押題13 第8、11、14題 函數(shù)與導數(shù) 不等式六大題型沖刺2024年高考數(shù)學考點押題含解析

押題13第8、11、14題函數(shù)與導數(shù)不等式（六大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學考點押題模擬預測卷（新高考專用）押題13第8、11、14題函數(shù)與導數(shù)不等式（六大題型）一、單選題1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．12．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．押題13函數(shù)與導數(shù)不等式高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1抽象函數(shù)、抽象函數(shù)與導數(shù)綜合1-8（單選）題型2分段函數(shù)、分段函數(shù)與導數(shù)綜合9-11（單選）題型3導數(shù)與不等式、最值、范圍問題12-14（多選）題型4導數(shù)在函數(shù)的零點上等其他應用15-18（多選）題型5不等式、不等式與導數(shù)綜合19-22（多選）題型6導數(shù)的圖像綜合23-26（填空）題型1：抽象函數(shù)、抽象函數(shù)與導數(shù)綜合題型2：分段函數(shù)、分段函數(shù)與導數(shù)綜合題型3：導數(shù)與不等式、最值、范圍問題題型4：導數(shù)在函數(shù)的零點上等其他應用題型5：不等式、不等式與導數(shù)綜合題型6：導數(shù)的圖像綜合一、單選題題型1：抽象函數(shù)、抽象函數(shù)與導數(shù)綜合1．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．2．（2024·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧撫順·一模）已知定義域為的函數(shù)滿足，，且當時，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)5．（2024·福建漳州·一模）已知可導函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設是的導函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇徐州·一模）若定義在R上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．7．（2024·四川瀘州·二模）已知，都是定義在上的函數(shù)，對任意，滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 D．8．（2024·福建漳州·模擬預測）已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱，，則（

）A．4 B．8 C． D．題型2：分段函數(shù)、分段函數(shù)與導數(shù)綜合9．（2024·四川成都·模擬預測）已知，若存在實數(shù)，當時，滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有五個不等的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當時，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．1二、多選題題型3：導數(shù)與不等式、最值、范圍問題12．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（

）A．若，，則實數(shù)m的取值范圍為B．若，，則實數(shù)m的取值范圍為C．若，，則實數(shù)m的取值范圍為D．若，，則實數(shù)m的取值范圍為13．（22-23高二下·廣東廣州·期末）已知函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．有最大值B．C．若時，恒成立，則D．設為兩個不相等的正數(shù)，且，則14．（23-24高二上·重慶·期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為B．當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當時，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最小值為D．當時，若，則的最小值為題型4：導數(shù)在函數(shù)的零點上等其他應用15．（2023·廣東深圳·二模）已知曲線在點處的切線與曲線相切于點，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)有2個零點B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．D．16．（2024·全國·模擬預測）已知是函數(shù)圖象上不同的三點，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則17．（2023·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，其中是其圖象上四個不重合的點，直線為函數(shù)在點處的切線，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱B．函數(shù)的極大值有可能小于零C．對任意的，直線的斜率恒大于直線的斜率D．若三點共線，則.18．（2023·吉林白山·二模）設函數(shù)的定義域為R，且滿足，，當時，，則（

）．A．是周期為2的函數(shù)B．C．的值域是D．方程在區(qū)間內(nèi)恰有1011個實數(shù)解題型5：不等式、不等式與導數(shù)綜合19．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．20．（2023·河北·三模）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．21．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）已知，，且，則（

）A． B．C． D．22．（2023·廣東佛山·模擬預測）設函數(shù)有4個零點，分別為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的取值與無關(guān) D．的最小值為10填空題題型6：導數(shù)的圖像綜合23．（2024·海南?？凇つM預測）已知直線過拋物線的焦點，且與交于兩點.過兩點分別作的切線，設兩條切線交于點，線段的中點為.若，則；面積的最小值為.24．（2024·黑龍江吉林·二模）已知函數(shù)，過點作與y軸平行的直線交函數(shù)的圖象于點P，過點P作圖象的切線交x軸于點B，則面積的最小值為.25．（2024·山西呂梁·一模）已知分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為．26．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．押題13第8、11、14題函數(shù)與導數(shù)不等式（六大題型）一、單選題1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.二、多選題3．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【解析】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．三、填空題5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【解析】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.押題13函數(shù)與導數(shù)不等式高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1抽象函數(shù)、抽象函數(shù)與導數(shù)綜合1-8（單選）題型2分段函數(shù)、分段函數(shù)與導數(shù)綜合9-11（單選）題型3導數(shù)與不等式、最值、范圍問題12-14（多選）題型4導數(shù)在函數(shù)的零點上等其他應用15-18（多選）題型5不等式、不等式與導數(shù)綜合19-22（多選）題型6導數(shù)的圖像綜合23-26（填空）一、單選題題型1：抽象函數(shù)、抽象函數(shù)與導數(shù)綜合1．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【解析】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：A【點睛】方法點睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進而實現(xiàn)問題求解.2．（2024·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用的圖象關(guān)于點對稱，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期函數(shù)，再由選項去逐一分析.【解析】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個周期.因為，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則所以，又，故2不是的一個周期，所以，故B不正確；因為不是函數(shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以，故A不正確；因為，故D不正確；故選：C.3．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式可知為奇函數(shù)，進而可得的對稱中心，根據(jù)滿足的關(guān)系式，可得函數(shù)的對稱中心，由兩個函數(shù)的對稱中心相同，即可判斷出其零點的特征，進而求得個零點的和.【解析】因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點中心對稱，而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個單位得到的函數(shù)，因而關(guān)于中心對稱，函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，且，所以由函數(shù)零點定義可知，即，由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對稱，所以兩個函數(shù)的交點也關(guān)于中心對稱，又因為恰有個零點，即函數(shù)和函數(shù)的交點恰有個，且其中一個為，其余的個交點關(guān)于對稱分布，所以個零點的和滿足，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是能夠通過函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對稱中心，從而可確定零點所具有的對稱關(guān)系.4．（2024·遼寧撫順·一模）已知定義域為的函數(shù)滿足，，且當時，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)【答案】C【分析】賦值法可判斷A，利用奇偶函數(shù)的定義及賦值法判斷BC，由函數(shù)的特例可判斷D.【解析】令，則，所以，因為當時，，所以，令，所以，即，解得：，故A錯誤；由題意，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，令，則，即令代換，則，即，所以，令代換，所以，故B錯誤；由將代入，可得，化簡可得，所以為奇函數(shù)，故C正確；令，則，解得：，，故D錯誤.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的BC選項的關(guān)鍵點令，得到，令代換，得到，兩式化簡即可得出答案.5．（2024·福建漳州·一模）已知可導函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設是的導函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導數(shù)運算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進而分析可得，即可得結(jié)果.【解析】因為為奇函數(shù)，則，即，兩邊求導得，則，可知關(guān)于直線對稱，又因為為奇函數(shù)，則，即，可知關(guān)于點對稱，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．6．（2024·江蘇徐州·一模）若定義在R上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的周期，及和，再逐項計算判斷得解.【解析】由，得，則，即函數(shù)的周期為4，由是R上的奇函數(shù)，得，即，于是，，即，因此，AB錯誤；由，取，得，則，因此，取，得，于是，則，C錯誤，D正確.故選：D【點睛】思路點睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)即可求解.7．（2024·四川瀘州·二模）已知，都是定義在上的函數(shù)，對任意，滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 D．【答案】D【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷A、D，取可判斷C，對于B，通過觀察選項可以推斷很可能是周期函數(shù)，結(jié)合的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到令和時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步得出是周期函數(shù)，從而可求的值.【解析】對于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，所以，故A錯誤；對于D，因為，令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，故D正確；對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，，兩式相加易得，所以有，即，有，即，所以為周期函數(shù)，且周期為，因為，所以，所以，，所以，所以，故B錯誤；對于C，取，，滿足及，所以，又，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；故選：D.【點睛】思路點睛：對于含有的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進而得到所需的關(guān)系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.8．（2024·福建漳州·模擬預測）已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱，，則（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中條件可得的圖像關(guān)于對稱，結(jié)合是奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于點中心對稱，繼而可得是以4為周期的周期函數(shù)，通過賦值，進一步計算即可.【解析】因為的圖象關(guān)于對稱，所以．因為①，則，即②，①-②得，，所以的圖像關(guān)于對稱．令，則是奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)．因為，所以．因為是以4為周期的周期函數(shù)，所以也是以4為周期的周期函數(shù)，取，，所以．因為，所以，所以．取，所以，所以，所以，故選:D．題型2：分段函數(shù)、分段函數(shù)與導數(shù)綜合9．（2024·四川成都·模擬預測）已知，若存在實數(shù)，當時，滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)性質(zhì)，得，，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的值域即可.【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，當時，，由得，由可得，由圖可知，，點、關(guān)于直線對稱，則，點、關(guān)于直線對稱，則，所以，令，其中，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當時，，當時，；當時，，則，所以的取值范圍為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵就是利用正弦型函數(shù)的周期性和對稱性，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，求值域時，除函數(shù)的單調(diào)性外還要注意函數(shù)的取值特點.10．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有五個不等的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)在各段的單調(diào)性，即可得到的大致圖象，令，則化為，分、、、、、六種情況討論，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【解析】由，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當時，當時，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可得的大致圖象如下所示：令，則化為，當時無解，則無解；當時，解得，由圖可知有兩解，即有兩解；當時有一解且，又有一個解，即有一解；當時有兩個解，即、，又有一個解，有兩個解，所以共有三個解；當時有三個解，即，，，無解，有三個解，有兩個解，所以共有五個解；當時有兩個解，即，，有三個解，有兩個解，所以共有五個解；綜上可得的取值范圍是.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，另外分類討論需做到不重不漏.11．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當時，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)關(guān)于點對稱，再畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性，判斷交點的個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，則函數(shù)關(guān)于點對稱，所以而也關(guān)于點對稱，恒過點，方程根，即為函數(shù)與交點的橫坐標，因為兩個函數(shù)都關(guān)于點對稱，所以交點也關(guān)于點對稱，且其中一個交點是，如圖畫出兩個函數(shù)的圖象，若，根據(jù)對稱性可知，軸左側(cè)和右側(cè)各有3個交點，如圖，當直線過點時，軸右側(cè)有2個交點，此時，當直線過點時，軸右側(cè)有3個交點，此時，所以滿足條件的的取值范圍是，選項中滿足條件的只有.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是正確分析出函數(shù)的圖象，尤其是，并且會利用數(shù)形結(jié)合，分析臨界直線，即可求解.二、多選題題型3：導數(shù)與不等式、最值、范圍問題12．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（

）A．若，，則實數(shù)m的取值范圍為B．若，，則實數(shù)m的取值范圍為C．若，，則實數(shù)m的取值范圍為D．若，，則實數(shù)m的取值范圍為【答案】BD【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再分和討論的單調(diào)性，分和討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判斷得出的單調(diào)性，利用單調(diào)性將進行等價轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，求解即得.【解析】對于函數(shù)，因，則函數(shù)是奇函數(shù).不妨設，則，對于A項，當時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上也是增函數(shù).由，則，即（*），①當時，此時恒成立；②當時，由（*）可得，解得，綜上可知，，故A項錯誤；對于B項，當時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是減函數(shù)，故在R上是增函數(shù)，由A項分析可得，恒成立可得，，故B項正確；對于C項，當時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上是減函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，由，則，即（*），①當時，無解；②當時，由（*）可得，解得或，綜上可知，，故C項錯誤；對于D項，當時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，由C項分析可得，恒成立可得，，故D項正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：一般先考慮函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)參數(shù)分類判斷，構(gòu)成復合函數(shù)的內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性去掉抽象函數(shù)的符號，將其化成含參數(shù)的不等式恒成立問題，再對參數(shù)分類討論不等式解的情況即得.13．（22-23高二下·廣東廣州·期末）已知函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．有最大值B．C．若時，恒成立，則D．設為兩個不相等的正數(shù)，且，則【答案】ACD【分析】對于A：求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；對于B：利用作差法比較大??；對于C：利用定點分析判斷；對于D：利用極值點偏離分析證明.【解析】對于選項A：由題意可得：函數(shù)的定義域為，且，令，解得；令，解得；則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，故A正確；對于選項B：因為，則，所以，故B錯誤；對于選項C：構(gòu)建，則，因為，且當時，恒成立，則，解得，若，則當時恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，符合題意綜上所述：符合題意，故C正確；對于選項D：因為，整理得，即，由選項A可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當x趨近于0時，趨近于0，且令，解得，不妨設，構(gòu)建，因為在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以，即，可得，注意到在上單調(diào)遞減，且，所以，即，故D正確；故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．14．（23-24高二上·重慶·期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為B．當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當時，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最小值為D．當時，若，則的最小值為【答案】BC【分析】對A選項：由極值點的性質(zhì)結(jié)合導數(shù)討論單調(diào)性即可得；對B選項：結(jié)合導數(shù)討論單調(diào)性即可得；對C選項：結(jié)合單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為當時，有成立，求出最小值即可得；對D選項：采用同構(gòu)法可確定，再將多變量化為單變量后結(jié)合導數(shù)討論單調(diào)性即可得.【解析】對A選項：，若函數(shù)存在兩個極值，則函數(shù)必有兩個變號零點，令，則，令，則，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又當時，恒成立，當時，，故當，函數(shù)有兩個變號零點，即若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為，故A錯誤；對B選項：當時，，，令，則，則當時，，當時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；故B正確；對C選項：當時，，，令，則，則當時，；當時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，則存在，使不等式成立，等價于存在，使不等式成立，則當時，有成立，由當時，，且在上單調(diào)遞增，故，即實數(shù)的最小值為，故C正確；對D選項：當時，由B、C可知，、均為定義域上的增函數(shù)，由，，故有，，由，則，即，故，又，故，令，則，令，則，則當時，，當時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增，故無最小值，即無最小值，故D錯誤.故選：BC.【點睛】思路點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應用問題，其中D選項中涉及到多變量問題的求解，求解此類問題的基本思路是根據(jù)已知中的等量關(guān)系，將多變量轉(zhuǎn)化為單變量的問題，從而將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解.題型4：導數(shù)在函數(shù)的零點上等其他應用15．（2023·廣東深圳·二模）已知曲線在點處的切線與曲線相切于點，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)有2個零點B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．D．【答案】BCD【分析】利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷A，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可說明B，利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，即可得到方程組，從而判斷C、D.【解析】對于A：，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，函數(shù)的極大值為，極小值為，因此當時，，當時，，又，所以，則在上存在零點，因此函數(shù)只有一個零點，故A不正確；對于B：，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C：，因此曲線在點處的切線方程為：，由，因此曲線相切方程為：，因為曲線在點處的切線與曲線相切于點，所以，因此，故C正確；對于D：由上可知：，因此有，故D正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及公切線問題，一般是利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，根據(jù)兩切線相同得到方程組，從而整理得到.16．（2024·全國·模擬預測）已知是函數(shù)圖象上不同的三點，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】對于A，可以先求導然后作差即可判斷；對于B，由立方和公式即可判斷；對于C，可以利用函數(shù)的凹凸性判斷；對于D，，以此來構(gòu)造反例證偽.【解析】由題意，得．當時，符號不確定，所以A錯誤；因為，而，所以，所以B正確；構(gòu)造三角形，其重心為，利用函數(shù)的凹凸性，知，即，所以C正確；令，則，因為，所以，此時，所以D錯誤．故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：C選項的關(guān)鍵是利用函數(shù)的凹凸性，D選項的關(guān)鍵是令，由此即可順利得解.17．（2023·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，其中是其圖象上四個不重合的點，直線為函數(shù)在點處的切線，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱B．函數(shù)的極大值有可能小于零C．對任意的，直線的斜率恒大于直線的斜率D．若三點共線，則.【答案】AD【分析】由奇偶性和圖象平移可判斷A；利用導數(shù)求出極大值點，再由單調(diào)性與比較可判斷B；利用導數(shù)求出，然后作差比較，即可判斷C；根據(jù)化簡即可判斷D.【解析】對于A，設，因為，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，A正確；對于B，令，解得，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，由單調(diào)性可知，，故B錯誤；對于C，，因為，所以，又，所以，因為，所以，即，C錯誤；對于D，同上，可得，，，當三點共線時，則有，整理得，因為，所以，即，又，所以，整理得，因為，所以，即，所以，D正確.故選：AD.【點睛】思路點睛：本題解題思路是首先是構(gòu)造函數(shù)，利用其奇偶性，再就是用導數(shù)判斷出其單調(diào)性解題，利用切線斜率解題，考查了學生的思維能力、運算能力.18．（2023·吉林白山·二模）設函數(shù)的定義域為R，且滿足，，當時，，則（

）．A．是周期為2的函數(shù)B．C．的值域是D．方程在區(qū)間內(nèi)恰有1011個實數(shù)解【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件推出函數(shù)是奇函數(shù)．且以為周期，得A錯誤；根據(jù)周期計算，得B正確；利用導數(shù)和函數(shù)的周期性求出函數(shù)的值域可得C錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象與的圖象交點個數(shù)，可得D正確．【解析】函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，因為，所以，又因為，所以，所以是奇函數(shù)．由，得，所以以4為周期，故A錯誤．因為是奇函數(shù)，且定義域為R，所以．因為，所以，故B正確．因為當時，，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因為為奇函數(shù)，所以當時，，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以當時，，因為的周期為4，所以當時，，故C錯誤．

方程的解的個數(shù)，即的圖象與的圖象交點個數(shù)．因為的周期為2，且當時，與有2個交點，所以當時，與有1011個交點，故D正確．故選：BD.【點睛】方法點睛：求函數(shù)零點或方程實根根的個數(shù)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式或方程變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型5：不等式、不等式與導數(shù)綜合19．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的運算及指對函數(shù)的單調(diào)性舉反例判斷A，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性可得，據(jù)此判斷BC，，令，由導數(shù)確定可判斷D.【解析】由，可得，又，所以，解得.當時，，則，又，所以，所以此時，故A錯誤；令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，即，由知，所以，所以，故正確；由可得，可得（時取等號），因為，所以，所以，故C正確；因為，所以.令，則，令，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以1，所以，故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷D選項時，對式子進行變形換元后得到是解題的第一個關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)，利用兩次求導可得出函數(shù)的最小值是解題的第二個關(guān)鍵點.20．（2023·河北·三模）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先利用三角函數(shù)線得到，進而得到，作差法得到，得到；再構(gòu)造函數(shù)，與，，證明出.【解析】設為銳角，作出單位圓，與軸交于點，則，過點作垂直于軸，交射線于點，連接，過點作⊥軸于點，由三角函數(shù)定義可知，，設扇形的面積為，則，即，故，所以，

，因為，所以，故，綜上：，A正確，B錯誤；令，，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故，故，故，C正確，D錯誤；故選：AC【點睛】方法點睛：我們經(jīng)常使用不等式放縮來比較大小或證明不等式，常用的不等式有，，，，等.21．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)題意分析可得，運算求解即可；對于B：根據(jù)題意整理得，分類討論，分類討論，結(jié)合對勾函數(shù)以及基本不等式運算求解；對于C：構(gòu)建，結(jié)合函數(shù)零點分析判斷；對于D：根據(jù)題意整理可得，換元結(jié)合基本不等式運算求解.【解析】對于選項A：因為，則，可得，解得，故A正確；對于選項B：因為，則，即，又因為，且，可得，則，令，則，1.當時，則，即；2.當時，令，則，①當時，在上單調(diào)遞減，則，可得，所以；②當時，，可得，所以；綜上所述：，即，故B正確；對于選項C：因為，即，構(gòu)建，則在上單調(diào)遞增，由，則，且，所以函數(shù)在內(nèi)的零點，整理得，故C錯誤；對于選項D：因為，且，即，則，可得，令，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，故D正確；故選：ABD.【點睛】方法點睛：1．用基本不等式求最值時，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明確什么時候等號成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、湊”、“1的代換”等技巧的應用；2．不等式恒成立問題一般用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解或用賦值法討論求解．22．（2023·廣東佛山·模擬預測）設函數(shù)有4個零點，分別為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的取值與無關(guān) D．的最小值為10【答案】AD【分析】根據(jù)題意分析可得：原函數(shù)的4個零點可表示為直線與函數(shù)交點的橫坐標，結(jié)合圖象以及基本不等式逐項分析判斷.【解析】令，可得：當時，即，可得；當時，即，可得，；當時，即，可得，.原函數(shù)的4個零點可表示為直線與函數(shù)交點的橫坐標，對于選項A、C：如圖所示，是方程的兩個解，根據(jù)韋達定理可得：，即可知選項A成立，選項C不成立；對于選項B：因為，結(jié)合圖象可得，即可知選項B不成立；對于選項D：其中，則有，當且僅當時，成立，綜上所述：的最小值為10，選項D成立.故選：AD.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．三、填空題題型6：導數(shù)的圖像綜合23．（2024·海南?？凇つM預測）已知直線過拋物線的焦點，且與交于兩點.過兩點分別作的切線，設兩條切線交于點，線段的中點為.若，則