得結論．【解答】解：設AH＝a，MG＝x，則AC＝HN＝a，∵該圖由四個全等的直角三角形圍成，∴S△ACB＝S△DFG＝S△BED＝S△AGH＝9S，∵MN∥AH，∴△MNG∽△AHG，∴＝＝，∴＝＝＝，∴MN＝a，NG＝a，AG＝3x，∵△MNG的面積為S，∴?a?a＝S，∴a2＝12S，由勾股定理得：MG2＝MN2+NG2，∴x2＝（a）2+（a）2，∴x2＝a2，∴陰影部分的面積＝（3x）2﹣2×9S＝9x2﹣18S＝9×a2﹣18S＝×12S﹣18S＝21S．故選：B．5．如圖，在?ABCD中，AB＝9，AD＝8，E為AD延長線上一點，且DE＝4，連接BE交CD于點F，則CF＝6．【分析】由平行四邊形的性質得出BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，證明△BCF∽△EDF，由相似三角形的性質得出＝，則可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，∵BC∥DE，∴△BCF∽△EDF，∴＝，設CF＝x，則DF＝9﹣x，∴＝，∴x＝6，∴CF＝6．故答案為：6．6．如圖，將△ABC沿射線AC方向平移一定的距離，平移后的三角形記為△A′B′C′，邊A′B′剛好經過邊BC的中點D，已知△ABC的面積為16，則陰影部分△A′DC的面積為（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】根據(jù)線段的中點定義可得CD＝BC，再根據(jù)平移的性質可得：AB∥A′B′，從而可得∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，進而可得△ABC∽△A′DC，然后利用相似三角形的性質，進行計算即可解答．【解答】解：∵點D是BC的中點，∴CD＝BC，由平移得：AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，∴△ABC∽△A′DC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面積為16，∴△A′DC的面積＝△ABC的面積＝4，故選：D．7．如圖，已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】根據(jù)題意可得AD：AB＝1：4，再證明△ADE∽△ABC，得，即BC＝4DE，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得C到DE的距離為等于點D到BC的距離，以此即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC＝4DE，設點C到DE的距離為h1，點D到BC的距離為h2，∵DE∥BC，∴h1＝h2，∴，即S△DEC：S△DBC＝1：4．故選：D．8．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線于點E，則下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行四邊形的性質先說明對邊平行，再利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質得結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥AB，ED∥BC．∵DF∥AB，∴＝，＝，△EDF∽△EAB．∴＝．故選項A、B、D正確；∵ED∥BC，∴△EDF∽△BCF．∴＝≠．故選項C錯誤．故選：C．9．如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)G∥DE，若BC+FG＝15，則DE的長為6．【分析】首先利用三角形中位線定理推出DE平行且等于BC，再根據(jù)“A”字模型證明三角形相似，進而得到FG＝BC，然后利用BC+FG＝15，求出BC的長，進而求解．【解答】解：∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∵FG∥DE，∴FG∥DE∥BC，∴△AFG∽△ABC，又∵F是AD的中點，D是AB的中點，∴，∴FG＝BC，∵BC+FG＝15，∴BC+BC＝15，∴BC＝12，∴DE＝×12＝6．故答案為：6．10．如圖所示的網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形組成，△ABC和△DEF的頂點均在格點上，BC、EF交于點G，BC、DF交于點H．（1）請寫出圖中與△CFG相似的三角形：△FHG（2）GB的長是．【分析】（1）易通過SAS證明△ABC≌△DEF，得到∠CGF＝∠FGH，以此即可得到答案；（2）由圖易得FH＝1，BE＝2，BH＝＝，易證△FGH∽△EGB，利用相似三角形的性質可得，進而得到BG＝BH，即可求解．【解答】解：（1）∵圖中的網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形組成，∴AB＝DE＝2，AC＝DF＝4，∠BAC＝∠EDF＝90°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，即∠FCG＝∠HFG，∵∠CGF＝∠FGH，∴△CFG∽△FHG；故答案為：△FHG；（2）由圖可知，F(xiàn)H＝1，BE＝2，BH＝＝，∵FH∥BE，∴△FGH∽△EGB，∴，即，∴BG＝BH＝．故答案為：．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于點E，DM⊥AN于點M，CN⊥AN于點N，G為MN的中點，GH⊥MN交CD于點H，且DM＝m，GH＝n．?（1）∠DCN＝45°．（2）線段CN的長為2n+m．（用含m，n的代數(shù)式表示）【分析】（1）由角平分線的定義可得∠DAN＝∠BAN＝＝45°，由平行線的性質可得∠CEN＝∠BAN＝45°，再根據(jù)三角形內角和定理即可求解；（2）連接DG并延長交CN于點F，由線段中點定義得MG＝NG，根據(jù)在平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行可知，DM∥GH∥CN，于是易得△GDM∽△GFN，利用相似三角形的性質求得FN＝DM＝m，GD＝GF，由GH∥CN可知GH為△CDF的中位線，得到CF＝2GH＝2n，則CN＝CF+FN．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，∵AN平分∠DAB，∴∠DAN＝∠BAN＝＝45°，∵AB∥CD，∴∠CEN＝∠BAN＝45°，∵CN⊥AN，∴∠N＝90°，∴∠DCN＝90°﹣∠CEN＝90°﹣45°＝45°；故答案為：45°；（2）如圖，連接DG并延長交CN于點F，∵G為MN的中點，∴MG＝NG，∵DM⊥AN，GH⊥AN，CN⊥AN，∴DM∥GH∥CN，∴△GDM∽△GFN，∴＝1，∴FN＝DM＝m，GD＝GF，∵GH∥CN，∴GH為△CDF的中位線，∴CF＝2GH＝2n，∴CN＝CF+FN＝2n+m．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在BC邊上．連結AD，將△ABD沿直線AD翻折，點B落在點E處，AE交BC邊于點F．已知AC＝3，BC＝4，若△DEF為直角三角形，則△DEF的面積為或．【分析】當∠EDF＝90°時，延長ED，交AB于點G．由翻折可得，∠EAD＝∠BAD，∠B＝∠D，BD＝DE，由于∠E+∠DAE＝∠ADG，∠B+∠BAD＝ADC，可得∠ADG＝∠ADC，進而可得△ACD為等腰直角三角形，則AC＝CD＝3，BD＝DE＝BC﹣CD＝1，設DF＝x，則CF＝3﹣x，利用△ACF∽△EDF可建立方程，求出x的值，進而可求出答案；當∠DFE＝90°時，可得AB＝AE＝＝5，EF＝2，設DF＝x，則DE＝DB＝4﹣x，由勾股定理可得（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，利用三角形的面積公式可得出答案．【解答】解：當∠EDF＝90°時，延長ED，交AB于點G．由翻折可得，∠EAD＝∠BAD，∠B＝∠D，BD＝DE，∵∠E+∠DAE＝∠ADG，∠B+∠BAD＝ADC，∴∠ADG＝∠ADC，∵△DEF為直角三角形，即∠EDF＝90°，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠ADC＝45°，∴△ACD為等腰直角三角形，則AC＝CD＝3，BD＝DE＝BC﹣CD＝1，設DF＝x，則CF＝3﹣x，∵∠C＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，解得x＝，經檢驗，x＝是原方程的解，∴＝．當∠DFE＝90°時，如圖，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝AE＝＝5，∴EF＝2，設DF＝x，則DE＝DB＝4﹣x，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴S△DEF＝＝＝．故答案為：或．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，點E，F(xiàn)在BC上，點G是射線DC與射線AF的交點，若BE＝1，∠EAF＝45°，則AG的長為．【分析】過點E作EH⊥AE，交AG于點H，過點H作HM⊥BC，垂足為M，可得∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，從而可得AE＝EH，再利用矩形的性質可得BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，從而證明△ABE≌△EMH，進而可得AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，然后再證明A字模型相似三角形△ABF∽△HMF，利用相似三角形的性質可求出MF的長，從而求出BF的長，進而利用勾股定理求出AF的長，最后證明8字模型相似三角形△ABF∽△GCF，利用相似三角形的性質可求出FG的長，進行計算即可解答．【解答】解：過點E作EH⊥AE，交AG于點H，過點H作HM⊥BC，垂足為M，∴∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，∴∠AEB+∠HEM＝90°，∠FCG＝180°﹣∠BCD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠AHE＝90°﹣∠EAH＝45°，∴AE＝EH，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠HEM，∵∠B＝∠HME＝90°，∴△ABE≌△EMH（AAS），∴AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，∵∠B＝∠HMF＝90°，∠AFB＝∠HFM，∴△ABF∽△HMF，∴＝，∴＝，∴FM＝3，∴BF＝BE+EM+FM＝6，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2，∴AF＝＝＝2，∵∠B＝∠FCG＝90°，∠AFB＝∠CFG，∴△ABF∽△GCF，∴＝，∴＝，∴FG＝，∴AG＝AF+FG＝，故答案為：．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F，若⊙O的半徑為4，AD＝3，則CF的長是．【分析】作輔助線，連接OE，利用切線可知OE⊥AC，從而OE∥BF，得到△DBF是等腰三角形；再次利用三角形相似，求BC的長，進而計算CF即可．【解答】解：連接OE，∵AC與⊙O相切，∴OE⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠DEO＝∠F，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠ODE＝∠F，∴BD＝BF，∵BD＝2OD，OD＝4，∴BF＝2OD＝8，∵OE∥BF，∴△AOE∽△ABC，∴，∵AD＝3，OD＝4，∴AB＝11，OA＝7，∴，∴，∴CF＝BF﹣BC＝8﹣＝．故答案為：．15．研究任務畫出平分直角三角形面積的一條直線研究成果中線法分割法等積法BD是AC邊上的中線若，則DE∥BF成果應用如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直線EF平分△ABC的面積．①若EF⊥AC，，則AC的值為；②若BE＝CF，AE＝EF，則AC的值為．【分析】①如圖1，連接BF，設AC＝b，B利用勾股定理得BC＝，由三角形面積公式可得S△ABC＝AB?BC＝2，由研究成果分割法得：若＝n，則＝，根據(jù)＝2，可求得n＝2，再利用勾股定理即可求得答案；②如圖2，設D是AC的中點，連接DE、BD、BF，過點E作EG⊥AC于點G，由研究成果等積法得：點D是AC的中點，DE∥BF，得出：＝，AD＝AC，設＝n，根據(jù)研究成果分割法可求得AC＝AF+CF＝，再由cosA＝＝，即可求得答案．【解答】解：①如圖1，連接BF，設AC＝b，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，∴BC＝＝＝，∴S△ABC＝AB?BC＝×4×＝2，由研究成果分割法得：若＝n，則＝，∵＝2，∴＝2，解得：n＝3，∴＝3，∵AB＝4，∴AE＝3，BE＝1，∵AF+CF＝b，＝2，∴AF＝b，CF＝b，∵S△AEF＝S△ABC，∴AF?EF＝×AB?BC，即×b×EF＝××4×，∴EF＝，在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，∴（b）2+（）2＝32，且b＞0，解得：b＝3，故答案為：3；②如圖2，設D是AC的中點，連接DE、BD、BF，過點E作EG⊥AC于點G，由研究成果等積法得：點D是AC的中點，DE∥BF，∴＝，AD＝AC，設＝n，則＝＝＝n，根據(jù)研究成果分割法得：若＝n，則＝，∴AE＝n?BE，∵AE+BE＝AB＝4，∴（n+1）BE＝4，∴BE＝，AE＝，又∵BE＝CF，∴CF＝，∴AF＝CF＝×＝，∴AC＝AF+CF＝+＝，∵AE＝EF，EG⊥AF，∴AG＝AF＝×＝，∵cosA＝＝，∴AG?AC＝AB?AE，即×＝4×，∵n＞0，∴n＝2，∴AC＝＝＝，故答案為：．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分線．（1）求證：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的長．【分析】（1）首先根據(jù)等腰三角形的性質得∠ABC＝∠C，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC＝∠DBC，于是可得出∠C＝∠DBC，據(jù)此可得出結論；（2）設DP＝x，則AD＝CP＝1+x，然后由（1）的結論得AP：DP＝PC：BP，據(jù)此可得出x2+x﹣1＝0，然后解方程求出x即可．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BC是∠ABD的平分線，∴∠ABC＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC，又∠APC＝∠DPB，∴△APC∽△DPB．（2）解：設DP＝x，∵AP＝PB＝1，∴AD＝AP+DP＝1+x，又AD＝CP，∴CP＝1+x，由（1）得：△APC∽△DPB，∴AP：DP＝PC：BP，即：1：x＝（x+1）：1，∴x2+x＝1，∴x2+x﹣1＝0，解得：，（不合題意，舍去）．∴．17．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在線段BD，AC上，連結AD，EF交于點G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根據(jù)題意不難證明△ABC∽△EFC；（2）過點F作FH∥BC，交AD于點H，）根據(jù)等腰三角形的性質可得BD＝CD，則DE＝，易證明△AHF∽△ADC，則，易證明△HFG∽△DEG，則，將DE＝，代入即可求解．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵點D是BC的中點，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）過點F作FH∥BC，交AD于點H，∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點D是BC的中點，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．18．以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D均在格點上．（1）在圖①中，的值為1：3；（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點P，使AP＝3；②如圖③，在BD上找一點P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如圖①中，利用平行線的性質求解即可．（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長為5，再根據(jù)相似三角形的判定方法即可找到點P；②作點A的對稱點A′，連接A′C與BD的交點即為要找的點P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）如圖①中，∵AB∥CD，∴△PCD∽△PBA．∴＝＝，故答案為：1：3；（2）①取格點E，F(xiàn)，連接EF交AB于點P，點P即為所求的點．由勾股定理知：AB＝＝5．∵AP＝3，∴BP＝2．∵BE∥FA，∴△EPB∽△FPA．∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．∴取格點E，F(xiàn)，連接EF交AB于點P，點P即為所求的點；②如圖③所示，作點A的對稱點A′，連接A′C，交BD于點P，點P即為所要找的點，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．19．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是線段AB和AB的延長線上的一點，且BF＝BE，連接CE，DF交于點G，連接BG．設＝k（k＞0）．（1）當k＝1時，求CE的長；（2）在（1）的條件下，求BG的長；（3）求△DCG的面積（用含k的代數(shù)式表示）．【分析】（1）連接AC，根據(jù)題意和菱形的性質可得△ABC為等邊三角形，AE＝EB＝AB＝1，在Rt△BCE中，CE＝BC?sin∠CBE；（2）根據(jù)理性的性質得AB∥CD，進而得∠DCG＝∠FEG，∠CDG＝∠EFG，由AE＝EB＝BF可得EF＝CD，以此可通過ASA證明△CDG≌△EFG，則EG＝，再根據(jù)勾股定理即可求解；（3）設點G到CD的距離為h1，點G到AB的距離為h2，則，即，易證明△CDG∽△EFG，得，根據(jù)題意可得CD＝（k+1）EB，EF＝2EB，因此，進而得到，以此即可求解．【解答】解：（1）如圖，連接AC，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，∴BC＝AB＝2，∴△ABC為等邊三角形，∵＝k，k＝1，∴AE＝EB＝AB＝1，即E為AB中點，∴CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，在Rt△BCE中，CE＝BC?sin∠CBE＝2×＝；（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，∴∠DCG＝∠FEG，∠CDG＝∠EFG，由（1）知，AE＝EB＝1，∵BF＝BE，∴AB＝EF＝CD，在△CDG和△EFG中，，∴△CDG≌△EFG（ASA），∴CG＝EG＝CE＝，在Rt△BEG中，BG＝；（3）設點G到CD的距離為h1，點G到AB的距離為h2，由（1）可知，，即，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴∠DCG＝∠FEG，∠CDG＝∠EFG，∴△CDG∽△EFG，∴，∵＝k，∴AE＝kEB，∴CD＝AB＝AE+EB＝kEB+EB＝（k+1）EB，∵BF＝BE，∴EF＝EB+BF＝2EB，∴，即，∵，∴，∴，∴S△DCG＝＝＝．20．如圖，在△ABC中，點D是AC上的點，過點D作DE∥BC交AB于點E，AB＝3BE，過D作DF∥AB交BC于點F．（1）若BC＝15，求線段DE的長；（2）若△ADE的面積為16，求△CDF的面積．【分析】（1）利用平行線先判定△AED∽△ABC，再利用相似三角形的性質得結論；（2）先利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質求出△ABC的面積，再利用相似三角形的性質得結論．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC．∴＝．∵AB＝3BE，∴AE＝2BE．∴＝．∴DE＝10．（2）∵DE∥BC，∴＝＝，△AED∽△ABC．∴＝（）2．∴＝（）2＝．∴S△ABC＝36．∵DF∥AB，∴△CDF∽△ABC．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△CDF＝S△ABC×＝4．21．如圖1，在矩形ABCD中，＝k，E為CD邊的中點，連接AE，延長AE交BC的延長線于F點，在BC邊上取一點G，連接AG，使AF為∠DAG的角平分線．（1）求證：GE⊥AF；（2）如圖2，若k＝1，求的值；（3）若點G將BC邊分成1：2的兩部分，直接寫出k的值．【分析】（1）想證明兩條直線垂直，可想到兩條直線的夾角為90°，及轉化求角度問題，而利用等腰三角形底邊中點的性質，中線垂直于底邊，這樣就轉化為證明相關三角形為等腰三角形的問題，問題即可得到解決．（2）利用k＝1，把相關線段所表示的式子找出來，集中到一個相關三角形中，利用直角三角形的性質，列出相關等式，解出方程的解，問題即可得到解決．（3）若點G將BC邊分成1：2的兩部分，這時分2種情況，BG＝2GC或者BG＝GC，利用上邊的分析，在同一直角三角形中，列出相關等式，解出方程的解，問題即可得到解決．【解答】（1）證明：∵E為CD邊的中點，∴DE＝EC，∵∠AED＝∠CEF，∠ADE＝∠ECF＝90°，∴△ADE≌△CEF，∴AE＝EF，即E為AF中點，∵AF為∠DAG的角平分線，∴∠GAE＝∠DAE，又∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠GFE，∴∠GAE＝∠GFE，∴△AGE為等腰三角形，∴GE⊥AF．（2）解：設EC＝1個單位，GC＝x，利用Rt△ABG列出方程：（2﹣x）2+4＝（2+x）2，解得CG＝，BG＝，∴（3）解：①當BG＝2GC時，設GC＝x，則BG＝2x，∵＝k，∴AB＝，∵AG＝GF＝4x，利用Rt△ABG列出方程：（4x）2＝（）2+（2x）2，解得k＝．②當BG＝2GC時，設GC＝2x，則BG＝x，∵＝k，∴AB＝，∵AG＝GF＝5x，利用Rt△ABG列出方程：（5x）2＝（）2+（x）2，解得k＝．綜上解析或．22．綜合與實踐瑩瑩復習教材時，提前準備了一個等腰三角形紙片ABC，如圖，AB＝AC＝5，BC＝6．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點B與點C重疊對折，得折痕AE，展開后，她把點B與點A重疊對折，得折痕DF，再展開后連接CD，交折痕AE于點O，則點O就是△ABC的重心．教材重現(xiàn)：如圖4﹣15，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個點的位置嗎？在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線（median）．如圖4﹣16，AE是△ABC的BC邊上的中線．讓我們先看看三角形的中線有什么特點．??