數(shù)學-遼寧實驗中學2023-2024學年高三上學期期中考帶答案

遼寧省實驗中學2023—2024學年度上學期期中階段測試高三年級數(shù)學試卷是符合題目要求的.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.冪函數(shù)f（x）的圖象過點2則f（x）的一個單調遞減區(qū)間是().4.歐拉公式exi=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，x=R是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式，e-的共軛復數(shù)為()A.+iB.-iC.-+iD.--i5.已知角a終邊與單位圓的交點為P-,，則+的值為()第1頁/共5頁則λ=()A.-1B.C.1D.27.已知函數(shù)f(x)=，若對任意的正數(shù)a、b，滿足f(a)+f(2b-2)=0，則+的最小值為A.2B.4C.6D.8B.C.D.)9.m、n是兩條不同的直線，a、β是兩個不重合的平面，下列說法正確的是()A.m、n是異面直線，若m//a，m//β,n//a，n//β,則a//βB.若a//β,m//a，則m//βC.若mln，m仁a，n仁β,則alβD.若mla，m//n，n//β,則alβ10.關于函數(shù)f(x)=2sin3x-π,下列說法正確的是()A.由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整數(shù)倍B.f(x)=-2cos3x-C.f(x)圖像可由y=2sin3x向右平移π個單位得到D.f(x)在,上為增函數(shù)11.《九章算術》是我國古代數(shù)學中的經典，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在陽馬P-ABCD中，側棱PDl底面ABCD，且第2頁/共5頁PD=CD=a，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE．以下結論正確的有()A.DE平面PABB.四面體EBCD是鱉臑C.若陽馬PABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，則V1=4V2D.若四面體EBCD的外接球的體積為a3，則CD=AD.A.f(x)的圖象關于(1,0)對稱B.4是f(x)的一個周期C.f(2023)=4048D.f(1013)=213.函數(shù)f(x)=3x+ln2的導函數(shù)f,(x)=.14.已知動點P在正方體ABCD一A1B1C1D1的對角線BD1（不含端點）上．設=λ,若ZAPC為鈍角，則實數(shù)λ的值為.的外接球的表面積為.17.已知數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且a1{an}的通項公式；第3頁/共5頁（2）求數(shù)列{an}前n項的和Sn.19.某職稱考試有A，B兩門課程，每年每門課程均分別有一次考試機會，若某門課程上一年通過，則下一年不再參加該科考試，只要在連續(xù)兩年內兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準備今年兩門課程全部參加考試，預測每門課程今年通過的概率均為；若兩門均沒有通過，則明年每門課程通過的概率均為；若只有一門沒過，則明年這門課程通過的概率為.（1）求該考生兩年內可獲得該職稱的概率；（2）設該考生兩年內參加考試的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望.20.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面‘ABC是等腰直角三角形,ZACB=90。，AC=BC=2，D,E分別為CC1,A1B的中點且E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G.（1）求證：DE//平面ABC；（2）求二面角BADE的平面角的余弦值.（1）若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線y=x平行，求該切線方程；22.已知函數(shù)f(x)=ex一1ax，xE(0,1]，f,(x)為其導函數(shù)．函數(shù)f(x)在其定義域(0,1]內有零點x0.第4頁/共5頁x0x0a 1-1a.第5頁/共5頁遼寧省實驗中學2023—2024學年度上學期期中階段測試高三年級數(shù)學試卷是符合題目要求的.【答案】D【解析】【分析】先求CUB，再求交集即可.【詳解】由題意可知：CUB故選：D.【點睛】本題考查集合的補運算、交運算，屬基礎題.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)不等式成立的條件求出x的取值范圍，然后根據(jù)充分必要條件的判斷原則即可選出答案.【詳解】解：由題意得：由(x2[-3,+構)的真子集，所以p是q的必要而第1頁/共21頁333.冪函數(shù)f（x）的圖象過點2則f（x）的一個單調遞減區(qū)間是()【答案】A【解析】 4【分析】設f(x)=xa,根據(jù)f 4,解出a=-2,根據(jù)冪函數(shù)的單調性可得答案.【詳解】設f(x)=xa,則f(2)=所以a=-2,所以f(x)=x-2,,即2a所以f(x)=x-2的遞減區(qū)間為(0,+構),故選:A【點睛】本題考查了求冪函數(shù)的解析式,考查了冪函數(shù)的單調性,屬于基礎題.e-3的共軛復數(shù)為()4.歐拉公式exi=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，xeR是由瑞士著名數(shù)學家歐拉e-3的共軛復數(shù)為()位，被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式， A.B.2- A.B.2-2-1-iC.D.-1-iC.D.【答案】A【解析】z=z=1-3i，再計算共軛復數(shù)得到答案.-i，-i，故-3z=3z=e故選：A.(34)(34) 1+sin2a+2-2cos2a的值為()第2頁/共21頁A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)終邊上的點求正弦值和余弦值，再根據(jù)二倍角正弦和余弦公式計算即可.722根25=+=.故選:C.則λ=()A.1【答案】D【解析】組，即可求解.2+(λ1).2故選：D.第3頁/共21頁7.已知函數(shù)f(x)=，若對任意的正數(shù)a、b，滿足f(a)+f(2b-2)=0，則+的最小值為A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)f(x)的單調性和奇偶性，可得出a+2b后利用基本不等式可求得+的最小值.【詳解】對任意的xeR，ex+1>0，所以，函數(shù)f(x)=exex+1因為f(-x)====-f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又因為f(x)==1-，且函數(shù)y=ex+1在R上為增函數(shù)，所以，函數(shù)f(x)=在R上為增函數(shù)，對任意的正數(shù)a、b，滿足f(a)+f(2b-2)=0，則f(a)=-f(2b-2)=f(2-2b)，l時，等號成立，故+的最小值為4.第4頁/共21頁B.C.D.)【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等變換化簡得出B=2A，利用‘ABC為銳角三角形求出角Aa質可求得的取值范圍.+2cosA-1，利用二次函數(shù)的基本性【詳解】由余弦定理可得a2+ac=b2=a2+c2-2accosB由正弦定理可得sinA=sinC-2sinAcosB=si=sinAcosB+cosAsinB-2cosBsinA=sinBcosA-cosBsinA=sin(B-A)，(π)ππ(π)ππ因為正弦函數(shù)y=sinx在-,上單調遞增，所以，A=B-A，所以，B=2A，則C=π-B-A=π-3A，|π2b+csinB+sinCsin2A+sin3A2sinAcosA+sinAcos2AasinAsinAsinA令t=2cosA=(,)，則函數(shù)y=t2+t-1在(,)上為增函數(shù)，第5頁/共21頁故選：D.9.m、n是兩條不同的直線，a、β是兩個不重合的平面，下列說法正確的是()A.m、n是異面直線，若m//a，m//β,n//a，n//β,則a//βB.若a//β,m//a，則m//βC.若mLn，m仁a，n仁β,則aLβD.若mLa，m//n，n//β,則aLβ【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的性質、面面平行的性質可判斷A選項；利用線面、面面的位置關系可直接判斷BC選項；利用線面平行的性質、面面垂直的判定定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在直線m上取一點O，過點O作直線n,，使得n,//n，過直線n作平面y，使得a八y=a，如下圖所示：因為n//a，n仁y，a八y=a，則a//n，又因為n,//n，則a//n,，因為n,仁a，a仁a，則n,//a，設直線m、n,確定平面Ψ,對于B選項，若a//β,m//a，則m//β或m仁β,B錯；對于C選項，若mLn，m仁a，n仁β,則a、β相交（不一定垂直）或平行，C錯；對于D選項，因為mLa，m//n，則nLa，過直線n作平面y，使得βny=b，如下圖所示：第6頁/共21頁因為n//β,n仁y，βny=b，則b//n，因為nLa，則bLa，又因為b仁β,所以，aLβ,D對.故選：AD.10.關于函數(shù)f(x)=2sin3x-π,下列說法正確的是()A.由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整數(shù)倍B.f(x)=-2cos3x-C.f(x)圖像可由y=2sin3x向右平移π個單位得到D.f(x)在,上為增函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結合正弦型函數(shù)的圖象與性質，結合三角函數(shù)的誘導公式和圖象變換，逐項判定，即可求解.解得3x1-π=kπ,3x2-π=mπ,kEZ,mEZ，則3x1-3x2=(k-m)π,kEZ,mEZ，所以x1-x2=,kEZ,mEZ，所以A不正確；對于B中，由函數(shù)f(x)=2sin(3x-π)=-2cos[(3x-π)+]=-2cos(3x-)，所以B正確；對于C中，將函數(shù)y=2sin3x的圖象向右平移π個單位，第7頁/共21頁得到f(x)=2sin[3(x-)]=2sin(3x-)=2sin(3x-)，所以C不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的性質，可得函數(shù)f(x)在xE,為單調遞增函數(shù)，所以D正確.故選：BD.11.《九章算術》是我國古代數(shù)學中的經典，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在陽馬P-ABCD中，側棱PDl底面ABCD，且PD=CD=a，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE．以下結論正確的有()A.DE平面PABB.四面體EBCD是鱉臑C.若陽馬P-ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，則V1=4V2D.若四面體EBCD的外接球的體積為a3，則CD=AD.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，可判斷A選項；由線面垂直的判定定理得BCl平面PCD，DEl平面PBC，可判斷B選項；根據(jù)錐體體積公式可判斷C選項；由題可知四面體EBCD外接球的半徑為BM，再由球體的體積公式即可判斷.【詳解】如圖，取PB中點F，連接EF，AF，因為E是PC的中點，所以EF//BC，EF=BC，因為底面ABCD為長方形，所以AD//BC，AD=BC，所以EF//AD，EF=AB，所以四邊形ADEF為梯形，所以直線DE與AF相交，因為AF仁平面PAB，所以直線DE與平面PAB相交，所以A錯誤；因為PDl底面ABCD，所以PDlBC，因為ABCD為長方形，所以DClBC，因為PD仁PCD,DC仁PCD且PD八DC=D因為DE仁平面PCD，所以BClDE，因為PD=CD=a，所以DElPC，又BC仁平面PBC，PC仁平面PBC，且BC八PC=C，所以DEl平面PBC，所以四面體EBCD四個面都是直角三角形，所以四面體EBCD是鱉臑，所以B正確；第8頁/共21頁由題意可知PD是陽馬P一ABCD的高，所以V1=S-ABCD.PD，因為E是PC的中點，所以VSΔBCD.PD=xS-ABCD.PD=V1，所以C正確；連接AC，則AC與BD相交與點M，連接EM，則M為四面體EBCD外接球的球心，所以半徑為BM，錯誤.22(2)264π(1)364π(1)3 3故選：BCA.f(x)的圖象關于(1,0)對稱B.4是f(x)的一個周期C.f(2023)=4048D.f(1013)=2【答案】AD【解析】，A正確，計算f(0)產f(4)，B錯誤，構造到答案.函數(shù)圖象關于(1,0)對稱，正確；第9頁/共21頁則g(x)=2，f正確；故選：AD【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數(shù)的性質，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中構造新函數(shù)，確定新函數(shù)的周期再計算函數(shù)值是解題的關系，此技巧需要熟練掌握.13.函數(shù)f(x)=3x+ln2的導函數(shù)f,(x)=.【答案】3xln3【解析】【分析】直接求導得到答案.故答案為：3xln314.已知動點P在正方體ABCD一A1B1C1D1的對角線BD1（不含端點）上．設=λ,若ZAPC為鈍角，則實數(shù)λ的值為.【解析】【分析】以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD一A第10頁/共21頁根據(jù)=λ,得到P(λ,λ,1一λ)，結合.<0，即可求解.【詳解】以D為坐標原點，以DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y和z軸，建立空間直角坐標系，如圖所所以x=λ,y=λ,z=1λ,即P(λ,λ,1λ)，因為點P與點B不重合，所以ZAPC子180。，所以ZAPC為鈍角，等價于cosZAPC<0，所以.=(1λ,λ,λ1).(λ,1λ,λ1)=3λ24λ+1<0，解得<λ<1，即實數(shù)λ的取值范圍為(,1).第11頁/共21頁【答案】1【解析】【分析】先根據(jù)四點共圓得出同弧對的圓周角相等，再根據(jù)正弦定理得出邊長，最后應用數(shù)量積公式及運算律計算即可.ΔABC,si5°=si°,AC=62,=xxxx=2+262=1的外接球的表面積為.【答案】【解析】【分析】取AC的中點O，連接OP、OB，推導出PA、PB、PC兩兩垂直，以點P為坐標點，PA、PB、PC所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，三棱錐E一ABC的球心為M(x,y,z)，利用空間第12頁/共21頁中兩點間的距離公式可得出關于x、y、z的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，可得出球心M的坐標，可求出三棱錐EABC的外接球的半徑，再結合球體表面積公式可求得結果.【詳解】取AC的中點O，連接OP、OB，如下圖所示：因為三棱錐PABC為正三棱錐，則PAPCPB，ΔABC為等邊三角形，又因為O為AC的中點，所以，OPAC，OBAC，因為OPnOBO，OP、OB平面OPB，所以，AC平面OPB，因為PB平面OPB，所以，ACPB，因為E、F分別是PA、AB的中點，則EF//PB，因為CEF90。，即EFCE，所以，PBCE，因為ACnCEC，AC、CE平面PAC，所以，PB平面PAC，因為PA、PC平面PAC，所以，PAPB，PBPC，因為三棱錐PABC為正三棱錐，則PAPC，即PA、PB、PC兩兩垂直，以點P為坐標點，PA、PB、PC所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，第13頁/共21頁|(||x|8|(||x|8((|(|(|(|(( )222(2=( )222(2=x )222 )222 )2222=x )2222=x )222()222()2|8|3因此，三棱錐E-ABC的外接球的表面積為4πR2=4π根2=.故答案為：.17.已知數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且a1{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}前n項的和Sn.【答案】【解析】通項公式；（2）利用錯位相減法可求得Sn.【小問1詳解】第14頁/共21頁【小問2詳解】【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可得出tanB的值，結合角B的取值范圍可得出角B（2）利用余弦定理求出b的值，再利用正弦定理可求得sinC的值.【小問1詳解】解：因為cosC=，由正弦定理可得cosC=，所以，sinCsinB=sinA-sinBcosC=sin(B+C)-sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC-sinBcosC=cosBsinC，π .4π .4【小問2詳解】第15頁/共21頁csinCcsinC由正弦定理可得2a由余弦定理可得b2ac22accosB9223bsinBcsinBb 519.某職稱考試有A，B兩門課程，每年每門課程均分別有一次考試機會，若某門課程上一年通過，則下一年不再參加該科考試，只要在連續(xù)兩年內兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準備今年兩門課程全部參加考試，預測每門課程今年通過的概率均為；若兩門均沒有通過，則明年每門課程通過的概率均為；若只有一門沒過，則明年這門課程通過的概率為.（1）求該考生兩年內可獲得該職稱的概率；（2）設該考生兩年內參加考試的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望.【解析】【分析】（1）設該考生兩年內可獲得該職稱的事件為A，計算概率得到答案.（2）X的可能取值為2，3，4，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望即可.【小問1詳解】設該考生兩年內可獲得該職稱的事件為A，PA1121；【小問2詳解】X的可能取值為2，3，4.PX2；PX312；PX411；X的分布列為：第16頁/共21頁X234p 14 2 1420.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是等腰直角三角形,ZACB=90。，AC=BC=2，D,E分別為CC1,A1B的中點且E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G.（1）求證：DE//平面ABC；（2）求二面角B-AD-E的平面角的余弦值.【解析】【分析】（1）取AB的中點M，證得EM//CD，且EM=CD，得到四邊形CDEM為平行四邊形，得出DE//CM，結合線面平行的判定定理，即可證得DE//平面ABC；的射影是ΔABD的重心，列出方程求得a=1，再求得平面ADE和平面ABD的一個法向量=(1,-1,2)和【小問1詳解】證明：取AB的中點M，分別連接EM,CM，因為E,M分別為A1B,AB的中點，所以EM//AA1，且EM=AA1，又因為AA1//CC1,AA1=CC1，且D為CC1的中點，所以EM//CD，且EM=CD，第17頁/共21頁所以四邊形CDEM為平行四邊形，所以