專題14 圖形的初步認識（教師版）

知識點01：幾何體的展開圖【高頻考點精講】1．大多數立體圖形是由平面圖形圍成的，沿著棱剪開就能得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應立體圖形的展開圖。同一個立體圖形按照不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的。2．正方體的平面展開圖（1）“1-4-1”型，共6種（2）“1-3-2”型，共3種（3）“3-3”型，共1種（4）“2-2-2”型，共1種3．其他常見幾何體的平面展開圖

知識點02：展開圖還原成幾何體【高頻考點精講】1．間隔對應：1對3；2對5；4對6

2．“Z”型兩端對應：1對4；2對5；3對6

知識點03：方向角【高頻考點精講】1．方向角是表示方向的角；以正北、正南方向為基準，來描述物體所處的方向。2．用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，所以描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西。注意：四個方向的角平分線按日常習慣描述，即東北，東南，西北，西南。知識點04：七巧板【高頻考點精講】1．七巧板是由5塊等腰直角三角形（2塊小形三角形、1塊中形三角形和2塊大形三角形），1塊正方形和1塊平行四邊形組成的。2．用七塊板可以拼搭成三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等幾何圖形，也可以拼成各種具體的人物形象，動物，中英文字符號等。3．制作七巧板的方法（1）在紙上畫一個正方形，把它分為十六個小方格；（2）從左上角到右下角畫一條線；（3）上邊的中間與右邊的中間連一條線；（4）從左下角到右上角畫一條線，碰到（3）中的線停止；（5）從剛才那條線的尾端向下畫線，碰到（2）中的線停止；（6）把各個區(qū)域涂上不同顏色，沿著線條剪開，皆可以得到一副七巧板。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數：0.50一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?巴中）某同學學習了正方體的表面展開圖后，在如圖所示的正方體的表面展開圖上寫下了“傳承紅色文化”六個字，還原成正方體后，“紅”的對面是（）A．傳 B．承 C．文 D．化解：根據圖示知：“傳”與“文”相對；“承”與“色”相對；“紅”與“化”相對．故選：D．2．（2分）（2023?連云港）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形；乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形．下列敘述正確的是（）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形解：由扇形的定義可知，只有乙是扇形，故選：B．3．（2分）（2023?北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（）A．36° B．44° C．54° D．63°解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故選：C．4．（2分）（2023?宜昌）“爭創(chuàng)全國文明典范城市，讓文明成為宜昌人民的內在氣質和城市的亮麗名片”．如圖，是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“城”字對面的字是（）A．文 B．明 C．典 D．范解：∵正方體的表面展開圖，相對的面之間一定隔著一個小正方形，且沒有公共邊和公共頂點，∴“城”字對面的字是“明”．故選：B．5．（2分）（2023?青島）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（）A．31 B．32 C．33 D．34解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“1”與“3”，“2”與“4”，“5”與“6”是對面，因此要使圖②中幾何體能看得到的面上數字之和最小，最右邊的那個正方體所能看到的4個面的數字為1、2、3、5，最上邊的那個正方體所能看到的5個面的數字為1、2、3、4、5，左下角的那個正方體所能看到的3個面的數字為1、2、3，所以該幾何體能看得到的面上數字之和最小為11+15+6＝32，故選：B．6．（2分）（2023?婁底）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是3：2：1，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產生的壓強分別為PA、PB、PC（壓強的計算公式為P＝），則PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1解：設A、B、C三個面的面積分別是3a，2a，a，則PA＝，PB＝，PC＝，∴PA：PB：PC＝：：＝：：1＝：：＝2：3：6，故選：A．7．（2分）（2023?長春）如圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（）A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥解：多面體的底面是面③，則多面體的上面是⑤．故選：C．8．（2分）（2023?臺灣）如圖，直角柱ABCDEF的底面為直角三角形，若∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＞AB＞BE，則連接AE后，下列敘述何者正確（）A．∠ACB＜∠FDE，∠AEB＞∠ACB B．∠ACB＜∠FDE，∠AEB＜∠ACB C．∠ACB＞∠FDE，∠AEB＞∠ACB D．∠ACB＞∠FDE，∠AEB＜∠ACB解：如圖，連接AE，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＞AB，∴∠ACB＜∠BAC，∵∠BAC＝∠FDE，∴∠ACB＜∠FDE，在△ABC和△ABE中，∠ABC＝∠ABE＝90°，AB＝AB，BC＞BE，∴∠AEB＞∠ACB，故選：A．9．（2分）（2023?威海）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠的頂點是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點解：把圖形圍成立方體如圖所示：所以與頂點K距離最遠的頂點是D，故選：D．10．（2分）（2023?聊城）如圖，該幾何體是由一個大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分．若該幾何體上、下兩個圓的半徑分別為1和2，原大圓錐高的剩余部分OO1為，則其側面展開圖的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π解：如圖示：由題意得：O1B∥OC，∴△AO1B∽△AOC，∴＝，∴，解得：AO1＝，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴其側面展開圖的面積為：2×2π﹣1×π＝3π，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?龍川縣三模）如果一個角是60°，那么這個角的補角是120°．解：60°角的補角是180°﹣60°＝120°，故答案為：120°．12．（2分）（2023?樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數為20°．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案為：20°．13．（2分）（2023?三水區(qū)模擬）如圖，是一個正方體的展開圖，那么寫有“青”字面的對面上的字是夢．解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，有“青”字一面的對面上的字是：夢．故答案為：夢．14．（2分）（2023?鼓樓區(qū)二模）把如圖①所示的正三棱錐沿其中的三條棱剪開后，形成的平面展開圖為圖②．若剪開的三條棱中有兩條是AB、AC，則剪開的另一條棱是BD或CD（寫出所有正確的答案）．解：把如圖①所示的正三棱錐沿其中的三條棱剪開后，形成的平面展開圖為圖②．若剪開的三條棱中有兩條是AB、AC，則剪開的另一條棱是BD或CD．故答案為：BD或CD．15．（2分）（2023?蘭陵縣二模）10個棱長為acm的正方體擺成如圖的形狀，這個圖形的表面積是36a2（cm2）．解：這個組合體的主視圖的面積為6a2（cm2），這個組合體的左視圖的面積為6a2（cm2），這個組合體的俯視圖的面積為6a2（cm2），所以這個組合體的表面積為（6a2+6a2+6a2）×2＝36a2（cm2），故答案為：36a2（cm2）．16．（2分）（2023?余江區(qū)二模）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成七巧板，如圖所示．19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為3．解：由題意，如圖2中，陰影部分的平行四邊形的面積＝2×1＝2，陰影部分的三角形的面積＝×2×1＝1，∴陰影部分的面積＝2+1＝3，故答案為：3．17．（2分）（2023?無錫）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為36+2．解：依題意可知：直三棱柱的上下底面的正三角形的邊長為2，∴其2個底面積為＝2．∵側面展開圖是邊長為6的正方形，∴其側面積為6×6＝36，∴該直三棱柱的表面積為36+2．故答案為：36+2．18．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)一模）一個無蓋的長方體包裝盒展開后如圖所示（單位：cm），則其容積為800cm3．解：20﹣15＝5（cm），15﹣5＝10（cm），26﹣10＝16（cm），16×10×5＝800（cm3）．答：其容積為800cm3．故答案為：800．19．（2分）（2023?開州區(qū)校級模擬）如圖，已知點O是直線AB上一點，∠1＝50°，OF平分∠BOE，則∠2的度數為65°．解：∵∠1＝50°，∠1+∠EOB＝180°，∴∠EOB＝130°．又∵OD平分∠BOC，∴∠2＝∠EOB＝65°；故答案為：65°．20．（2分）（2023?丹江口市模擬）如圖，將長方形紙片ABCD的一角沿EF折疊，使其落在紙片所在的平面內，點A的對應點為A′，再折疊另一角使B點的對應點B′落在射線EA′上，折痕為EG，那么∠FEG的度數為90°.解：∵長方形紙片的一角折疊，頂點A落在A′處，另一角折疊，頂點B落在EA′上的B′點處，∴∠AEF＝∠A′EF，∠BEG＝∠B′EG，而∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG＝180°，∴∠A′EF+∠B′EG＝90°，即∠FEG＝90°．故答案為：90°．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?青縣校級模擬）如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°方向，求∠ACB的度數．解：根據題意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝45°+30°＝75°．∵AE∥DB，∴∠DBA＝∠BAE＝45°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝60°﹣45°＝15°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣75°＝90°．22．（6分）（2023?陽谷縣二模）如圖，一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時后到達B處，此時測得島礁P在北偏東30°方向，同時測得島礁P正東方向上的避風港M在北偏東60°方向．為了在臺風到來之前用最短時間到達M處，漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行多長時間即可到達．（結果保留根號）解：如圖，過點P作PQ⊥AB交AB延長線于點Q，過點M作MN⊥AB交AB延長線于點N，∠PAQ＝45°，AB＝60×1.5＝90，∠PBN＝60°，∠MBN＝30°，在Rt△PBQ中，設BQ＝x，∵∠PBQ＝60°，∴PQ＝x，在Rt△PAQ中，∵∠PAQ＝45°，∴PQ＝AQ，即x＝90+x，解得x＝45（+1），∴PQ＝45（3+）海里，在Rt△MBN中，∵∠MBN＝30°，MN＝PQ＝45（3+）海里，∴BM＝2MN＝90（3+）海里，∴從B處到避風港M的時間＝＝（小時）．答：繼續(xù)航行小時即可到達．23．（8分）（2023?河南二模）【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉，旋轉時間為t秒，當OD邊與OB邊重合時停止轉動．【解決問題】（1）在旋轉過程中，請?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數量關系∠AOC+∠BOD＝180°；（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；（3）當∠AOC、∠BOD中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請直接寫出所有滿足條件的t值．解：（1））①如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝180°．②如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝180°．綜上，∠AOC+∠BOD＝180°．（2）由題意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如圖所示，理由如下：當運動時間為9秒時，∠AOC＝15°×9＝135°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．∴∠BOC＝∠BOD＝45°．∴OB平分∠COD．又∠BOD＝45°＝∠AOB，∴OD平分∠AOB．（3）由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．當∠BOD＝2∠AOC時，又∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC＝60°．∴15t＝60，解得t＝4．當2∠BOD＝∠AOC時，又∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC＝120°．∴15t＝120，解得t＝8．綜上，t＝4或8．24．（8分）（2023?雄縣一模）某風景區(qū)A，B，C，D四個景點在一條直線上，圖中數據為各景點之間的距離（單位：千米）．（1）求景點C，D之間的距離．（用含m的代數式表示）（2）若景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等，求景點B，D之間的距離．解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，答：景點C，D之間的距離為（3+3m）千米；（2）由題意得5+（6﹣m）＝3+3m，解得m＝2，∴BD＝9+2m＝13，答：景點B，D之間的距離13千米．25．（8分）（2023?沛縣三模）一個無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．（1）該盒子的底面的長為3a（用含a的式子表示）．（2）若①，②，③，④四個面上分別標有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，求x的值．（3）請在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．解：（1）由題可得，無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為3a﹣a＝2a，∴底面的長為5a﹣2a＝3a，故答案為：3a；（2）∵①，②，③，④四個面上分別標有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，解得x＝4；（3）如圖所示：（答案不唯一）26．（8分）（2020?棗莊）歐拉（Euler，1707年～1783年）為世界著名的數學家、自然科學家，他在數學、物理、建筑、航海等領域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發(fā)現多面體的頂點數V（Vertex）、棱數E（Edge）、面數F（Fla