安徽省蚌埠市高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題

蚌埠市2024屆高三年級(jí)第三次教學(xué)質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交運(yùn)算即可求解.【詳解】，故選：A2.己知平面向量，，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，解得，所以D正確.故選：D.3.已知曲線，則“”是“曲線C的焦點(diǎn)在x軸上”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】若，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí).【詳解】若，則曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故充分性成立；若曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，也有可能是，此時(shí)曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故必要性不成立，故選：A4.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得到，從而求出、.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，又，所以，因?yàn)榍?，所以，所以又，所以?故選：B5.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若是等差數(shù)列，，則（）A. B. C.0 D.4【答案】C【解析】【分析】由已知是等差數(shù)列，可求得的公差，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，可得，利用，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以的公差，所以，所以，所以，故選:C.6.的展開式中，的系數(shù)為（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合多項(xiàng)式的乘法法則，列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，，所以的展開式中，的系數(shù)為.故選：B7.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最小的一組是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，分別求出選項(xiàng)中的方差，根據(jù)方差的大小即可判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小，結(jié)合選項(xiàng)即可求解．【詳解】對(duì)于A，所以，對(duì)于B，所以，對(duì)于C，所以，對(duì)于D，所以，故選：C8.已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得直線的方程，聯(lián)立與拋物線的方程后，利用韋達(dá)定理可求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知，,準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作于,于,于,設(shè)，由拋物線的定義知,所以，所以，，所以,所以,則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，，則，所以，，所以,則,所以，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的值可以是（）A. B.1 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)條件求得的范圍，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，符合題意，A正確；則時(shí)，，符合題意，B正確；則時(shí)，，符合題意，C正確；則時(shí)，，不符合題意，D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時(shí)間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時(shí)間分別為，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，可求得，繼而求得，逐項(xiàng)判定即可.【詳解】有題意可知，，當(dāng)，則，即，，則，其是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.11.已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.無論M，N在何位置，為異面直線 B.若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP與平面所成角的正弦最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)相交，而即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可判斷P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，即可判斷B，根據(jù)法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據(jù)線面角的向量法，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由于相交，而，因此為異面直線，A正確，當(dāng)M是棱中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),故，且，由于，故，化簡(jiǎn)得，由于，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，故長(zhǎng)度為，B正確，設(shè),則，且，，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，由于，故，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯(cuò)誤，由于平面，平面，故,又四邊形正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量為，設(shè)AP與平面所成角為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，時(shí)，令，則，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，由且可得因此，由于，，故的最大值為，故D正確，、故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】利用具體函數(shù)定義域的求法與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.13.已知曲線和，若C與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)_________；若C與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】①.0或4②.【解析】【分析】若C與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析求解；若C與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱性可知C與在內(nèi)只有1個(gè)交點(diǎn)，且不過，聯(lián)立方程可得關(guān)于x方程只有一個(gè)正根，且根不為0，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布分析求解.【詳解】由題意可知：曲線表示圓心為，半徑為的圓，若C與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得或；因?yàn)镃與均關(guān)于y軸對(duì)稱，注意到與y軸的交點(diǎn)為，若C與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于C與在內(nèi)只有1個(gè)交點(diǎn)，且不過，此時(shí)，聯(lián)立方程，消去y得，即關(guān)于x方程只有一個(gè)正根，且根不為0，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：0或4；.14.已知的角A，B，C滿足，其中符號(hào)表示不大于x的最大整數(shù)，若，則_________．【答案】1【解析】【分析】先證得，結(jié)合條件得必為整數(shù)，分為鈍角三角形與銳角三角形討論求得的值【詳解】由，得.記，由條件得，因?yàn)?，所以必為整?shù).如果為鈍角三角形，則，則、均為銳角，從而、為正整數(shù)()，于是，這時(shí)有，矛盾.于是只能是銳角三角形，則.又.若，則，從而不能成立;若，則，由，得;若，則，由，得，與矛盾.所以，即，所以.故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是由推得必為整數(shù)，再結(jié)合求解.四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出說明文字、證明過程或演算步驟.15.已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，一條漸近線的方程為．（1）求雙曲線E的離心率；（2）設(shè)直線與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)左頂點(diǎn)與漸近線的方程求得即可得到離心率；（2）求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)代入弦長(zhǎng)公式求解.【小問1詳解】由題意知，且，，所以雙曲線的離心率．【小問2詳解】由（1）知雙曲線方程為，將即代入，得，不妨設(shè)，所以．16.寒假期間小明每天堅(jiān)持在“跑步3000米”和“跳繩2000個(gè)”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉，在不下雪時(shí)候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天，他跑步的概率為，跳繩的概率為．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大約消耗能量330卡路里，跳繩2000個(gè)大約消耗能量220卡路里．記寒假第天不下雪的概率為．（1）求，，的值，并證明是等比數(shù)列；（2）求小明寒假第天通過運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗能量的期望．【答案】（1），，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）據(jù)題意，建立與的遞推關(guān)系，通過構(gòu)造出等比數(shù)列；（2）通過計(jì)算小明寒假第n天跑步的概率，進(jìn)一步可以求得鍛煉消耗能量的期望.【小問1詳解】依題意，，依題意整理得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率，從而小明寒假第n天跑步的概率為，則他第n天通過運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗能量為．17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面是以為底的等腰三角形，，E在上，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在底面中解三角形可得，，可證得平面，從而得平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，求得二面角的余弦值．【小問1詳解】由題意知，則在中，，，從而，中，，則，又平面，，所以平面，而平面，∴平面平面．【小問2詳解】由（1）知平面，平面，，，所以為等邊三角形，如圖，在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面，以，，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，從而顯然平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則即取，記二面角的平面角為（由圖可知為銳角），則即二面角的余弦值為．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)建函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析證明；（2）構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：當(dāng)時(shí)，，分情況討論的取值范圍，根據(jù)恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.【小問1詳解】記，，則，因?yàn)?，則，可得，可知在上單調(diào)遞增，則，即，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，記，，則，可知在上單調(diào)遞增，則，即，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，．【小問2詳解】由題意可知：等價(jià)于，記，可知的定義域?yàn)椋瑒t，可知為定義在內(nèi)為偶函數(shù)，所以題設(shè)等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，（i）當(dāng)時(shí)，，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，整理得，①?dāng)時(shí)，由（1）可知：，，則，可得又因?yàn)椋芍嬖?，使得，因此?dāng)，即不成立，不合題意；②當(dāng)時(shí)，可得，記，由（1）可知：，，可得，，可得，因?yàn)椋瑒t，，由（1）可得，則，可得，可知在單調(diào)遞減，則恒成立，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．19.對(duì)于無窮數(shù)列，我們稱（規(guī)定）為無窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．（1）證明：；（2）記．證明：（