汽車振動學(xué)：基于MATLABSimulink的分析與實現(xiàn) 課件 第4章 汽車多自由度振動系統(tǒng)

CONTENTS目錄第4章汽車多自由度振動系統(tǒng)4.1汽車多自由度振動系統(tǒng)建模4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.3汽車多自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)4.4汽車多自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)4.5汽車多自由度振動系統(tǒng)綜合訓(xùn)練4.1汽車多自由度振動系統(tǒng)建模第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)整體而言，汽車是一個多自由度的振動系統(tǒng)，汽車懸架系統(tǒng)的關(guān)鍵組件—阻尼減震器—對汽車振動性能的改善起到了至關(guān)重要的作用。在靜平衡位置（彈簧力與阻尼力的合力抵消了車身的重力），如果將汽車車身和座椅分別簡化為兩個質(zhì)量塊，其重量各由一個單獨的阻尼減震器支撐，其示意圖如圖4-1所示。圖4-1汽車多自由度振動系統(tǒng)其中：m3為汽車座椅質(zhì)量（kg）；m2為汽車車身質(zhì)量（kg）；m1為汽車車輪質(zhì)量（kg）；k2為汽車座椅彈簧剛度（N·m-1）；k1為汽車懸架彈簧剛度（N·m-1）；kt為汽車輪胎彈簧剛度（N·m-1）；c2為汽車座椅阻尼系數(shù)（N·s·m-1）；c1為汽車懸架阻尼系數(shù)（N·s·m-1）；F為外界施加的力（N）；x3為座椅相對于靜平衡位置的時變位移（m）；x2為車身相對于靜平衡位置的時變位移（m）；x1為車輪相對于靜平衡位置的時變位移（m）；第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)假設(shè)汽車前后懸架結(jié)構(gòu)相同并且左右對稱，汽車四個車輪的受到同樣的外界激勵，取1/4汽車作為研究對象，如果將汽車整體抽象為三個單獨質(zhì)量塊的上下往復(fù)振動系統(tǒng)，則可以建立如圖4-2所示的動力學(xué)模型：圖4-2汽車二自由度振動力學(xué)模型取車身靜平衡位置為坐標(biāo)原點，分析其受力可得到如圖4-3所示的受力圖：圖4-3座椅、車身和車輪受力圖第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)或者（4-2）可以看出，該方程是一個二階非齊次線性微分方程組。根據(jù)牛頓第二定律可以得到該振動模型的動力學(xué)方程：（4-1）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-4汽車多自由度無阻尼振動系統(tǒng)以圖4-4所示的汽車多自由度無阻尼振動系統(tǒng)為例，多自由度無阻尼振動的微分方程可以表示為：（4-3）將上式表示為矩陣形式如下：（4-4）其中4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)設(shè)三自由度系統(tǒng)運動微分方程（4-4）的解為（4-5）即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)做同步諧振動。上式又可表示為（4-6）式中將式（4-6）代入式（4-4），并消去

，可得到（4-7）或（4-8）（4-9）令（4-10）式（4-10）稱為特征矩陣。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)由式（4-9）可以看出，要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程（或特征方程）（4-11）式（4-11）是關(guān)于

的3次多項式，由它可以求出3個固有圓頻率（或稱特征值）。因此，3個自由度振動系統(tǒng)具有3個固有圓頻率。下面對其取值情況進行討論。在式（4-8）的兩端，前乘

的轉(zhuǎn)置，可得到（4-12）由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣

是正定的，剛度矩陣是正定的或半正定的，因此有（4-13）于是，由式（4-12）得到（4-14）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)因此，頻率方程（4-11）中所有的固有圓頻率值都是實數(shù)，并且是正數(shù)或為零。進而可求出系統(tǒng)的固有頻率。通過剛度矩陣為正定的，稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的，稱之為半正定系統(tǒng)。對應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零。一般的振動系統(tǒng)的3個固有頻率的值互不相等（也有特殊情況）。將各個固有圓頻率按照由小到大的順序排列為（4-15）式中，最低階固有頻率

稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為第二階、第三階固有頻率。例4-1圖4-5是一個三自由度系統(tǒng)，,,,,,,求系統(tǒng)的固有圓頻率。圖4-5三自由度系統(tǒng)質(zhì)量塊

，和的垂直位移，和是廣義坐標(biāo)。根據(jù)式（4-4），系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以寫成（4-16）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)將

，帶入公式（4-11）可得（4-17）展開上式，可得（4-18）上述公式的特征值可用matlab求得（4-19）固有圓頻率為（4-20）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

將各個固有圓頻率（特征值）代入式（4-9），可分別求得相對應(yīng)A。例如，對應(yīng)于

可以求得，它滿足（4-21）

為對應(yīng)于

的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以的頻率做自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為系統(tǒng)的第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。

由于式（4-21）是線性代數(shù)中特征值問題，它相當(dāng)于是

的齊次線性代數(shù)方程組，一般來說，其中只有2個是線性無關(guān)的，所以求解主振型矢量時，通常是取其中某個元素的值為1，進而確定其他元素，該過程稱為歸一化。對于任何一個3自由度振動系統(tǒng)，總可以找到3個固有頻率和與之對應(yīng)的3階主振型（4-22）對此進行歸一化，令

，于是可得第i階主振型矢量為（4-23）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主振型矢量

也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。由特征矩陣可得其逆矩陣為（4-24）式（4-24）左右兩邊前乘

，則得到（4-25）式中，

為單位矩陣。將固有圓頻率代入式（4-25），則有（4-26）因為

，于是有（4-27）式中，

和是將之值代入之后的矩陣?，F(xiàn)將式（4-26）和式（4-21）進行比較，可以得到主振型矢量與特征矩陣的伴隨矩陣中的任何非零式列成比例，所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。例4-2求如圖4.5所示的系統(tǒng)的主振型系統(tǒng)的固有圓頻率為第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)（4-28）將固有頻率代入式（4-9）得（4-29）（4-30）令

，將，，帶入上式得（4-31）則主振型為（4-32）例4-3求解如圖4-6所示系統(tǒng)的振動方程、固有頻率和主振型。系統(tǒng)參數(shù)為：

，，。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-6根據(jù)式（4-4），系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以寫成（4-33）將

，代入式（4-11）,得（4-34）展開上式可得（4-35）通過因式分解可得（4-36）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)系統(tǒng)的固有頻率為（4-37）根據(jù)式（4-9）可得（4-38）將

，，帶入上式并令可得（4-39）則系統(tǒng)的主振型為（4-40）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)在3自由度振動系統(tǒng)中，具有3個固有圓頻率和與之對應(yīng)的3階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。設(shè)

、分別是對應(yīng)于固有圓頻率、的主振型，由式（4-8）得到下列兩式（4-41）（4-42）將式（4-41）兩邊轉(zhuǎn)置，然后右乘

，由于、都是對稱矩陣，得到（4-43）將式（4-42）兩邊左乘

，得（4-44）式（4-43）與式（4-44）相減后得（4-45）如果當(dāng)

時，有，則由式（4-45）得（4-46）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)將式（4-46）代入式（4-43）得（4-47）當(dāng)

時，式（4-45）總能成立，令（4-48）（4-49）由式（4-43），令

，可得關(guān)系式（4-50）所以，

稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)以各階主振型矢量為例，按順序排列成一個3×3階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即（4-51）根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個性質(zhì)（4-52）式中（4-53）分別是主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣。式（4-52）表明，主振型矩陣

具有如下性質(zhì)：當(dāng)、為非對角陣時，如果分別前乘主振型矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，后乘以主振型矩陣，則使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)變成對角矩陣、。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主振型

表示系統(tǒng)做主振動時，各坐標(biāo)幅值的比。在前面的計算中，一般采用將其第一個元素為1從而進行歸一化。這種歸一化的方法對于縮小計算數(shù)字和繪出振型很方便。為了以后計算系統(tǒng)對各種響應(yīng)的方便，這里將介紹另一種歸一化的方法（質(zhì)量歸一化），即使由對角陣變換為單位陣。為此，將主振型矩陣的各列除以其對應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即（4-54）這樣得到的振型稱為正則振型，

稱為第i階正則振型。正則振型的正交關(guān)系是（4-55）（4-56）式中，

為第i階固有圓頻率。以各階正則振型為例，依次排列成一個3×3階方陣，稱此方陣為正則振型方陣，即（4-57）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)由正交性可導(dǎo)出正則矩陣

的兩個性質(zhì)（4-58）稱

為譜矩陣。例4-4求如圖4-6所示系統(tǒng)的主質(zhì)量矩陣、主剛度矩陣、歸一化模態(tài)矩陣、歸一化剛度矩陣。通過例4-3可得（4-59）主振型矩陣為（4-60）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主質(zhì)量矩陣為（4-61）主剛度矩陣為（4-62）歸一化因子為（4-63）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)歸一化模態(tài)矩陣為（4-64）歸一化剛度矩陣為（4-65）例4-5求如圖4.7所示系統(tǒng)的主質(zhì)量矩陣、主剛度矩陣、歸一化模態(tài)矩陣、歸一化剛度矩陣。參數(shù)如下：

,。圖4-7三盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)根據(jù)式（4-4），系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以寫成（4-66）將

，代入式（4-11）可得（4-67）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)展開上式（4-68）特征值為（4-69）根據(jù)式（4-9）并令

，系統(tǒng)模態(tài)為（4-70）主振型為（4-71）主質(zhì)量矩陣為第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)（4-72）主剛度矩陣為（4-73）歸一化模態(tài)矩陣為（4-74）歸一化剛度矩陣為（4-75）4.2固有頻率與主振型4.2.1頻率方程4.2.2主振型4.2.3主振型的正交性4.2.4主振型矩陣與正則振型矩陣

4.2.5主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

1.主坐標(biāo)

這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由式(4.35)的展開式看出

即

或

（4-76）（4-77）（4-78）（4-79）（4-80）汽車多自由度振動系統(tǒng)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)即原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看出是由3個主振型按一定的比例組合而成。將式(4-76)和式(4-78)代入運動微分方程(4.4)，得

由主振型矩陣的兩個性質(zhì)，即式(4-52)，得

由正則振型矩陣的兩個性質(zhì)，即式(4-58)，得

或

2.正則坐標(biāo)（4-85）（4-81）（4-82）（4-83）（4-84）（4-88）（4-89）（4-87）（4-86）4.3汽車多自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)

當(dāng)忽略汽車懸架系統(tǒng)阻尼對汽車系統(tǒng)振動的影響，則汽車三自由度振動系統(tǒng)可以被簡化為一個無阻尼振動系統(tǒng)。汽車二自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)將式(4-4)微分方程表示為矩陣形式如下：其中：列寫振動方程

當(dāng)t=0時，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為

求系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。（4-90）（4-91）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)求解方法先利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的方程式轉(zhuǎn)換成3個獨立的單自由度形式的運動微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動的理論，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標(biāo)求出3自由度無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。將正則坐標(biāo)變換的表達式

由單自由度系統(tǒng)自由振動的理論，可得到上式對初始條件的響應(yīng)為

代入式(4-4)中，便得到用正則坐標(biāo)表示的運動微分方程如(4-88)的形式，即（4-92）（4-93）（4-94）第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)(4-98)

(4-95)

(4-96)將式(4-96)代入式(4-95)，得

(4-97)由式(4-48)可得到

第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)(4-100)(4-99)將式（4-98）代入式（4-94）中，便得到用正則坐標(biāo)表示的系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)；然后，再利用式（4-85）的坐標(biāo)變換，得到式（4-99）表明，系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，因而，本方法又稱為振型疊加法。對于半正定系統(tǒng)，又固有圓頻率

，系統(tǒng)具有剛體運動振型，因此，有上式積分兩次得到第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

解：系統(tǒng)的微分方程為

(4-101)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)寫成矩陣形式：

可以寫出其特征矩陣為

(4-103)(4-104)(4-102)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

將各個固有圓頻率代入，可以求出各階主振型為

主陣型矩陣為

(4-106)(4-107)(4-105)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)可以求出主質(zhì)量矩陣為

根據(jù)式(4-54)，求出正則振型矩陣為

由式(4-96)得

(4-109)(4-110)(4-108)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)再由式(4-98)，得到

根據(jù)式(4-94)可得

由式(4-99)，可求出系統(tǒng)響應(yīng)(4-111)(4-112)(4-113)(4-114)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-8汽車三自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的位移時程曲線由于三自由度振動系統(tǒng)求解比較困難，可以利用MATLAB計算上述式子。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-9汽車三自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)Simulink模型此外，利用的汽車三自由度無阻尼自由振動的微分方程，在Simulink中搭建如圖4-9所示的仿真模型，也可以得到相同的位移時程曲線。第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)4.4汽車多自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)

圖4-10

汽車三自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)以圖4.4.1所示的汽車三自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)為研究對象，取座椅、車身和車輪的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，車身和車輪振動位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力

汽車三自由度有阻尼系統(tǒng)受迫振動的微分方程為(4-115)(4-116)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)將上式表示為矩陣形式如下：

(4-117)當(dāng)多自由度振動系統(tǒng)中的阻尼矩陣是比例阻尼時，利用正則坐標(biāo)變換可對方程(4-117)解耦。即

(4-118）式中則式(4-118)可寫成(4.120)(4-119)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)由單自由度受迫振動理論，可得到式(4-120)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為式中再由正則坐標(biāo)變換關(guān)系式(4-122)(4-121)(4-125)這種方法稱為求有阻尼振動系統(tǒng)的響應(yīng)的振型疊加法。利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換使方程解耦的分析方法，稱為正規(guī)模態(tài)法或?qū)嵞B(tài)分析法。(4-123)

(4-124)得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

解:

（1）由簡化模型列些無阻尼受迫振動方程

式中

(4-126)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

將各個固有圓頻率代入，可以求出各階主振型為

(4-127)(4-128)(4-129)(4-130)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)主陣型矩陣為

可以求出主質(zhì)量矩陣為

根據(jù)式(4-54)，求出正則振型矩陣為

(4-131)(4-133)(4-132)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

引入振型阻尼比，則或(4-134)(4-135)(4-136)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)求正則坐標(biāo)的響應(yīng)由則(4-137)(4-138)(4-139)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)

圖4-11汽車三自由度有阻尼受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線求系統(tǒng)的響應(yīng)利用MATLAB程序繪制位移曲線。(4-140)第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-12汽車三自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)Simulink模型

第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)圖4-13汽車三自由度有阻尼受迫振動系統(tǒng)Simulink模型第四章汽車多自由度振動系統(tǒng)4.5工程案例：汽車多自由度系統(tǒng)振動特性仿真分析

汽車三自由度模型如圖4-14所示。汽車初始變量如表4-1所示。求：（1）側(cè)偏角時域仿真分析；（2）橫擺角速度時域仿真分析；

（3）橫擺角時域仿真分析;圖4-14三自由度汽車模型符號單位含義值mkg汽車質(zhì)量1985mskg簧載質(zhì)量1500hsm質(zhì)心S到橫擺軸的距離0.48FyfN前輪側(cè)向力--FyrN后輪側(cè)向力--δfrad前輪轉(zhuǎn)向角--δrrad后輪轉(zhuǎn)向角0αfrad前輪側(cè)偏角--αrrad后輪側(cè)偏角--rrad/s偏航率--?rad車身偏航角--prad/s--S--簧載質(zhì)量質(zhì)心--P--非簧載質(zhì)量質(zhì)心--CG--汽車質(zhì)心--Izzkg*m2繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量2450Ixxkg*m2繞X軸的轉(zhuǎn)動慣量660Ixzkg*m2平面的慣性積由車輛關(guān)于x軸和z軸的兩個方程組成0KfN/rad前輪側(cè)傾剛度12600KrN/rad后輪側(cè)傾剛度16300Rf--前輪側(cè)傾轉(zhuǎn)向系數(shù)-0.314Rr--后輪側(cè)傾轉(zhuǎn)向系數(shù)0lfm質(zhì)心與前輪之間的距離1.1lrm質(zhì)心與后輪之間的距離1.77lm前后輪之間的距離,（l=lf+lr）2.88K?fN/rad前懸架側(cè)傾剛度--K?rN/rad后懸架側(cè)傾剛度--K?N/rad懸架總側(cè)傾剛度,（K?=K?f+K?r）62000C?fNm/rad前輪橫擺阻尼--C?rNm/rad后輪橫擺阻尼--C?Nm/rad懸架總橫擺阻尼，（C?=C?f+C?r）3800Vm/s汽車速度30gm/s2重力加速度9.8表4-