控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

關(guān)于控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量及內(nèi)部變量之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種：解析法：分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)運動機(jī)理，按照其遵循的物理化學(xué)規(guī)律列寫輸入輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。實驗法：對系統(tǒng)輸入某種測試信號，記錄系統(tǒng)或各環(huán)節(jié)輸出變量的運動響應(yīng)。通過數(shù)據(jù)處理選擇一種數(shù)學(xué)模型可以近似地表示這種響應(yīng)，該過程稱為系統(tǒng)辨識。第2頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.1控制系統(tǒng)的微分方程描述2.2拉氏變換及反變換2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.5控制系統(tǒng)的信號流圖2.6狀態(tài)空間方程控制系統(tǒng)描述公式描述圖形描述第3頁,共124頁，2024年2月25日，星期天微分方程可以描述被控量（系統(tǒng)輸出）和給定量（系統(tǒng)輸入）或擾動量（擾動輸入）之間的函數(shù)關(guān)系。通過對微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系統(tǒng)穩(wěn)定性、變量動態(tài)響應(yīng)軌跡等性能。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程描述第4頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.1.1建立微分方程建立控制系統(tǒng)的微分方程，需要了解整個系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)和工作原理。列寫微分方程的一般步驟如下：

分析元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時還要考慮擾動量），并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。根據(jù)各元件在工作過程中所遵循的物理或化學(xué)定律，按工作條件忽略一些次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列出微分方程。常用的定律有：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律、力學(xué)系統(tǒng)的牛頓定律和熱力學(xué)定律等等。消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量（包括擾動量）關(guān)系的微分方程即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第5頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.1.1電氣系統(tǒng)

電氣系統(tǒng)中最常見的裝置是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。僅由電阻、電感、電容(無源器件)組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無源網(wǎng)絡(luò)。如果電氣網(wǎng)絡(luò)中包含運算放大器(有源器件)，就稱為有源網(wǎng)絡(luò)。例由電阻R、電感L和電容C組成無源網(wǎng)絡(luò)。

ui輸入，uo輸出，求微分方程。－LCui(t)uo(t)i(t)+－+R第6頁,共124頁，2024年2月25日，星期天消去中間變量i(t)，可得解設(shè)回路電流為i(t)如圖所示。由基爾霍夫電壓定律可得到式中i(t)是中間變量。第7頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

機(jī)械系統(tǒng)指的是存在機(jī)械運動的裝置，它們遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運動包括直線運動（相應(yīng)的位移稱為線位移）和轉(zhuǎn)動（相應(yīng)的位移稱為角位移）兩種。例一個由彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示。m為物體質(zhì)量，k為彈簧系數(shù)，f

為粘性阻尼系數(shù)，外力F(t)為輸入量，位移x(t)為輸出量。列寫系統(tǒng)的運動方程。

例2.1.2機(jī)械系統(tǒng)xmFkf第8頁,共124頁，2024年2月25日，星期天解在物體受外力F的作用下，質(zhì)量m相對于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度分別為x、dx/dt、d2x/dt2

。設(shè)外作用力F為輸入量，位移x為輸出量。根據(jù)彈簧、質(zhì)量、阻尼器上力與位移、速度的關(guān)系和牛頓第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之間的關(guān)系為

xmFkk和f分別為彈簧的彈性系數(shù)和阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。負(fù)號表示彈簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。第9頁,共124頁，2024年2月25日，星期天比較上面兩個例子可見，雖然它們?yōu)閮煞N不同的物理系統(tǒng)，但它們的數(shù)學(xué)模型的形式卻是相同的

例如上述RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即為一對相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為相似量。我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)第10頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

電樞控制式直流電動機(jī)電機(jī)電樞輸入電壓電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角電樞繞組電阻電樞繞組電感流過電樞繞組的電流電機(jī)感應(yīng)反電動勢電機(jī)轉(zhuǎn)矩電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)例2.1.3機(jī)電系統(tǒng)第11頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共124頁，2024年2月25日，星期天將上面四個方程聯(lián)立，可得第13頁,共124頁，2024年2月25日，星期天考慮到:可將上式改寫成

可知：對于同一個系統(tǒng)，若從不同的角度研究問題，則所得出的數(shù)學(xué)模型式不一樣的。

電機(jī)時間常數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù)第14頁,共124頁，2024年2月25日，星期天注：通常將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各項寫在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項均按降階順序排列。單輸入、單輸出系統(tǒng)微分方程的一般形式：第15頁,共124頁，2024年2月25日，星期天實際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。放大器飽和電機(jī)死區(qū)齒輪間隙繼電器開關(guān)特性2.1.2非線性系統(tǒng)的線性化嚴(yán)格講：所有系統(tǒng)都是非線性的第16頁,共124頁，2024年2月25日，星期天盡管線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。另外，迭加原理不適用于非線性系統(tǒng)，這給解非線性系統(tǒng)帶來很大不便。故我們盡量對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性理論進(jìn)行分析。實踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實際意義。第17頁,共124頁，2024年2月25日，星期天線性化條件：非線性因素對系統(tǒng)影響很小系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，可通過切線法進(jìn)行線性化，求其增量方程

不是各個變量的絕對數(shù)量，而是它們偏離平衡點的量第18頁,共124頁，2024年2月25日，星期天y=f(r)r—元件的輸入信號，y—元件的輸出信號0r0r0+△ry0y0+△yyAB略去高次項，設(shè)原運行于某平衡點（靜態(tài)工作點）A點：r=r0,y=y0,且y0=f(r0)B點：當(dāng)r變化△

r，

y=y0+△

y函數(shù)在（r0,y0

）點連續(xù)可微，在A點展開成泰勒級數(shù)，即第19頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

單擺第20頁,共124頁，2024年2月25日，星期天線性化步驟：找出靜態(tài)工作點（工作點不同，所得方程系數(shù)也不同）在工作點附近展開成泰勒級數(shù)略去高階項，得到關(guān)于增量的線性化方程第21頁,共124頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)習(xí)題：2-1(1)(2)第22頁,共124頁，2024年2月25日，星期天時域微分方程復(fù)變函數(shù)代數(shù)方程拉氏變換拉氏反變換2.2拉氏變換及反變換一種解線性微分方程的簡便方法分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法第23頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.2.1拉氏變換定義對于函數(shù)，滿足下列條件象函數(shù)原函數(shù)復(fù)變量量綱第24頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.2.1單位階躍函數(shù)

0t1第25頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.2.2指數(shù)函數(shù)0t1第26頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.2.4冪函數(shù)

0t第29頁,共124頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)記住的

一些簡單函數(shù)的

拉氏變換第30頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.2.2拉氏變換的性質(zhì)及應(yīng)用疊加性質(zhì)微分定理積分定理衰減定理延時定理初值定理終值定理時間比例尺改變的象函數(shù)tx(t)的象函數(shù)10的象函數(shù)11周期函數(shù)的象函數(shù)12卷積分的象函數(shù)第31頁,共124頁，2024年2月25日，星期天疊加性質(zhì)第32頁,共124頁，2024年2月25日，星期天微分定理第33頁,共124頁，2024年2月25日，星期天微分定理兩個重要推論：第34頁,共124頁，2024年2月25日，星期天積分定理兩個推論：第35頁,共124頁，2024年2月25日，星期天4衰減定理原函數(shù)衰減，象函數(shù)超前Step1、找出簡單函數(shù)；Step2、套用性質(zhì)；第36頁,共124頁，2024年2月25日，星期天5延時定理00原函數(shù)滯后，象函數(shù)衰減第37頁,共124頁，2024年2月25日，星期天注意：f(t)表達(dá)式里所有的t都要延時！Step1、找出簡單函數(shù)；Step2、套用性質(zhì)；第38頁,共124頁，2024年2月25日，星期天6初值定理第39頁,共124頁，2024年2月25日，星期天終值定理

第40頁,共124頁，2024年2月25日，星期天8時間比例尺改變的象函數(shù)

第41頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

9

tx(t)的象函數(shù)

10的象函數(shù)

10的象函數(shù)

第42頁,共124頁，2024年2月25日，星期天11周期函數(shù)的象函數(shù)12卷積分的象函數(shù)第43頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2-1

求單位脈沖函數(shù)的象函數(shù)

0t第44頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例求象函數(shù)

解：第45頁,共124頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)習(xí)題：2-3(1)(2)第46頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.2.3拉氏反變換時域微分方程復(fù)變函數(shù)代數(shù)方程拉氏變換拉氏反變換第47頁,共124頁，2024年2月25日，星期天拉氏反變換方法：利用拉氏變換表利用部分分式展開法，然后再利用已知函數(shù)的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)第48頁,共124頁，2024年2月25日，星期天控制系統(tǒng)象函數(shù)的一般形式：將分母因式分解后，包括三種不同的極點情況，采用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換使分子為零的S值稱為函數(shù)的零點使分母為零的S值稱為函數(shù)的極點第49頁,共124頁，2024年2月25日，星期天三種不同的極點情況只含有不同單極點情況含有共扼復(fù)極點情況含有多重極點情況第50頁,共124頁，2024年2月25日，星期天1、只含有不同單極點情況：對分母分解因式再分解為部分分式第51頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第52頁,共124頁，2024年2月25日，星期天----即含有不可因式分解的二次因式方法:

待定系數(shù)法將不可分解的二次因式做為一項分解為:將右邊的部分分式通分,按分子分母對應(yīng)項系數(shù)相等的原則得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組,求解即可.的原函數(shù)求法—配方,利用2、含有共扼復(fù)極點情況：第53頁,共124頁，2024年2月25日，星期天1-10第54頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第55頁,共124頁，2024年2月25日，星期天3、含有多重極點情況：第56頁,共124頁，2024年2月25日，星期天其中的求法：第57頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第58頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第59頁,共124頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)2-4(1)(3)第60頁,共124頁，2024年2月25日，星期天用拉氏變換解微分方程的步驟：1.對微分方程進(jìn)行拉氏變換，轉(zhuǎn)換成以象函數(shù)為變量的代數(shù)方程；2.解代數(shù)方程，求出象函數(shù)表達(dá)式；3.作拉氏反變換，求出微分方程的時間解。2.2.4用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程第61頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第62頁,共124頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)2-5第63頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.3.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式。表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸入量或驅(qū)動函數(shù)無關(guān)。它是和微分方程一一對應(yīng)的一種數(shù)學(xué)模型，它能方便地分析系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述第64頁,共124頁，2024年2月25日，星期天1.定義零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，記為G(s)，即：意義：第65頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

傳遞函數(shù)的求法

線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的一般表達(dá)式（零初始條件）第66頁,共124頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)初始條件為零時，對上式進(jìn)行拉氏變換后可得傳遞函數(shù)為例2.9求圖示RC電路的傳遞函數(shù)，其中ui(t)是輸入電壓，uo(t)是輸出電壓

解由基爾霍夫電壓定律可得第67頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點補充說明

（1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)表達(dá)式中各項系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，并且與微分方程中各導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)相對應(yīng)。（3）實際系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項式的階數(shù)n總是大于或等于分子多項式的階數(shù)m

，即n≥m。通常將分母多項式的階數(shù)為n的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。（4）傳遞函數(shù)只能表示單輸入、單輸出的關(guān)系。第68頁,共124頁，2024年2月25日，星期天上式中Kg──零極點形式傳遞函數(shù)的根軌跡增益；

-zi──分子多項式M(s)=0的根，稱為零點；

-pj

──分母多項式N(s)的根，稱為極點。N(s)=0是控制系統(tǒng)的特征方程式。－zi、－pj可為實數(shù)、虛數(shù)、或復(fù)數(shù)。若為虛數(shù)、或復(fù)數(shù)，必為共軛虛數(shù)、或共軛復(fù)數(shù)。（5）零極點表示法第69頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（6）時間常數(shù)表示法上式中τi──分子各因子的時間常數(shù)；

Tj──分母各因子的時間常數(shù)；

K──時間常數(shù)形式傳遞函數(shù)的增益；通常稱為傳遞系數(shù)。第70頁,共124頁，2024年2月25日，星期天一般形式第71頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

一個系統(tǒng)可看成由一些環(huán)節(jié)組成的，可能是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動的等等。盡管這些系統(tǒng)的物理本質(zhì)差別很大，但是描述他們的動態(tài)性能的傳遞函數(shù)可能是相同的。如果我們從數(shù)學(xué)的表達(dá)式出發(fā)，一般可將一個復(fù)雜的系統(tǒng)分為有限的一些典型環(huán)節(jié)所組成，并求出這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)來，以便于分析及研究復(fù)雜的系統(tǒng)。控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有，比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。以下介紹這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其推導(dǎo)。2.3.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)第72頁,共124頁，2024年2月25日，星期天方框圖：K1.比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）

特點：輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時。

舉例：這種類型的環(huán)節(jié)很多，機(jī)械系統(tǒng)中略去彈性的杠桿、作為測量元件的測速發(fā)電機(jī)(輸入為角速度，輸出為電壓時)以及電子放大器等，在一定條件下都可以認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。第73頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2-9第74頁,共124頁，2024年2月25日，星期天方框圖：1/(Ts+1)2.慣性環(huán)節(jié)

特點：慣性環(huán)節(jié)的特點是其輸出量不能立即跟隨輸入量變化，存在時間上的延遲。其中時間常數(shù)越大，環(huán)節(jié)的慣性越大，則延遲的時間也越長。

第75頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2-11無源濾波電路第76頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2-12彈簧-阻尼系統(tǒng)第77頁,共124頁，2024年2月25日，星期天1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tr(t)ty(t)例設(shè)輸入信號為單位階躍信號，其拉普拉斯變換，則得輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式為在單位階躍輸入信號的作用下，慣性環(huán)節(jié)的輸出信號是指數(shù)函數(shù)。當(dāng)時間t=(3~4)T時，輸出量才接近其穩(wěn)態(tài)值。

第78頁,共124頁，2024年2月25日，星期天微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)永磁式直流測速機(jī)第79頁,共124頁，2024年2月25日，星期天近似微分環(huán)節(jié)第80頁,共124頁，2024年2月25日，星期天特點：輸出正比于輸入對時間的積分。4.積分環(huán)節(jié)方框圖：1/s第81頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例

積分調(diào)節(jié)器電路

在單位階躍輸入信號的作用下，輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式為輸出量隨時間成正比地?zé)o限增加

第82頁,共124頁，2024年2月25日，星期天4.二階振蕩環(huán)節(jié)第83頁,共124頁，2024年2月25日，星期天方框圖：

振蕩環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)第84頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例無源RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入r(t)，輸出y(t)。解：第85頁,共124頁，2024年2月25日，星期天6.

延遲環(huán)節(jié)方框圖：將延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)展開為泰勒級數(shù)：當(dāng)延遲時間很小時，可近似為慣性環(huán)節(jié)：第86頁,共124頁，2024年2月25日，星期天特點：

1、輸出和輸入相同僅延遲時間τ；不失真

2、與其他環(huán)節(jié)同時存在。人體、計算機(jī)系統(tǒng)、液壓機(jī)械傳動、氣動傳動。原因：延時效應(yīng)。信號輸入環(huán)節(jié)后，由于環(huán)節(jié)傳遞信號的速度有限。輸出響應(yīng)要延遲一段時間τ才能產(chǎn)生。第87頁,共124頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)2-8（a）（c）2-9第88頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.4.1方塊圖的基本概念

系統(tǒng)方塊圖又稱結(jié)構(gòu)圖，是將系統(tǒng)中所有的環(huán)節(jié)用方塊來表示，按照系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，將各方塊連接起來構(gòu)成的；2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖G(s)R(s)Y(s)輸入信號輸出信號方塊：環(huán)節(jié)信號傳遞的方向第89頁,共124頁，2024年2月25日，星期天方塊圖表示的一個典型系統(tǒng)：表明了系統(tǒng)的組成、信號的傳遞方向；表示出了系統(tǒng)信號傳遞過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系；可揭示、評價各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響；易構(gòu)成整個系統(tǒng)，并簡化寫出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；直觀、方便（圖解法）。第90頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.4.2組成④相加點（綜合點、比較點）

相同性質(zhì)的信號進(jìn)行去取代數(shù)和（相同量綱的物理量）G(s)R(s)Y(s)①方塊：一個元件（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)②信號流線：箭頭表示信號傳遞方向③分支點：信號多路輸出且相等注意：不是將信號均分第91頁,共124頁，2024年2月25日，星期天1.分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)物理規(guī)律，明確輸入輸出、求得該環(huán)節(jié)的傳函；2.將同一信號的通路連接在一起,組成完整的方塊圖動態(tài)結(jié)構(gòu)框圖可以形象而明確的表達(dá)動態(tài)過程中系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)關(guān)系，是系統(tǒng)圖形化的動態(tài)模型。主要繪制步驟：先單一后整體第92頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.4.1汽車在凸凹不平的路面行駛，輪胎質(zhì)量為M2，其彈性可等效為一個彈簧，汽車質(zhì)量為M1。若以路面的高低位移變化為輸入xi(t)，車體垂直位移為輸出x0(t)，則汽車承載系統(tǒng)的簡化力學(xué)模型如圖所示。試建立系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)方框圖。第93頁,共124頁，2024年2月25日，星期天？第94頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.4.2繪制系統(tǒng)方塊圖第95頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.4.3試求圖示力學(xué)模型的傳遞函數(shù)。其中xi(t)為輸入位移，xo(t)為輸出位移，k1、k2為彈性剛度，D1、D2為粘性阻尼系數(shù)。解：粘性阻尼系數(shù)為D的阻尼筒可等效為彈性剛度為DS的彈性元件。并聯(lián)彈簧的彈性剛度等于各彈簧彈性剛度之和，而串聯(lián)彈簧彈性剛度的倒數(shù)等于各彈簧彈性剛度的倒數(shù)之和。ABx1(t)第96頁,共124頁，2024年2月25日，星期天第97頁,共124頁，2024年2月25日，星期天XiXoBK1K2F(S)F(S)∴可畫出該系統(tǒng)的函數(shù)方框圖：+F(S)Xo(S)Xi(S)-根據(jù)方框圖，可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第98頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.4.2動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡化

環(huán)節(jié)的合并分支點/結(jié)合點的變位第99頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.4.2動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡化

G1(s)G3(s)G2(s)1.環(huán)節(jié)的合并（1）串聯(lián)G1(s)G2(s)G3(s)第100頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（2）并聯(lián)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)+G2(s)+G3(s)第101頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（3）反饋G1(s)H(s)G1(S)為前向通道的傳遞函數(shù)H(S)為反饋通道的傳遞函數(shù)G1(S)H(S)為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)第102頁,共124頁，2024年2月25日，星期天2.框圖等效變換原則

在對系統(tǒng)進(jìn)行分析時，為了簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，常常需要對信號的分支點或相加點進(jìn)行變位運算，以便消除交叉，求出總的傳遞函數(shù)。變位運算的原則是，輸入和輸出都不變。變換前后的方框圖是等效的。第103頁,共124頁，2024年2月25日，星期天G(s)G(s)1/G(s)G(s)G(s)G(s)（1）相加點（對信號求和）第104頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（2）分支點（信號由某一點分開）G(s)G(s)G(s)G(s)G(s)1/G(s)第105頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（3）分支點之間可任意互換，相加點之間可互換（但注意前后符號一致）。（4）相加點和分支點之間一般不能互換變位第106頁,共124頁，2024年2月25日，星期天注意：

有些實際系統(tǒng)，往往是多回路系統(tǒng)，形成回路交錯或相套。為便于計算和分析，常將種復(fù)雜的方框圖簡化為較簡單的方框圖。①方框圖簡化的關(guān)鍵是解除各種連接之間，包括環(huán)路與環(huán)路之間的交叉，應(yīng)設(shè)法使它們分開，或形成大環(huán)套小環(huán)的形式。②解除交叉連接的有效方法是移動相加點或分支點。一般，結(jié)構(gòu)圖上相鄰的分支點可以彼此交換，相鄰的相加點也可以彼此交換。但是，當(dāng)分支點與相加點相鄰時，它們的位置就不能作簡單的交換。第107頁,共124頁，2024年2月25日，星期天

例2.4.3例2.4.1所示汽車承載系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)框圖如圖2.4.4所示，試簡化系統(tǒng)框圖，求總傳遞函數(shù)。第108頁,共124頁，2024年2月25日，星期天其傳遞函數(shù)為

給出主要的變換步驟第109頁,共124頁，2024年2月25日，星期天例2.4.4

簡化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用相加點、分支點互換的方法處理。（1）將相加點a移至G2之后第110頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（2）再與b點交換（3）因G4與G1G2并聯(lián)，G3與G2H是負(fù)反饋環(huán)節(jié)第111頁,共124頁，2024年2月25日，星期天（