第一章 直角三角形的邊角關系單元測試卷（解析版）

第一章直角三角形的邊角關系單元測試卷一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?姑蘇區(qū)校級月考）已知：如圖，點是直線外一點，點到直線的距離是4，點、點是直線上的兩個動點，且，則線段的長的最小值為A． B． C．3 D．4【分析】如圖，過點作直線直線，則直線與直線之間的距離為4，作點關于直線的對稱點，連接，，交直線于點，連接，過點作于，過點作于．首先證明當，，共線時，的值最小，此時的值最小，解直角三角形求出此時的值，可得結論．【解答】解：如圖，過點作直線直線，則直線與直線之間的距離為4，作點關于直線的對稱點，連接，，交直線于點，連接，過點作于，過點作于．在中，，的值最小時，的值最小，，當，，共線時，的值最小，此時的值最小，直線垂直平分線段，，，，，，，，，可以假設，，，，，，，解得，的最小值，故選：．2．如圖，已知、兩點的坐標分別為、，點、分別是直線和軸上的動點，，點是線段的中點，連接交軸于點，當面積取得最小值時，的值是A． B． C． D．【分析】如圖，設直線交軸于．由題意，推出點的運動軌跡是以為圓心，5為半徑的圓，推出當直線與相切時，的面積最小，作于．求出，即可解決問題．【解答】解：如圖，設直線交軸于．由題意，點的運動軌跡是以為圓心，5為半徑的圓，當直線與相切時，的面積最小，是切線，點是切點，，，，，，，，，作于．，，，，故選：．3．北碚區(qū)政府計劃在縉云山半山腰建立一個基站，其設計圖如圖所示，，與地面平行，的坡度為，的坡角為，小王想利用所學知識測量基站頂部到地面的距離，若，米，米，小王在山腳點處測得基站底部的仰角為，在點處測得基站頂部的仰角為，則基站頂部到地面的距離為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米【分析】延長交過點的水平線于，交延長線于點，作于，于，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出結果．【解答】解：如圖，延長交過點的水平線于，交延長線于點，作于，于，的坡度為，，設米，米，則米，，，米，米，的坡角為，米，米，四邊形和四邊形是矩形，，米，，米，米，在中，，米，，，米，在中，，（米，（米．故選：．4．（2021?淄博）如圖，在中，，是斜邊上的中線，過點作交于點．若，的面積為5，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得，進而得到，從而有，根據(jù)三角形的面積公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：連接，是斜邊上的中線，，是的垂直平分線，，，，，，在中，，，，，，又，，，，，故選：．5．（2021春?萬州區(qū)校級期中）江津四面山是國家級風景區(qū)，里面有一個景點被譽為亞洲第一巖土地神巖，土地神巖壁畫高度從石巖處開始一直豎直到山頂處，為了測量土地神巖上壁畫的高度，小明從山腳處，沿坡度的斜坡上行65米到達處，在處測得山頂處仰角為，再往正前方水平走15米到達處，在處測得壁畫底端處的俯角為，壁畫底端處距離山腳處的距離是12米，、、、、、在同一平面內，、在同一水平線上，，根據(jù)小明的測量數(shù)據(jù)，則壁畫的高度為米（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，A．49.5 B．68.7 C．69.7 D．70.2【分析】如圖，作于，延長交于．解直角三角形分別求出、即可解決問題；【解答】解：如圖，作于，延長交于．在中，，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，，在中，，，，故選：．6．（2021?渝中區(qū)校級二模）如圖，旗桿豎立在斜坡的頂端，斜坡長為65米，坡度為．小明從與點相距115米的點處向上爬12米到達建筑物的頂端點，在此測得旗桿頂端點的仰角為，則旗桿的高度約為米．（參考數(shù)據(jù)：，，A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1【分析】通過作高，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系和坡度即可求出答案．【解答】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，在中，由斜坡的坡度，得，，又，設，，由勾股定理得，，，，，又，，在中，，（米，故選：．7．已知中，，，，且，延長到，使，連接，則的值為A． B． C． D．【分析】過點作于，利用勾股定理得數(shù)量關系，過點作于，建立等腰三角形，求角的關系，等量代換后，再用三角函數(shù)求值．【解答】解：過點作于，設，，，，，．解得：，，．，，，，．故選：．8．（2021?宜興市模擬）如圖，在中，，，，，連接，則長的最大值是A． B． C． D．【分析】如圖，在的下方作，使得，，連接，則，證明，推出，推出，再根據(jù)，可得，由此即可解決問題．【解答】解：如圖，在的下方作，使得，，連接，則，，，，，，，，，，，，，的最大值為，故選：．9．（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為A． B．2 C． D．【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設，在直角三角形中表示出，進而根據(jù)列出方程求得，進而求得結果．【解答】解：如圖，作于，作于，在中，，在中，，，，在中，設，在中，，，由得，，，，故答案為：．10．（2021秋?柯橋區(qū)期末）中，，的平分線交于，在延長線上，在上，經過中點，，若，則的值為A． B． C． D．【分析】過作于，延長交于，由，設，則，而為中點，得，根據(jù)平分，可得，即有，，而，可得，即知，根據(jù)，得，從而可得．【解答】解：過作于，延長交于，如圖：在中，，，設，則，為中點，，平分，，，，，，，，，，，，，即，，，，即，，，，，，故選：．二．填空題（共6小題）11．如圖所示，一艘輪船在處觀測到北偏東方向上有一個燈塔，輪船在正東方向以每小時20海里的速度航行1.5小時后到達處，又觀測到燈塔在北偏東方向上，則此時輪船與燈塔相距海里．（結果保留根號）【分析】作，垂足為．構建直角三角形后，利用已知角的正弦值，以及的長，可求出．然后放到直角三角形中，根據(jù)的角對的直角邊是斜邊的一半，求出．【解答】解：作，垂足為．根據(jù)題意，得，，，則，（海里），在中，，，（海里）．在中，，，（海里）．此時輪船與燈塔相距海里．12．如圖，在四邊形中，，交于，使得且．若在線段上取一點，滿足：平分且，則的值為．【分析】由，設，由外角定義和角平分線證得，進而證得，由，可設，利用勾股定理和相關結論分別求出、、，即可解答．【解答】解：由，設，則，平分，，，而，故，，，，，，不妨令，則，，，過點作交于點，交于點，，，，，，，，，，，設，，則，，，，，，即，，在中，，，，由勾股定理得：，解得或（舍去），，在中，且中，，故，故答案為：．13．已知，，是的三邊，，滿足等式，且，則．【分析】先對等式化簡，得到，，的關系后，再求解銳角三角函數(shù)的值．【解答】解：，，，．為直角三角形，且．，，．設，，，．．14．如圖，是斜邊上的高線，若，，則．【分析】證明，求出的長；進而求、，運用勾股定理求．【解答】解：是斜邊上的高線，．，．，，．，．．15．我們規(guī)定：等腰三角形的底角與頂角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如圖，是以為頂點的“特征值”為的等腰三角形，在外有一點，若，，，則度，的長是．【分析】由等腰三角形的“特征值”定義可知，“特征值”為的等腰三角形由三角形內角和可計算出頂角為，底角為，故可知，由聯(lián)想一線三等角構造相似三角形，過點作垂足為，交延長線于，得，再在中，由勾股定理即可求出．【解答】解：設等腰三角形的底角為，是以為頂點的“特征值”為的等腰三角形，根據(jù)定義可知頂角為．，，即，，過點作垂足為，交延長線于，如圖：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，．故答案為：45，．16．如圖，是的中線，，，，求線段的長．【分析】通過作高，構造直角三角形，利用中線的性質、三角形的面積公式、銳角三角函數(shù)和勾股定理，在不同的直角三角形中求出相應的邊即可，【解答】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，在中，，，，，，又是的中線，，，，，在中，，由，可得，在中，，，在中，，，故答案為：．三．解答題（共8小題）17．（2023?龍馬潭區(qū)二模）某校王老師組織九（1）班同學開展數(shù)學活動，某天帶領同學們測量學校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，在太陽光的照射下，電線桿的影子（折線恰好落在水平地面和斜坡上，在處測得電線桿頂端的仰角為，在處測得電線桿頂端的仰角為，斜坡與地面成角，，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高．（結果用根號表示）【分析】延長交的延長線于，作于，根據(jù)正弦、余弦的定義求出、，根據(jù)正切的定義求出，設，根據(jù)正切的定義求出，結合圖形列出方程，解方程即可．【解答】解：延長交的延長線于，作于，在中，，，則，，，，，，設，，，，，，，，解得：答：電線桿的高為．18．（2023秋?巴州區(qū)期中）如圖為住宅區(qū)內的兩幢樓，它們的高，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光的影響情況．當太陽光與水平線的夾角為時．試求：（1）若兩樓間的距離時，甲樓的影子，落在乙樓上有多高？（2）若甲樓的影子，剛好不影響乙樓，那么兩樓的距離應當有多遠？【分析】（1）首先設太陽光與的交點為，連接，易得四邊形是矩形，然后在中，由即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意可得當太陽光照射到點時，甲樓的影子，剛好不影響乙樓，然后由，即可求得答案．【解答】解：（1）設太陽光與的交點為，連接，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，．答：甲樓的影子，落在乙樓上有高；（2）如圖：當太陽光照射到點時，甲樓的影子，剛好不影響乙樓，在中，，，．答：兩樓的距離應當為．19．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）為鞏固精準扶貧成果，打通“道路最后一公里”，政府決定在、兩村之間修建一條互通大道（即線段．如圖，湖泊區(qū)域是以點為圓心、半徑為的圓形區(qū)域．經測量：湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏東方向且為，村位于村正東方向，湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求湖泊區(qū)域的圓心到鄉(xiāng)村的距離；（結果精確到（2）勘測地形后，政府決定將位于湖泊區(qū)域的公路段改建為橋梁，若橋梁段的建造費用為200萬元，公路段的建造費用100萬元，政府撥款3500萬元用于建造整條互通大道，請問政府劃撥的資金充足嗎？請說明理由．【分析】（1）由題可得，，，過點作于點，根據(jù)30度和45度角的直角三角形即可解決問題；（2）在、上分別取點．，使，根據(jù)勾股定理可得，，進而可以解決問題．【解答】解：（1）由題可知：，，，如圖，過點作于點，則在中，，，在中．，，圓心到鄉(xiāng)村的距離為12.2；（2）政府劃撥的資金充員．在、上分別取點．，使，則在中，，在中，，，，建造費用為，政府劃撥的資金充足．20．（2023?朝陽縣模擬）如圖，和是同一水平地面上的兩座樓房，已知樓的高為20米，在樓的樓頂點測得樓的樓頂?shù)难鼋菫?，樓底的俯角為，求樓的高．（結果保留根號，參考數(shù)據(jù)：，，【分析】在題中兩個直角三角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據(jù)正切值求出對邊后相加即可．【解答】解：延長過點的水平線交于點，則有，四邊形是矩形，，米．（米，米．（米．米．答：樓的高是米．21．如圖，在航線的兩側分別有兩個燈塔和，燈塔到航線的距離為千米，燈塔到航線的距離為千米，燈塔位于燈塔南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔北偏西方向的（在航線上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔正南方向的點（在航線上）處．（1）求兩個燈塔和之間的距離；（2）求該輪船航行的速度（結果精確到0.1千米小時）．（參考數(shù)據(jù)：，，，【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可解決問題；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得的長，進而可以求該輪船航行的速度．【解答】解：（1）由題意，得，，，，在中，，，，在中，，，，千米．答：兩個燈塔和之間的距離為14千米．（2）在中，，，，在中，，，，，在中，，由題意，得，，，設該輪船航行的速度是千米小時，由題意，得，（千米小時），答：該輪船航行的速度是40.7千米小時．22．（2022春?前郭縣校級月考）一艘輪船向正東方向航行，在處測得燈塔在的北偏東方向，航行60海里到達處，此時測得燈塔在的北偏東方向上．求到燈塔的距離（結果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，，．【分析】過作于點，根據(jù)正弦、余弦的定義求出、，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出，得到，根據(jù)直角三角形的性質計算即可．【解答】解：過作于點，在中，，，，（海里），（海里），在中，，，，海里，（海里）．答：到燈塔的距離是89.8海里．23．（2023?廣饒縣校級模擬）重慶市某校數(shù)學興趣小組在水庫某段的附近借助無人機進行實物測量的社會實踐活動．如圖所示，興趣小組在水庫正面左岸的處測得水庫右岸處某標志物頂端的仰角為．在處一架無人機以北偏西方向飛行米到達點處，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行30米至處，測得正前方水庫右岸處的俯角為．線段的長為無人機距地面的鉛直高度，點、、在同一條直線上．（1）求無人機的飛行高度；（2）求標志物的高度．（結果精確到0.1米）（已知數(shù)據(jù)：，，，，，，【分析】（1）根據(jù)題意可得，米，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得無人機的飛行高度；（2）根據(jù)題意可得，米，，作于點交于點，由，可得，即，解得的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出標志物的高度．【解答】解：（1