概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(茆詩(shī)松)第二版課后第二章習(xí)題參考答案_百度

1、 （2）正態(tài)分布 N (µ, 2 ； （3）對(duì)數(shù)正態(tài)分布 LN (µ, 2 解： （1）因 X 服從區(qū)間 (a, b上的均勻分布， 則 0.5 = P X x0.5 = Pa < X x0.5 = 故中位數(shù) x0.5 = a + 0.5(b a = （2）因 X 服從正態(tài)分布 N (µ, 2 ， x0.5 a ， ba a+b ； 2 x µ x µ =0， 則 0.5 = P X x0.5 = F ( x0.5 = 0.5 ，即 0.5 故中位數(shù) x0.5 = µ； （3）因 X 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 LN (µ, 2

2、，有 ln X 服從正態(tài)分布 N (µ, 2 ， ln x0.5 µ ln x0.5 µ =0， 則 0.5 = P X x0.5 = Pln X ln x0.5 = F (ln x0.5 = ，即 故中位數(shù) x0.5 = e µ 4 設(shè) X Ga ( , ，對(duì) k = 1, 2, 3，求µ k = E (X k 與 k = E X E (X k 解：因 Ga ( , 的密度函數(shù)為 1 x x e , x 0, p X ( x = ( x < 0. 0, 由正則性知 + + + ( 1 x x e dx = 1 ，可得 x 1 e x d

3、x = ， 0 ( 0 故 µ1 = 0 x 1 x + x ( + 1 x e dx = x e dx = = ； ( ( 0 ( +1 1 x + +1 x ( + 2 ( + 1 e = = x e dx = x dx ； ( ( 0 ( + 2 2 1 x + + 2 x ( + 3 ( + 1( + 2 e = = x e dx = x dx ； ( ( 0 ( + 3 3 µ2 = µ3 = + 0 x2 + 0 x3 1 = E X E (X = 0； ( + 1 2 2 = 2 ； 2 ( + 1( + 2 ( + 1 3 2 3 2 + = 3

4、= E X E ( X 3 = µ 3 3µ 2 µ1 + 2µ13 = 3 2 3 3 5 設(shè) X Exp(，對(duì) k = 1, 2, 3, 4，求µ k = E (X k 與 k = E X E (X k ，進(jìn)一步求此分布的變異系數(shù)、偏 2 = E X E ( X 2 = µ 2 µ12 = 度系數(shù)和峰度系數(shù) 解：因 X 的密度函數(shù)為 e x , x 0, p X ( x = x < 0. 0, 41 且 k 為正整數(shù)時(shí)， 故 µ1 = + 0 + 0 x k 1 e x dx = + (k k = (k

5、1! k 1 ， ； x e x dx = 0 x e x dx = 2 = 2! 1 = = = µ 2 = x 2 e x dx = x 2 e x dx = 0 0 + + 2 3 2 6 ； ； ； µ 3 = x 3 e x dx = x 3 e x dx = 0 0 + + 3! 4 3 24 µ 4 = x 4 e x dx = x 4 e x dx = 0 0 + + 4! 1 5 4 1 = E X E (X = 0； 2 = E X E ( X 2 = µ 2 µ12 = 2 2 1 2 = 2 6 3 ； 3 = E X

6、E ( X 3 = µ 3 3µ 2 µ1 + 2µ13 = 3 2 2 1 4 +2 4 1 6 3 = 1 2 3 ； 4 = E X E ( X 4 = µ 4 4 µ 3 µ1 + 6µ 2 µ12 3µ14 = 變異系數(shù) C v ( X = 24 3 +6 2 2 1 2 3 1 4 = 9 3 ； Var( X E( X =2； = 2 =1； µ1 偏度系數(shù) 1 = 3 ( 2 3 / 2 峰度系數(shù) 2 = 4 3=93=6 ( 2 2 6 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布

7、N (10, 9，試求 x0.1 和 x0.9 x 10 x 10 解：因 F ( x 0.1 = 0.1 = 1.2816 ，故 x0.1 = 6.1552； = 0.1 ，得 0.1 3 3 x 10 x 10 又因 F ( x 0.9 = 0.9 = 1.2816 ，故 x0.9 = 13.8448 = 0.9 ，得 0.9 3 3 x 10 x 0.1 10 = 1.28 ，故 x0.1 = 6.16； 0.9 = 1.28 ，故 x0.9 = 13.84） 3 3 7 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從雙參數(shù)韋布爾分布，其分布函數(shù)為 （或查表可得 m x F ( x = 1 exp , x>

8、0， 其中 > 0, m > 0試寫(xiě)出該分布的 p 分位數(shù) xp 的表達(dá)式，且求出當(dāng) m = 1.5, = 1000 時(shí)的 x0.1 , x0.5 , x0.8 的值 xp 解：因 F ( x p = 1 exp 故 x p = ln(1 p m ； 1 m = p， 42 當(dāng) m = 1.5, = 1000 時(shí)， x 0.1 = 1000( ln 0.9 1 1.5 1 = 223.0755 ； x 0.5 = 1000( ln 0.5 1 1.5 = 783.2198 ； x 0.8 = 1000( ln 0.2 1.5 = 1373.3550 8 自由度為 2 的 2 分布的

9、密度函數(shù)為 p ( x = 1 2 e , 2 x x>0， 試求出其分布函數(shù)及分位數(shù) x0.1 , x0.5 , x0.8 解：設(shè) X 服從自由度為 2 的 2 分布， 當(dāng) x < 0 時(shí)，F(xiàn) (x = PX x = P ( = 0， 當(dāng) x 0 時(shí)， F ( x = P X x = 故 X 的分布函數(shù)為 x 1 e 2 , x 0, F ( x = x < 0. 0, x 1 2 e du = ( e 2 = 1 e 2 ； 2 0 u u x x 0 因 F (x p = 1 e xp 2 = p ，有 xp = 2 ln (1 p， 故 x0.1 = 2 ln 0.9

10、 = 0.2107；x0.5 = 2 ln 0.5 = 1.3863；x0.8 = 2 ln 0.2 = 3.2189 9 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布密度函數(shù) p(x 關(guān)于 c 點(diǎn)是對(duì)稱的，且 E (X 存在，試證 （1）這個(gè)對(duì)稱點(diǎn) c 既是均值又是中位數(shù)，即 E (X = x0.5 = c； （2）如果 c = 0，則 xp = x1 p 證：設(shè) f (x = p (x + c，因 p (x 關(guān)于 c 點(diǎn)對(duì)稱，有 f (x 為偶函數(shù)， （1） E ( X = xp( xdx = ( x c p ( xdx + cp( xdx = up (u + cdu + c = uf (u du + c +

11、+ + + + = 0 + c = c； 因 f (x 為偶函數(shù)，有 則 F (c = c 0 0 f ( xdx = 1 + f ( xdx = 0.5 ， 2 0 p( x dx = p (u + cdu = f (u du = 0.5 ，可得 x0.5 = c； 故 E (X = x0.5 = c； （2）如果 c = 0，有 p (x 為偶函數(shù)， 則 F (x p = xp p ( xdx = xp + p(u (du = + xp p(u du = 1 xp p(u du = 1 F ( x p = p ， 可得 F (xp = 1 p， 故 xp = x1 p ，即 xp = x1

12、 p 10試證隨機(jī)變量 X 的偏度系數(shù)與峰度系數(shù)對(duì)位移和改變比例尺是不變的，即對(duì)任意的實(shí)數(shù) a, b (b 0， Y = a + b X 與 X 有相同的偏度系數(shù)與峰度系數(shù) 證：因 Y = a + bX，有 E (Y = E (a + bX = a + bE (X ，可得 Y E (Y = a + b X a bE (X = bX E (X ， 則 2 (Y = E Y E (Y 2 = Eb2X E (X 2 = b2 E X E (X 2 = b2 2 (X ， 3 (Y = E Y E (Y 3 = Eb3X E (X 3 = b3 E X E (X 3 = b3 3 (X ， 4 (Y

13、 = E Y E (Y 4 = Eb4X E (X 4 = b4 E X E (X 4 = b4 4 (X ， 故偏度系數(shù) 1 (Y = 3 (Y 2 (Y 3/ 2 = b 3 3 ( X b 2 ( X 2 3/ 2 = b 3 3 ( X b 2 ( X 3 3/ 2 = 3 (X 2 ( X 3 / 2 = 1 ( X ； 43 峰度系數(shù) 2 (Y = b 4 4 ( X b 4 4 ( X 4 (Y (X 3 = 3 = 3= 4 3 = 2 (X 2 2 2 4 2 2 (Y b 2 ( X b 2 ( X 2 ( X 2 11設(shè)某項(xiàng)維修時(shí)間 T（單位：分）服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 LN

14、(µ, 2 （1）求 p 分位數(shù) tp； （2）若µ = 4.127，求該分布的中位數(shù)； （3）若µ = 4.127， = 1.0364，求完成 95%維修任務(wù)的時(shí)間 解： （1）因 T 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 LN (µ, 2 ，有 ln T 服從正態(tài)分布 N (µ, 2 ， ln t p µ ln t p µ 則 p = PT t p = Pln T ln t p = = u p ，ln tp = µ + up， ，即 故 tp = e µ + u p ； （2）中位數(shù) t0.5 = e µ +

15、u0.5 = e 4.1271+0 = 61.9979 ； （3） t0.95 = e µ + u0.95 = e 4.1271+1.0364×1.6449 = 340.9972 12某種絕緣材料的使用壽命 T（單位：小時(shí)）服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 LN (µ, 2 若已知分位數(shù) t0.2 = 5000 小 時(shí)，t0.8 = 65000 小時(shí)，求µ 和 解：因 T 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 LN (µ, 2 ，有 ln T 服從正態(tài)分布 N (µ, 2 ， 由第 11 題可知 t p = e µ + u p ， 則 t0.2 = e µ + u0.2 = e µ 0.8416 = 5000 ， t0.8 = e µ + u0.8 = e µ +0.8416 = 65000 ， 可得µ 0.8416 = ln 5000 = 8.5172，µ + 0.8416 = ln 65000 = 11.0821， 故µ = 9.7997， = 1.5239 13某廠決定按過(guò)去生產(chǎn)狀況對(duì)月生產(chǎn)額最高的 5