重構(gòu)核粒子法在二維及三維勢(shì)問題中的應(yīng)用

目錄TOC\o"1-3"\h\u摘要 第一章緒論研究背景數(shù)值計(jì)算是通過使用智能計(jì)算器等工具來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算，從而獲取數(shù)值結(jié)果的過程。在數(shù)學(xué)發(fā)展的早期階段，針對(duì)解決各種實(shí)際問題的需求，人們便開始著手進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的研究。然而，想要獲得高效率和精準(zhǔn)度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，離不開先進(jìn)的計(jì)算工具的支持。計(jì)算方法是一種數(shù)學(xué)方法，如今，在眾多科學(xué)研究和工程領(lǐng)域中，這種方法被廣泛運(yùn)用于多個(gè)行業(yè)、領(lǐng)域和應(yīng)用場(chǎng)景中。其中包括：在航天器的設(shè)計(jì)、發(fā)射和飛行過程中，計(jì)算方法可以通過模擬和分析來優(yōu)化設(shè)計(jì)和提高性能；利用計(jì)算方法對(duì)地球物理信號(hào)進(jìn)行處理和解釋，來獲取更準(zhǔn)確、可靠的地質(zhì)信息；在現(xiàn)代天氣預(yù)報(bào)中，此法可以利用數(shù)值模型對(duì)大氣環(huán)境進(jìn)行數(shù)值模擬和預(yù)測(cè)，提高天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確度等等。幫助科學(xué)家和工程師們有效的解決各種實(shí)際的問題，推動(dòng)社會(huì)向前進(jìn)步。隨著社會(huì)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，數(shù)值計(jì)算方法也在發(fā)生著迅速的變化。比如，優(yōu)化算法和模擬計(jì)算等新興技術(shù)正在越來越多地應(yīng)用于廣泛領(lǐng)域。因此，未來數(shù)值計(jì)算將會(huì)變得更加有效、精確并且強(qiáng)大。目前來看，有很多數(shù)值方法得到了發(fā)展，例如：無網(wǎng)格法、多重網(wǎng)格法、近似求解誤差估計(jì)法、加權(quán)殘數(shù)法、邊界元法、有限差分法、多尺度計(jì)算方法、有限體積法。其中，有限元法是目前發(fā)展前景較為可觀的數(shù)值方法，并扮演重要角色于科學(xué)研究和社會(huì)發(fā)展中。有限元法作為一種前期發(fā)展的數(shù)值計(jì)算方法，被廣泛應(yīng)用于工程、物理和力學(xué)等領(lǐng)域。它將一個(gè)連續(xù)的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)離散的問題，在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)建立一組方程，通過求解這些方程集得到整個(gè)問題的解。有限元法的長處包括通用性強(qiáng)、精度高、適用范圍廣等。但是，針對(duì)特定領(lǐng)域的問題，其他數(shù)值方法可以取得更好的效果和更大的成果。多重網(wǎng)格方法，其優(yōu)點(diǎn)包括函數(shù)逼近速度快、計(jì)算精度高等。多重網(wǎng)格方法的基本原理是通過多級(jí)網(wǎng)格迭代算法，將一個(gè)大規(guī)模的問題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小規(guī)模的問題。多重網(wǎng)格方法與其他數(shù)值方法相比，其最大優(yōu)越性在于，它適用于求解“局部平穩(wěn)”問題。在這種類型的問題中，整個(gè)區(qū)域或者物理場(chǎng)可能存在某種固有的“尺度”，而且只有很少的這樣的尺度范圍才對(duì)結(jié)果產(chǎn)生明顯的影響。相反，如果僅僅是小尺度問題，那么使用多重網(wǎng)格方法也許就沒有必要了。因此，多重網(wǎng)格方法在模擬材料科學(xué)和圖像處理等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?？傊?，該法是一種多應(yīng)用于工程學(xué)科中的有效數(shù)值解法，能夠解決遇到的各種問題。邊界元法可以吸收借鑒有限元法離散化技術(shù)，并應(yīng)用到巖石力學(xué)分析、礦山環(huán)境模擬等的求解中。這些優(yōu)點(diǎn)引起了研究人員的興趣和信心。不同于有限元法的是，該方法將求解范圍離散化，在邊界處進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。這使得其具備有限元法沒有的優(yōu)點(diǎn)。以網(wǎng)格方法為基礎(chǔ)，有限元法和邊界元法等被得到了廣泛的應(yīng)用，在處理大變形、非靜態(tài)裂紋擴(kuò)展、流體和固體相互作用影響等問題時(shí)，由于網(wǎng)格很有可能會(huì)發(fā)生畸變，因而，在數(shù)值模擬過程中需要重新調(diào)整網(wǎng)格，這就指出了此法會(huì)浪費(fèi)掉許多時(shí)間以及降低計(jì)算的效率，而且還會(huì)降低計(jì)算結(jié)果的精度。為了避免對(duì)單元或網(wǎng)格內(nèi)容的依賴，從最近幾年發(fā)展趨勢(shì)來看，人們正在嘗試使用一種新穎的數(shù)值計(jì)算方法——無網(wǎng)格方法。因?yàn)橛辛藷o網(wǎng)格法的一系列優(yōu)勢(shì)，因此不會(huì)受到網(wǎng)格或單元的限制，當(dāng)涉及到網(wǎng)格的畸形變化、網(wǎng)格移動(dòng)等的相關(guān)問題時(shí)，這種方法就會(huì)顯露出明顯的優(yōu)勢(shì)。無網(wǎng)格法被研究的時(shí)間尚晚，是在二十世紀(jì)后期才發(fā)展研究的，存在著較多未解決的問題，因此，對(duì)其進(jìn)行相關(guān)的研究和應(yīng)用是非常重要的。相比于有限元法，它含有某些相似的特點(diǎn)，但又有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在以下幾方面：無網(wǎng)格法摒棄了對(duì)單元或網(wǎng)格的依賴，能夠處理裂紋擴(kuò)展問題、彈性動(dòng)力學(xué)問題、塑性流動(dòng)問題和大變形等的問題，因此不需要進(jìn)行網(wǎng)格改造，從而顯著提升了計(jì)算的精度和效率；在模擬分析功能梯度材料時(shí)，無網(wǎng)格法可以方便地施加材料參數(shù)，并且適合實(shí)際工程中參數(shù)連續(xù)變化的要求；無網(wǎng)格法中的基函數(shù)可以表現(xiàn)待求問題的特殊性質(zhì)，在解決工程問題過程中，具有很大優(yōu)勢(shì)；最后，無網(wǎng)格法計(jì)算得到的結(jié)果是平滑連續(xù)的，由于后處理工作較為簡單，因而不需要進(jìn)行應(yīng)力光順滑等后處理。無網(wǎng)格法的發(fā)展目前發(fā)展的有無網(wǎng)格方法有無單元Galerkin法、重構(gòu)核粒子法、有限點(diǎn)法、有限點(diǎn)法、光滑粒子法（SmoothParticleHydrodynamicMethod，簡稱SPH）、多尺度重構(gòu)核粒子法以及移動(dòng)粒子有限元法等[1]。無網(wǎng)格方法具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，是其他方法所無法比擬的，因此，可以預(yù)見該方法是一種非常有效求解復(fù)雜問題的方法。其中，本文用到的方法為重構(gòu)核粒子法，以下介紹了重構(gòu)核粒子法的發(fā)展史，以及此方法的應(yīng)用和改進(jìn)。研究無網(wǎng)格法就要追溯到1970年，那時(shí)，有限元法的研究正處于興盛階段，無網(wǎng)格法并沒有引起人們的注意，直到1990年初，在移動(dòng)最小二乘法研究成熟之后，在此之上提出了擴(kuò)散單元法，其中Nayroles等人在此方法的研究和應(yīng)用方面做出了突出重要貢獻(xiàn)[2]。基于此，Belytschko等人對(duì)該方法進(jìn)行了內(nèi)容和理論方面的改進(jìn)，最后才提出了無單元Galerkin方法，這使得無網(wǎng)格方法得以迅猛發(fā)展。1996年，Liu和Li提出了關(guān)于重構(gòu)法改進(jìn)的兩個(gè)方法。同年，Liu還提出了多尺度重構(gòu)核粒子法[3]。在2001年，Han等人對(duì)研究內(nèi)容主要集中在理論分析和誤差估計(jì)框架建立起來的重構(gòu)核粒子法進(jìn)行了理論分析，并引入了粒子分布正則族的新概念，推導(dǎo)出了粒子分布正則族上重構(gòu)核粒子法插值的最優(yōu)階誤差估計(jì)。這一成果不僅提高了重構(gòu)核粒子法的精確度，還為解決力學(xué)中的復(fù)雜問題提供了有效方法[1]。2003年，陳等人提出了重構(gòu)核插值公式，引入了Kroneckerdelta性質(zhì)，構(gòu)建了重構(gòu)條件，實(shí)現(xiàn)了混合插值和嚴(yán)格誤差分析。這個(gè)公式能夠有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)于采樣信號(hào)的重建，并且具備一定的穩(wěn)定性和精度。此外，陳等人還在研究中采用了一系列計(jì)算方法和優(yōu)化策略，進(jìn)一步提升了插值效果和計(jì)算速度。這些成果的提出，為數(shù)字信號(hào)處理和圖像處理等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用提供了穩(wěn)固的理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐[4]。2004年，Lee等提出了一種耦合方法。此外，還分析了耦合過程的收斂速度。2007年，王琥等人討論了三維重構(gòu)核粒子法體積成形模擬系統(tǒng)的并行算法[5]。2010年，鄭保敬等人創(chuàng)造了新方法無網(wǎng)格Petrov-Galerki法，在處理一般性無網(wǎng)格問題時(shí)具有較高計(jì)算精度和效率[6]。對(duì)重構(gòu)核粒子法的進(jìn)行應(yīng)用，這里介紹一下當(dāng)時(shí)比較具有突破性的，被創(chuàng)造出來的新方法—Hermit-type重構(gòu)核粒子法[7]，對(duì)該方法進(jìn)行應(yīng)用，研究者在公式推導(dǎo)過程中得出了相應(yīng)的計(jì)算公式，該方法是一種純無網(wǎng)格方法，只需節(jié)點(diǎn)信息即可，不需要背景網(wǎng)格積分。相對(duì)于傳統(tǒng)的重構(gòu)核粒子法，該方法在計(jì)算邊界處節(jié)點(diǎn)值時(shí)，計(jì)算精度更高，因此具有更好的穩(wěn)定性和精度。此外，該方法還能夠有效地處理含多物理場(chǎng)或多場(chǎng)耦合的問題，在物理問題的建模和仿真等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。這項(xiàng)工作為力—電耦合問題的研究提供了新的思路和方法，同時(shí)也為無網(wǎng)格方法的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。同年，Bui和Nguyen等在分析幾種材料結(jié)合在一起的層合板的振動(dòng)時(shí)，應(yīng)用了滑動(dòng)Kriging插值方法[2]。2018年，Sun等人研究了求解淺水方程組，這是利用重構(gòu)核粒子法進(jìn)行的[5]。近幾年來，對(duì)重構(gòu)核粒子法進(jìn)行了應(yīng)用，如：Xiong及其團(tuán)隊(duì)也利用重構(gòu)核粒子法模擬解決金屬在軋制過程中的加工參數(shù)，如溫度、變形等級(jí)，使材料發(fā)生變形，從而得到金屬所需的大小和尺寸，以及二維鍛粗和利用擠壓設(shè)備進(jìn)行人為的擠壓過程等的問題，取得了一定的成果。此外，Khoei等人將重構(gòu)核粒子法應(yīng)用到通過金屬粉末壓制成型再進(jìn)行煅燒、熱加工等工藝實(shí)踐中，研究了加工之中材料在變形過程中對(duì)應(yīng)力的響應(yīng)的敏感度而發(fā)生的塑性變形，這為該領(lǐng)域的研究提供了有效的數(shù)值模擬手段?？偟膩碚f，重構(gòu)核粒子法在金屬塑性成型中的應(yīng)用為該領(lǐng)域的研究提供了新思路和新方法，有望在未來得到更廣泛的應(yīng)用和推廣。由于重構(gòu)核粒子法的大量使用，許多學(xué)者對(duì)該法進(jìn)行了進(jìn)一步完善。比如，2000年，陳等在研究中提出了一種改進(jìn)的重構(gòu)核粒子法。更具體地說，由于傳統(tǒng)的重構(gòu)核粒子法涉及的計(jì)算量很大，所以陳等人提出了一種改進(jìn)的方法，這種改進(jìn)方法的優(yōu)點(diǎn)包括可以精確捕捉材料變形行為，提高了計(jì)算效率，使得這種方法更適合于實(shí)際工程問題的求解。通過采用這種改進(jìn)的重構(gòu)核粒子法，陳等人成功地模擬了將金屬環(huán)件放入殼體內(nèi)，施加壓力使其發(fā)生變形的過程、軸對(duì)稱冷墩粗和未裝飾完成的區(qū)域或室內(nèi)空間等過程，使用了彈塑性模型，這種模型是用于描述材料變形行為的模型，分成彈性階段和塑性階段。最終數(shù)據(jù)表明：數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符。因此，該改進(jìn)方法在金屬塑性成型以及其他工程領(lǐng)域中的應(yīng)用具有廣闊的前景。1.3無網(wǎng)格方法的發(fā)展趨勢(shì)存在問題：1.計(jì)算效率問題。由于要計(jì)算函數(shù)和導(dǎo)數(shù)。因此，當(dāng)前亟需解決的問題是怎么能夠提高計(jì)算效率，那么，為了提高計(jì)算效率以及滿足大量計(jì)算的需求，我們需要從多方面進(jìn)行考量。2.節(jié)點(diǎn)布置問題。怎樣合理地選擇節(jié)點(diǎn)進(jìn)行放置以達(dá)到最佳的計(jì)算精度還要進(jìn)行深入的研究。3.數(shù)學(xué)理論支撐問題。此方法還有許多不完善的地方，因此，需要在該方法方面進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝卣?，以促進(jìn)理論和實(shí)踐的應(yīng)用。此外，還需要解決的問題包括無網(wǎng)格方法的計(jì)算負(fù)擔(dān)更重、需要針對(duì)不同問題單獨(dú)編程、處理復(fù)雜邊界、界面、多材料、多組分、特別是多場(chǎng)問題的工作量相對(duì)較大，求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)的有效性還處于研究階段，需要進(jìn)一步提高方法的精度和可靠性。發(fā)展趨勢(shì)：1.無網(wǎng)格方法的算量較龐雜。需要修改的方面有很多很多，相比較而言，比有限元法更加的復(fù)雜，因此，計(jì)算量也更大?？梢酝ㄟ^優(yōu)化算法、加速計(jì)算等方式提高計(jì)算效率，同時(shí)也需要研究新的計(jì)算方法和技術(shù)。這樣可以使無網(wǎng)格方法在實(shí)際應(yīng)用中更加高效、精確地完成各種科學(xué)和工程計(jì)算任務(wù)。2.無網(wǎng)格方法的應(yīng)用。用此法來求解工程在當(dāng)今社會(huì)來看情況較少，因此該法需要進(jìn)行一步研究。3.無網(wǎng)格方法并行算法研究非常重要。可惜的是，到目前來講，關(guān)于該法這方面的研究還很少。1.4小結(jié)本章節(jié)對(duì)無網(wǎng)格方法進(jìn)行了簡單的介紹，介紹了數(shù)值方法的重要性，到無網(wǎng)格方法，再到由無網(wǎng)格方法延續(xù)發(fā)展出的各種方法，主要介紹了重構(gòu)核粒子法和關(guān)于此方法的應(yīng)用以及對(duì)該方法的改進(jìn)。最后，上文對(duì)無網(wǎng)格方法后續(xù)發(fā)展提供了一定的建議。第二章重構(gòu)核粒子法2.1引言重構(gòu)核粒子法是一種在日常生活中常用的粒子方法。此方法是在光滑粒子法的基礎(chǔ)之上延續(xù)發(fā)展而來的一種形成方法，借鑒了光滑粒子法的部分內(nèi)容和方法，這種形成方法是關(guān)于逼近函數(shù)的，也是無網(wǎng)格方法中使用逼近函數(shù)進(jìn)行建模的重要方法之一，因而，重構(gòu)核粒子法在無網(wǎng)格方法中具有廣泛的應(yīng)用。重構(gòu)核粒子法在構(gòu)造逼近函數(shù)時(shí)，利用光滑粒子法的核函數(shù)引入修正項(xiàng)來滿足再生條件；在構(gòu)造插值形函數(shù)時(shí)，在光滑粒子法的核函數(shù)中引入了修正項(xiàng)，理論上，在有限域內(nèi)對(duì)近似函數(shù)進(jìn)行精準(zhǔn)重構(gòu)是有可能的。重構(gòu)核粒子法形成的形函數(shù)具有良好的光滑性等優(yōu)點(diǎn)，可以計(jì)算出插值點(diǎn)處多項(xiàng)式的高精度值，在數(shù)學(xué)理論支持下，構(gòu)造出的逼近函數(shù)具有較高的精度。重構(gòu)核粒子法的一個(gè)缺點(diǎn)在于，選用不同的核函數(shù)可能導(dǎo)致計(jì)算精度的下降，并且會(huì)有配點(diǎn)過多、計(jì)算量大等問題。重構(gòu)核粒子法在當(dāng)代是一項(xiàng)新技術(shù)，它通過減去核外電子來改善粒子間相互作用，使得分子模擬從數(shù)值精度上得以顯著提高。最近幾年，重構(gòu)核粒子法也被廣泛應(yīng)用于各種物理系統(tǒng)，其有效性受到業(yè)界認(rèn)可?？傊貥?gòu)核粒子法是一項(xiàng)針對(duì)分子模擬領(lǐng)域的新技術(shù)，它的有效性已經(jīng)受到越來越多人的認(rèn)可。重構(gòu)核粒子法的發(fā)展將有助于粒子系統(tǒng)中粒子間相互作用的研究，使研究者能夠更好地理解復(fù)雜的物理系統(tǒng)，從而更好地探索系統(tǒng)中的內(nèi)在規(guī)律。重構(gòu)核粒子法對(duì)于當(dāng)今分子模擬領(lǐng)域的研究和應(yīng)用具有十分重要的意義。2.2重構(gòu)核粒子法重構(gòu)核粒子法在重構(gòu)核粒子法中，近似函數(shù)構(gòu)造的重要點(diǎn)是通過修改和更正核函數(shù)?(x?x)來構(gòu)造函數(shù)u(x)的逼近函數(shù)u?x=式中，?(x?x?x;x?其中C(x;x?xCx;x?其中pi線性基：pT=（1,x1）pT=（1,二次基：pT=（1,pT=（1,m是個(gè)數(shù),是關(guān)于基函數(shù)的；bibx通過使用梯形積分法,可以獲得與式（2.1）中核函數(shù)相關(guān)的近似結(jié)果,并將其轉(zhuǎn)化為離散形式：u?其中,ωx?xI是一種權(quán)函數(shù),帶有帶緊支集特性,它是通過影響一片區(qū)域內(nèi)分布的點(diǎn)xI為中心對(duì)x節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加權(quán),?I=1n在二維方面,V代表的是包括求解域?在內(nèi)的面積。式（2.9）可用矩陣形式表示為u?其中u=(WxV=Δ令Cx則CxP=p在重構(gòu)條件下,系數(shù)bi(x),是依照逼近函數(shù)來確定的,與此同時(shí)也要滿足逼近函數(shù)相匹配精度的前提下才能得以實(shí)現(xiàn)。將u?u?其中mi式子（2.18）推導(dǎo)得來,通過改進(jìn)的重構(gòu)核函數(shù)的條件為：m0mi即Mx其中Mx=H=(1,0,???,0)T即得bx所以,逼近函數(shù)u?u?其中Φ(x)為形函數(shù),Φx從以上算式可以看出矩陣W是具有可逆性質(zhì)的,所以,躲開了移動(dòng)最小二乘法構(gòu)造函數(shù)形成方程組的問題。在構(gòu)造過程中,形函數(shù)ΦI(x)的光滑性對(duì)應(yīng)著權(quán)函數(shù)w(x?xI)的光滑性,比如,若w(x?因?yàn)棣礗(xJ)≠δIJ,則u?(重構(gòu)核粒子法關(guān)于形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由式(2.9)和式(2.27)可知ΦI由式（2.16）可知Cx;x?xI結(jié)合式（2.25）可得ΦIx一維情況時(shí),取ΔVI可得形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dΦ其中dC(x;x?xI由式（2.22）可得dMx因此db(x)dx將式（2.33）和（2.35）代入式（2.32）即可以得到一維情況下形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于二維情況,基函數(shù)向量p(x?xpT未知系數(shù)組成的向量b(x)可寫為bTx則修正函數(shù)可表示為Cx;x?二維情況下,利用乘法規(guī)則來定義粒子體積是最方便的,如ΔV形函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)如下：ΦI,1式中C,jb,j其中j=1,2。通過相似的方法,可以得出三維重構(gòu)核粒子法中形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2.3小結(jié)本章節(jié)的2.1,詳細(xì)介紹了重構(gòu)核粒子法的定義,以及該方法的固有缺陷。本章2.2,對(duì)重構(gòu)核粒子法進(jìn)行公式推導(dǎo),得到了Φ(x)和重構(gòu)核粒子法的導(dǎo)數(shù)。第三章勢(shì)問題3.1勢(shì)問題中的重構(gòu)核粒子法考慮如下的Poisson方程：?2u邊界條件為ux=qx=這里的?是對(duì)應(yīng)于x的定義范圍，Γ是?內(nèi)部和外部之間的分界線,并且在此基礎(chǔ)之上有這樣的條件：Γ=Γu∪Γq,Γu∩Γq=?；顯而易見,根據(jù)算式我們可以知道,b(x)是已知的函數(shù),通過推斷可知,符號(hào)u代表的是場(chǎng)點(diǎn)的位勢(shì),稱為源函數(shù),很顯然,在自然系統(tǒng)內(nèi)部的邊界Γq上,經(jīng)過發(fā)展的移動(dòng)最小二乘法獲得的形函數(shù)不滿足Kroneckerδ函數(shù)的性質(zhì),這是由于對(duì)形函數(shù)進(jìn)行了延續(xù),即ΦI(xJ)≠δIJ∫Ωδ其中L(·)為微分算子,L?=α為罰因子,一般取為一大正數(shù)。將計(jì)算范圍分散到M個(gè)節(jié)點(diǎn),利用重構(gòu)核粒子法建立區(qū)域內(nèi)隨便場(chǎng)點(diǎn)的位勢(shì)為u(x)的逼近函數(shù),由以下式子：u?可得ux=Φ其中,符號(hào)n表示的是作用于將求解范圍離散劃分后,覆蓋到位置場(chǎng)點(diǎn)x的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù),即u=(u那么Lux=L其中BxBI將式(3.6)和(3.8)代入式(3.4)可得∫Ωδ由式(3.11)可得最終的求解方程為K+Kα其中KIJ=KIJαFI=FIαI,J=1,2,…,M,u與式（3.7）形式相同,n=M。以上描述即為勢(shì)問題方面的重構(gòu)核粒子法。為了計(jì)算式子（3.12）中的矩陣或向量元素,采用Gauss積分進(jìn)行運(yùn)算。在進(jìn)行數(shù)值積分運(yùn)算時(shí),需要使用布景積分網(wǎng)格。為了更容易確定Gauss積分點(diǎn)的信息,往往會(huì)將背景積分網(wǎng)格布置成有序的網(wǎng)格。要說明的是,無網(wǎng)格方法與有限元法在使用上的一個(gè)顯著不同是網(wǎng)格的使用方式。在無網(wǎng)格方法中,規(guī)則網(wǎng)格只被用來計(jì)算數(shù)值積分結(jié)果,它們與影響域和節(jié)點(diǎn)沒有必然的聯(lián)系；但在有限元法中,網(wǎng)格與形函數(shù)之間有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系,計(jì)算結(jié)果與網(wǎng)格的質(zhì)量有很大關(guān)系。若網(wǎng)絡(luò)劃分得不足,將會(huì)影響結(jié)果的精確度或者致使不能求解。因此,在無網(wǎng)格方法中,規(guī)則網(wǎng)格的大小和形狀可以根據(jù)需要隨意設(shè)置,并且與形函數(shù)無關(guān),只要能夠輕松地計(jì)算數(shù)值積分即可。第四章數(shù)值算例本節(jié)采用勢(shì)問題的重構(gòu)核粒子法對(duì)2個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算,并用解析解進(jìn)行了比較。在數(shù)值計(jì)算中,通常需要離散化求解區(qū)域以建立求解方程。在以下算例中,借鑒了均勻節(jié)點(diǎn)分布的方法將計(jì)算區(qū)域劃分為許多小單元,為了建立相應(yīng)的求解方程,常常需要通過積分等方式來描述部分區(qū)域內(nèi)的解。在這個(gè)過程中,布局背景網(wǎng)格是一種有效的方法。改進(jìn)的移動(dòng)最小二乘法逼近函數(shù)中使用了加權(quán)正交基和三次樣條權(quán)函數(shù)。在每一個(gè)積分單元中,二維問題采用4×4點(diǎn)的Gauss積分,三維問題則是采用3×3×3點(diǎn)的Gauss積分計(jì)算數(shù)值積分。4.1二維勢(shì)問題二維環(huán)形區(qū)域內(nèi)的Poisson方程考慮圓環(huán)上的控制方程：?2和Dirichlet邊界條件ua,θub,θ其中,求解域Ω=r,θ該問題的解析解為：ur,θ相對(duì)誤差值：u?應(yīng)用重構(gòu)核粒子法求解該問題,求解域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)分布是如圖4.9所示的環(huán)形區(qū)域。首先對(duì)算例進(jìn)行誤差分析,表4.10和表4.11為不同影響域比例參數(shù)dmax和罰因子α對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差值。圖4.9環(huán)形區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)分布dmax(比例參數(shù))error(相對(duì)誤差)1.010.00151.110.00271.210.00151.310.00111.410.00121.510.00151.710.0018表4.10不同的dmax對(duì)應(yīng)error的變化根據(jù)表4.10所示,固定α,對(duì)dmax的值進(jìn)行調(diào)整,選取不同的影響域比例參數(shù)值（dmax）對(duì)應(yīng)不同的誤差（error）。根據(jù)上表的數(shù)據(jù)顯示：當(dāng)dmax取1.31時(shí),誤差最小。α(罰因子)error(相對(duì)誤差)1×0.62181×0.06321×0.00681×0.00111×0.00331×0.00841×0.0215表4.11不同的α對(duì)應(yīng)error的變化表4.11所示為dmax取為1.31時(shí),選取不同的α（罰因子）,對(duì)應(yīng)不同的誤差（error）。其中當(dāng)α=1e4時(shí)誤差最低。當(dāng)dmax=1.31,α=1e4,節(jié)點(diǎn)數(shù)為100×20時(shí),可得相對(duì)誤差為0.0011。圖4.12解析解和數(shù)值解對(duì)比將數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比,曲線圖代表解析解,節(jié)點(diǎn)代表數(shù)值解,節(jié)點(diǎn)與解析解曲線基本相符。圖中的數(shù)值解同解析解進(jìn)行比較證明了重構(gòu)核粒子法的有用性和正確性。以上部分進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,結(jié)果發(fā)現(xiàn)該方法得出的數(shù)值解與解析解在誤差允許的范圍內(nèi)可以高度匹配。因此,它具有極高的精確度和可靠性,可以廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)計(jì)算中。4.2三維勢(shì)問題三維立方體內(nèi)的Laplace方程,此方程是具有Neumann邊界條件的考慮具有Neumann邊界條件的Laplace方程?2邊界條件為?u(0,x?u(x?u(x?u(x其中,求解域Ω=0,1該問題的解析解為ux應(yīng)用重構(gòu)核粒子法求解該問題。首先對(duì)算例進(jìn)行誤差分析,表4.19為不同影響域比例參數(shù)dmax和相對(duì)誤差error對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差值。dmax(比例參數(shù))error（相對(duì)誤差）1.1190.00981.1290.00911.1390.10591.1490.00881.1590.00731.1690.01171.1790.1227表4.19不同dmax對(duì)應(yīng)不同error根據(jù)表4.19所示,固定α,對(duì)dmax的值進(jìn)行調(diào)整,選取不同的影響域比例參數(shù)值（dmax）對(duì)應(yīng)不同的誤差（error）。根據(jù)上表的數(shù)據(jù)顯示：當(dāng)dmax取1.159時(shí),誤差最小，相對(duì)誤差為0.0073。在算例運(yùn)行過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)dmax固定，不管α=1.5×10圖4.20沿x1圖4.21沿x2圖4.22沿x3將數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比,曲線圖代表解析解,節(jié)點(diǎn)代表數(shù)值解,節(jié)點(diǎn)與解析解曲線基本相符。圖中的數(shù)值解同解析解進(jìn)行比較證明了重構(gòu)核粒子法的有用性和正確性。以上部分進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,結(jié)果發(fā)現(xiàn)該方法得出的數(shù)值解與解析解在誤差允許的范圍內(nèi)可以高度匹配。因此,它具有極高的精確度和可靠性,可以廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)計(jì)算中。4.3小結(jié)在本章節(jié)中有倆個(gè)算例,通過算例得出了dmax、α與error的關(guān)系,并根據(jù)圖像可以看出數(shù)值解和解析解的相符程度變化,數(shù)值變化清晰明了。第五章結(jié)論與展望5.1結(jié)論本文介紹了由光滑粒子法演化而來的重構(gòu)核粒子法,對(duì)此方法的發(fā)展做了簡要概述,并且列舉部分重構(gòu)核粒子法的應(yīng)用,重構(gòu)核粒子法用途廣泛,值得我們對(duì)此法進(jìn)行更深一步的鉆研。由于重構(gòu)核粒子法是一種新的方法,因此還存在著較多未解決和需要解決的問題需要我們后輩繼續(xù)努力。5.2展望我們應(yīng)該對(duì)重構(gòu)核粒子法進(jìn)行更廣范圍的推廣,對(duì)方法進(jìn)行更大范圍的應(yīng)用,以此來推動(dòng)重構(gòu)核粒子法向前發(fā)展,未來我們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)和探索出更多有關(guān)于重構(gòu)核粒子法的理論和應(yīng)用,希望該方法可以對(duì)我們生活產(chǎn)生實(shí)實(shí)在在的用處,對(duì)社會(huì)產(chǎn)生更大的推動(dòng)力。參考文獻(xiàn)[1]秦義校,程玉民.彈性力學(xué)的重構(gòu)核粒子邊界無單元法與有限元的耦合法[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),2008,(02):205-211.[2]蔡瑞環(huán).粒料混合過程離散單元模型及數(shù)值仿真研究[D].導(dǎo)師：趙永志;顧超華.浙江大學(xué),2021.[3]郭冬冬.用單位分解配點(diǎn)法解地下水二維非穩(wěn)定流問題[D].遼寧師范大學(xué),2016.[4]勢(shì)問題的重構(gòu)核粒子邊界無單元法[J]秦義校,程玉民,力學(xué)學(xué)報(bào).2009（06）.[5]田利瑞.熱力耦合問題的準(zhǔn)凸重構(gòu)核粒子法[D].武漢理工大學(xué),2019.[6]王繼晨,劉飛,鮑益東,尹玉婷,史月龍.基于無網(wǎng)格法的鎂合金等溫鍛造成形模擬分析[J].鍛壓技術(shù),2023,48(02):10-15.[7]馬吉超.Hermit-type重構(gòu)核粒子法的研究及其應(yīng)用[D].齊魯工業(yè)大學(xué),2018.[8]劉英賢.應(yīng)用無網(wǎng)格法分析膜結(jié)構(gòu)找形問題的初步研究[D].昆明理工大學(xué),2006.[9]周德亮,李躍,王宗慧.非均質(zhì)承壓穩(wěn)定流動(dòng)問題的無單元伽遼金法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2019,42(04):439-4