專題07 全等三角形經(jīng)典模型一線三等角模型（四大類型）（解析版）

專題07全等三角形經(jīng)典模型一線三等角模型（四大類型）重難點題型歸納【題型一：標準“K”型圖】【題型二：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】【題型三：“K”型圖與平面直角坐標綜合】【題型四：特殊“K”型圖】【方法技巧】模型一一線三垂直全等模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一線三等角全等模型如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA圖一圖二應用：①通過證明全等實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對應的幾何問題；②與函數(shù)綜合應用中有利于點的坐標的求解【類型一：標準“K”型圖】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【變式1-1】如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F．求證：△ABE≌△CAF．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAE＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠CFA＝∠BEA＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，∴∠C＝∠BAE，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）【變式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．（1）特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【類型二：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】【典例2】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數(shù)；（2）求證：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為．（用含a，b，c的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，∴∠BAD＝40°，∵AD＝AB，∴∠D＝∠DBA＝70°，又∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）證明：過點A作AF⊥DE于點F，過點C作CG⊥DE于點G，∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，又∵AD＝BC＝AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝∠DAB＝∠CAE，∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，在△BAF和△CBG中，，∴△BAF≌△CBG（AAS），∴AF＝BG，BF＝CG，∵∠CBG＝∠CAE，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，∴BF＝EG＝CG，∴∠CEG＝∠AEF＝45°，∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，∴S△ABC＝BE?CG＝BE?（AF﹣BE）＝．故答案為：．【變式2-1】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．連接BD、CE，過點A作AH⊥CE于點H，反向延長線段AH交BD于點F．（1）如圖1，當AB＝AD時①請直接寫出BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：CE＝2AF（2）如圖2，當AB≠AD時，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）①＝；②證明見解答過程；（2）成立，證明見解答過程．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案為：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，證明如下：作BM⊥AF于點M，作DN⊥AF交AF的延長線于點N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可證△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CE＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．【變式2-2】直線l經(jīng)過點A，△ABC在直線l上方，AB＝AC．（1）如圖1，∠BAC＝90°，過點B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，D，A，E三點在直線l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α為任意銳角或鈍角），猜想線段DE、BD、CE有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（3）如圖3，∠BAC＝90°過點B作直線l上的垂線，垂足為F，點D是BF延長線上的一個動點，連結(jié)AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，連結(jié)DE，CE．直線l與CE交于點G．求證：G是CE的中點．【答案】（1）證明過程見解析；（2）DE＝BD+CE；證明過程見解析；（3）證明過程見解析．【解答】（1）證明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD與△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD與△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）證明：分別過點C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG與△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G為CE的中點．【類型三：“K”型圖與平面直角坐標綜合】【典例3】如圖，平面直角坐標系中有點A（﹣1，0）和y軸上一動點B（0，a），其中a＞0，以B點為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，設(shè)點C的坐標為（c，d）．（1）當a＝2時，則C點的坐標為；（2）動點B在運動的過程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1中，過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）；（2）動點A在運動的過程中，c+d的值不變．理由：過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵點C的坐標為（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不變．【變式3-1】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，0），點B的坐標是（0，3），把線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段BC，則點C的坐標是（）A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）【答案】D【解答】解：過點C作CD⊥y軸，垂足為D，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°，∵點A的坐標是（4，0），點B的坐標是（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋轉(zhuǎn)得：CB＝BA，∠CBA＝90°，∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BOA≌△CDB（AAS），∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，∴點C的坐標是（3，7），故選：D．【變式3-4】問題背景：（1）如圖①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，請直接寫出BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系．拓展延伸：（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC請寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實際應用：（3）如圖③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標為（﹣2，0），點A的坐標為（﹣6，3），求B點的坐標．【答案】（1）BD+CE＝DE；（2）BD+CE＝DE，理由見解析；（3）（1，4）．【解答】解：（1）BD+CE＝DE，理由如下：∵BD⊥AD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（2）BD+CE＝DE，理由如下：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（3）如圖③，過A作AE⊥x軸于點E，過BBF⊥x軸于點F，∵點C的坐標為（﹣2，0），點A的坐標為（﹣6，3），∴OC＝2，OE＝6，AE＝3，∴CE＝OE﹣OC＝6﹣2＝4，由（1）可知，△AEC≌△CFB（AAS），∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝4，∴OF＝CF﹣OC＝3﹣2＝1，∴點B的坐標為（1，4）．【變式3-5】（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線DE，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，求證：△ADC≌△CEB；（2）如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線CE，AD⊥CE于點D，BE⊥CE于點E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長；（3）如圖3，在平面直角坐標系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求點B坐標．【答案】（1）證明見解析；（2）0.8cm；（3）（4，1）．【解答】（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的長為0.8cm；（3）解：如圖3，過點C作直線l∥x軸，交y軸于點G，過A作AE⊥l于點E，過B作BF⊥l于點F，交x軸于點H，則∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，∵A（﹣1，0），C（1，3），∴EG＝OA＝1，CG＝1，F(xiàn)H＝AE＝OG＝3，∴CE＝EG+CG＝2，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，∴B點坐標為（4，1）．【變式3-6】在直角坐標平面內(nèi)，點A（3，0），點B是第二象限內(nèi)任意一點（如圖所示）．線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)90°后的圖形為AC，連接BC．（1）當線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)時，①如果點B的坐標為（﹣1，2），過點B作BH⊥OA，垂足為點H，直接寫出線段AH的長；②如果點B的橫坐標為a，且BC∥OA，求點B的縱坐標；（用含a的代數(shù)式表示）（2）設(shè)點B的坐標為（m，n），直接寫出點C的坐標．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】（1）①AH＝4；②點B的縱坐標為3﹣a；（2）點C坐標為（3+n，3﹣m）或（3﹣n，m﹣3）．【解答】解：（1）①如圖，過點B作BH⊥OA，垂足為點H，，∵B（﹣1，2），A（3，0），∴OH＝1，∴AH＝4．②如圖，過點A作AD⊥BC交于點D，，∵BC∥OA，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BD＝AD＝DC，∵B的橫坐標為a，∴BD＝3﹣a，∴AD＝3﹣a，∴點B的縱坐標為3﹣a．（2）①當順時針轉(zhuǎn)動時，如圖，點C落在第一象限，過點B作BE⊥OA交于點E，過點C作CF⊥OA交于點F，，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，在Rt△BAE中，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE＝n，CF＝AE＝3﹣m，∴OF＝3+n，∴C（3+n，3﹣m）．②當逆時針轉(zhuǎn)動時，如圖，此時點C落在第三象限，過點B作BE⊥OA交于點E，過點C作CF⊥OA交于點F，，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，在Rt△BAE中，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴CF＝AE＝3﹣m，AF＝BE＝n，∴OF＝3﹣n，∵點C在第三象限，∴C（3﹣n，m﹣3）．綜上，點C坐標為（3+n，3﹣m）或（3﹣n，m﹣3）．【變式3-7】如圖，已知A（3，0），B（0，﹣1），連接AB，過B點作AB的垂線段BC，使BA＝BC，連接AC．（1）如圖1，求C點坐標；（2）如圖2，若P點從A點出發(fā)沿x軸向左平移，連接BP，作等腰直角△BPQ，連接CQ，當點P在線段OA上，PA與CQ有何位置和數(shù)量關(guān)系，猜想并證明；（3）在（2）的條件下若C、P，Q三點共線，求此時∠APB的度數(shù)及P點坐標．【答案】（1）（1，﹣4）；（2）CQ＝AP，CQ⊥AP．證明見解析過程；（3）135°，（1，0）．【解答】解：（1）如圖1，過C作CH⊥y軸于H，則∠BCH+∠CBH＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，∴OH＝OB+BH＝4，∴C點坐標為（1，﹣4）；（2）CQ＝AP，CQ⊥AP．證明：如圖2，延長CQ交x軸于D，交AB于E，∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC（SAS），∴PA＝CQ，∠BAP＝∠BCQ，又∵∠AED＝∠CEB，∴∠ADE＝∠CBE＝90°，即CD⊥AD，∴CQ⊥AP；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，當C、P，Q三點共線時，∠BQC＝135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA＝∠BQC＝135°，∴∠OPB＝180°﹣135°＝45°，∴OP＝OB＝1，∴P點坐標為（1，0）．【變式3-8】點A的坐標為（4，0），點B為y軸負半軸上的一個動點，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如圖一，若點B坐標為（0，﹣3），連接AC、OD．①求證：AC＝OD；②求D點坐標．（2）如圖二，連接CD，與y軸交于點E，試求BE長度．【解答】（1）①證明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如圖一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，過點D作DF⊥y軸于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如圖二、過點D作DF⊥y軸于F，則∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【類型四：特殊“K”型圖】【典例4】（1）猜想：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出；（2）探究：如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）解決問題：如圖3，F(xiàn)是角平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點左右兩側(cè)的動點，D、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的長度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）結(jié)論DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE為等邊三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE為等邊