2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步專題熱點難點專項練：反比例函數(shù)

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步專題熱點難點專項練習(xí)

專題26.5反比例函數(shù)（章節(jié)復(fù)習(xí)+能力強化卷）

思維導(dǎo)圖知識索引

作圖象時要注意用

光滑的曲線連接

形如卜=：（k/0）的函數(shù)，

稱.，是、的反比例函數(shù)

x表達式

或0=比（比wo）

概念

?設(shè)反

?代比

待定系數(shù)法例

?解表達式的求法函

數(shù)

?寫

利用比例系數(shù)〃的幾何意義

在實際生活中的應(yīng)用

反比例函數(shù)的比例系數(shù)一⑼亠亠一宀

確幾何意義的應(yīng)用罩烹甥它知現(xiàn)應(yīng)用

的綜口應(yīng)用

與一次函數(shù)結(jié)合的應(yīng)用

知識模塊精講講練

知識點1:反比例函數(shù)的概念

一般地，形如＞=丄（左為常數(shù)，k力0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中％是自變量,y是函數(shù),自變

X

量X的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).

細節(jié)剖析：

在丁=丄中，自變量X的取值范圍是X3。，y=-GHO）可以寫成曠=尢宀（4"））的形式，也可

XX

以寫成卩=上的形式.

知識點2：反比例函數(shù)解析式的確定

k

反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)丫=—中,只有一個待定系數(shù)上,因此只

X-

需要知道一對不y的對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標，即可求出左的值，從而確定其解析式.

知識點3：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.反比例函數(shù)的圖象

k

反比例函數(shù)y=2（左wO）的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、

四象限.它們關(guān)于原點對稱,反比例函數(shù)的圖象與X軸、y軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近

坐標軸,但永遠不與坐標軸相交.

細節(jié)剖析：

觀察反比例函數(shù)y-上的圖象可得：x和y的值都不能為o,并且圖象既是軸對稱圖形,又是

X

中心對稱圖形,它有兩條對稱軸,對稱中心是坐標原點.

①y=丄（4w0）的圖象是軸對稱圖形,對稱軸為y=X和y=-X兩條直線；

X

k

②y=—（左wO）的圖象是中心對稱圖形,對稱中心為原點（0,0）；

X

注：正比例函數(shù)y=%x與反比例函數(shù)y=3,

x

當后?七＜0時，兩圖象沒有交點；當分?七＞0時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關(guān)于原

點成中心對稱.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)

（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)

當上＞0時，］、y同號，圖象在第一、三象限,且在每個象限內(nèi)，丁隨」的增大而減小;當左＜o時，

了、丁異號，圖象在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)，丁隨犬的增大而增大.

（2）若點（a,方）在反比例函數(shù)y=丄的圖象上，則點（-a,-Z?）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)

x

于原點對稱.

（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較

正比例函數(shù)反比例函數(shù)

y=與(七N0)

解析式y(tǒng)=kx(kw0)

X

圖像直線有兩個分支組成的曲線（雙曲線）

左＞0,一、三象限；左＞0,一、三象限

位置

左＜0,二、四象限左＜0,二、四象限

k＞o,丁隨x的增大而增大k＞o,在每個象限，y隨x的增大而減小

增減性

k＜o,丁隨工的增大而減小k＜o,在每個象限，丁隨x的增大而增大

（4）反比例函數(shù)y=&中左的意義

X

①過雙曲線y=&（左W0）上任意一點作X軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為何亠

x

②過雙曲線y=K（左力0）上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為四.

x2

知識點4：應(yīng)用反比例函數(shù)解決實際問題須注意以下幾點

1.反比例函數(shù)在現(xiàn)實世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題.

2.列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.

［能力拔高百分沖刺

一、選擇題(每題2分，共20分)

1.(本題2分)(2021春?九年級課時練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)丫=%父-47小+3〃7((〃7>0)的圖像與無軸

交于A、8兩點，與，軸交于點C,連接AC、BC,若C4平分/0C3,則加的值為()

A.GB.72C.—D.叵

23

【答案】D

【分析】先求出A(l,0),B(3,0),C(0,3m),再證△COBsaADB,列比例式求解即可.

【詳解】解：：二次函數(shù)丁=如2-4如+3雙(加>0)的圖像與x軸交于A、B兩點，與V軸交于點C,

當y=0時，即0=如;2_4nxr+3刃，解得，Xi=l,x2-3,

.,.A(l,0),B(3,0),

當x=0時，y=3m,

C(0,3m),

過點A作AD丄BD于點D,如圖,

.\AD=OA=1,

又；AB=2,

;.BD=G

ZCOB=ZADB,ZB=ZB,

/.△COB^AADB,

,COOB3m3

?.=--,即Bn———~~j=,

ADDB1V3

故選D

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的判定與性質(zhì).正確的添加輔助線和證

-△ADB是解決問題的關(guān)鍵.

2.（本題2分）（2022?河南鄭州?鄭州外國語中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1,在矩形ABCD中，動點E從A出

發(fā)，沿A-B-C方向運動，當點E到達點C時停止運動，過點E作EF丄AE交CD于點F,設(shè)點E運動路程為

x,CF=y,如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，給出下列結(jié)論：①a=3；②當CF=I時，點

A.①②都對B.①②都錯C.①對②錯D.①錯②對

【答案】A

【分析】由已知，AB=a,AB+BC=5,當E在BC上時，如圖，可得△ABEsZ\ECF,繼而根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)可得y=-丄/+2。尤-5,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得-丄（g31+,+5"+5一5=丄,由此可得滸3,繼

aaa\2）al3

ioi7qi

而可得y=-公/+：尤-5,把y=i代入解方程可求得xi=j,x2=1,由此可求得當E在AB上時，y=1時，

DD?乙乙I

x=?,據(jù)此即可作出判斷.

4

【詳解】解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

當E在BC上時，如圖,

?.?E作EF丄AE,

,AABE^AECF,

.ABCE

*BE-FCy

a_5-x

,x-ay

1。+5

—X2H----------x-5

aa

.ba+5.ifa+5^^a+5a+5_1

??=x=-『='—時,

2a2ay2Ja23

75

解得@i=3,a2=—（舍去），

y——一—%—5,

33

wJI128口

當y二一時，一二—三+-x-5,

4433

7Q

解得Xi=Q,x2=—,

當E在AB上時，y二丄時，

4

c111

x=3=——，

44

故①②正確，

故選A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，弄清題意，正確畫出符合

條件的圖形，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（本題2分）（2023?山東聊城?統(tǒng)考三模）如圖，已知矩形/閱9的長相為5,寬6。為4,￡是宛邊上

的一個動點，AELEF,EF交CD于息F,設(shè)B拄x,FOy,則點￡從點8運動到點。時，能表示p關(guān)于x的函

數(shù)關(guān)系的大致圖象是

【答案】A

【分析】利用三角形相似求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行分析，即可求解.

【詳解】解：在矩形加力中，N分N俏90°,

:./CEF+/CF芹郷,

?:除4,BE=x,

：.C￡=4-x.

■:AELEF,

:./AEB+/CE六9b°,

???ZAEB^ZCFE.

又???/廬N卽90°,

AAEBs叢EFC,

.ABBE

9,~CE~~CF"

“5x

即^——，

4-xy

I14

?\y=—(4x-x)=—(x-2)2+—

555

14

???y與x的函數(shù)關(guān)系式為：j---(^-2)2+y(0W后4)

4

由關(guān)系式可知，函數(shù)圖象為一段拋物線，開口向下，頂點坐標為（2,y）,對稱軸為直線尸2.

故選：A

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象問題，根據(jù)題意求出函

數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

4.（本題2分）（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球

內(nèi)氣體的氣壓P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，如圖，當氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時，氣球

將爆炸，為了安全起見，氣球體積丫應(yīng)（）n?.

5454

【答案】A

【分析】由題意得尸與V成反比例，設(shè)氣球內(nèi)氣體的氣壓尸和氣體的體積V之間的函數(shù)關(guān)系式為

尸=￡（左＞0）,代入（1.6,60）,求出解析式，由尸W120,求出V的范圍即可.

【詳解】解：設(shè)氣球內(nèi)氣體的氣壓尸和氣體的體積V之間的函數(shù)關(guān)系式為尸="（左＞0）,

??,圖象過（1660）,

60=-^―,

1.6

解得，左=96,

.p-96

,,V'

???在第一象限內(nèi)尸隨V的增大而減小，

964

???當PW120時，y＜120,即

故選：A.

【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象上已知點的坐標,

利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.

5.（本題2分）（2023?吉林長春??？寄M預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的頂點力在反比例函數(shù)y=；（x>0）

的圖象上，點6在y軸上，點C、點。在x軸上，AO與y軸交于點￡,若5"￡=3,則"的值為（）

A.3B.3A/3C.6D.6g

【答案】C

【分析】作AF丄x軸于F,先證明四邊形廠是矩形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S平行四邊映BCD=2SBCE=6,

再根據(jù)矩形ABOF與平行四邊形A3CD面積相等即可求出陽=6進而求解.

【詳解】解：作AF丄x軸于廣，如下圖所示：

在平行四邊形ABCD中，ABCD,

???CD丄y軸，

AB丄y軸，

尸丄x軸，30丄。尸軸，

四邊形ABO尸是矩形，

???QV.BCE~=）3，

S平行四邊形ABCD=2SBCE=6,

S矩形ABOF=S平行四邊形ABC。，

??$矩形4B0F=6,

又：S矩形4B0f=ABxBO，

.,.悶=6,

?.?點/在第一象限，

：.k=6,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)中4的幾何意義：過反比例函數(shù)上任一點作x軸和y

軸的垂線，則兩個垂足、原點及該點所圍成的矩形面積等于反比例函數(shù)的I禮得出S平行四邊形ABC?=2S皿=6,

是解答本題的關(guān)鍵.

6.（本題2分）（2023春?吉林長春?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點A、C在反比

例函數(shù)＞=+（左＞0）的圖象上且關(guān)于原點對稱，點B、D在反比例函數(shù)y=§優(yōu)2＜。）的圖象上.已知點A的

坐標為（3,2）,點B的橫坐標為石，若四邊形A3CD為矩形，則性的值為（）

A.-2y/2B.-2A/5C.-2屈D.-2岳

【答案】C

【分析】連接OA.OB,根據(jù)四邊形A3CD為矩形,可得OA=OB,根據(jù)點A的坐標為（3,2），可求得OA=OB=

萬，根據(jù)點8的橫坐標為石，即可求得點5的縱坐標，進而可求心的值.

【詳解】解：如圖，連接。4、OB,

k

四邊形ABCD為矩形，點A、C在反比例函數(shù)＞=：（匕＞0）的圖象上且關(guān)于原點對稱，

OA=OB,

.點A的坐標為（3,2）,

OA=J32+2、='s/T^，

OB=y/l3,

點8的橫坐標為石，點8在第四象限，

點B的縱坐標為713-5=-提=-2&

k2的值為-20XA/5=-2V10，

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用反比例函

數(shù)的圖象和性質(zhì)、矩形的性質(zhì).

7.（本題2分）（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2尤+4與x軸、7

軸分別交于48兩點，以為邊在第二象限作正方形ABCD,點，在雙曲線y=A上，將正方形ABCD沿

X

X軸正方向平移a個單位長度后，點C恰好落在此雙曲線上，則a的值是（）

【答案】B

【分析】作CE丄y軸于點E,交雙曲線于點G.作小丄X軸于點尸，易證絲FD陰EBC,求得4B

的坐標，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以求得C、。的坐標，從而利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，

進而求得平移后的點的坐標，貝I」。的值即可求解.

【詳解】解：作CE丄y軸于點E,交雙曲線于點G,作。尸丄x軸于點

在y=2x+4中，令x=0,解得：y=4,

.?.8的坐標是(。，4).

令y=。，解得：x=-2,

r.A的坐標是(-2,0).

:.OB=4,04=2.

:四邊形A3CD是正方形，

ZBAD=90°,AD=AB,

ZBAO+ZDAF=90°,

又；直角,ABO中，ZBAO+ZOBA^90°,

:.ZDAF=ZOBA,

在,和△FDA中，

ZABO=ZDAF

<ZBOA=ZAFD,

AB=DA

OAB^,FDA(AAS),

同理可證△Q鉆絲△￡?(7,

:.AF=OB=EC=4,DF=OA=BE=2,

.:￡＞的坐標是(-6,2),C的坐標是(T，6).

.,.k=6x2=—12,

，反函數(shù)的解析式是：y=-上19.

12

把>=6代入y亠得：x=-2.

X

a=—2—（—4）=2.

故選：B.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)

法求函數(shù)的解析式，正確求得C、。的坐標是關(guān)鍵.

8.（本題2分）（2023春?湖北襄陽?九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）對于反比例函數(shù)、=-纟，下列結(jié)論：

X

①圖象分布在第二，四象限；

②當x<。時，y隨工的增大而增大；

③從圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形面積都是6；

④若點A（占,M）,3（*2，%）都在圖象上，且%</，則

其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確.

【詳解】解：?反比例函數(shù)>=-纟，-6<0,

,該函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，故①正確;

當x<o時，y隨x的增大而增大，故②正確；

當根據(jù)上的幾何意義可知，③正確；

若點A（X，yJ,Ww，%）都在圖象上，且為＜%,則點A和點B都在第二象限或都在第四象限時以〈為，點

A在第二象限，點B在第四象限時%＞%，故④錯誤；

故選：A.

k

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)y=*（左是常

X

數(shù)，%W0）的圖象是雙曲線，當左＞0,反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨X

的增大而減??；當上＜0,反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增

大.

9.（本題2分）（2023秋?甘肅蘭州?九年級校考期末）如圖，兩個反比例函數(shù)y=之和y=*在第一象限的

尤x

圖象分別是和Cz，設(shè)點戶在G上，叢丄X軸于點4交a于8貝!]PO3的面積為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y」（人0）系數(shù)上的幾何意義得到S9,SA0B,然后利用SPOB=SAOP-SA.進

X

行計算即可.

【詳解】解：???如丄工軸于點4交于點民

**?S^AOP=,x4=2,SAOB=，x2=1，

SPOB=SAOP-SAOB=2-1=1.

故選：A

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=A（z#o）系數(shù)％的幾何意義：從反比例函數(shù)y=勺（左二。）圖象上任意一

XX

點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為網(wǎng).

2

10.（本題2分）（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，點/在函數(shù),=一（％＞0）的圖象上，點6在函數(shù)

3

>=—（兀>0）的圖象上，且軸，5c丄九軸于點G則四邊形ABCO的面積為（）

X

-----——°------------->

0CX

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延長54交y軸于點。，根據(jù)反比例函數(shù)上值的幾何意義得到5厶也。=/X2=1,S矩形OCBD=3,根據(jù)

四邊形ABCO的面積等于S矩形OC5D-SADO,即可得解.

【詳解】解：延長54交y軸于點。，

-of-CX

AB〃x軸，

..?。4丄y軸，

..?點/在函數(shù)y=—（尤>0）的圖象上，

X

「?=當X2=1,

3

??5C丄x軸于點。，05丄y軸，點8在函數(shù)y=—（%>0）的圖象上，

X

??S矩形0c5。=3,

???四邊形ABCO的面積等于S矩形g加-S的=3-1=2；

故選B.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用.熟練掌握反比例函數(shù)中上的幾何意義，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共20分）

11.（本題2分）（2022?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，ABC

的頂點均落在坐標軸上，SLAC=BC,將線段AC沿x軸正方向平移至DE,點〃恰好為中點，DE與BC

交于點廣，連接AE、AF.若△AEF的面積為6,點￡在函數(shù)>=勺4#0）的圖像上，則次的值為.

【答案】16

【分析】設(shè)6點的坐標為（a，0）,點C的坐標為（O,c），由已知條件可得A（-。，0）,-

分別求出直線BC與直線QE的解析式，聯(lián)立方程組，可求得點尸坐標，再結(jié)合三角形面積公式可得出ac的

值，最后利用反比例函數(shù)中孑的幾何意義可得出答案.

【詳解】解：???ACuBC,

.工BC為等腰三角形，

OA=OB,

設(shè)6點的坐標為（a，。），點C的坐標為（0，c）,

A（-a,0）,

設(shè)直線AC的解析式為y=履+8，

把A（-a,0）,C（0,c）代入>=厶+。，

,_c

得F,

b=c

直線AC的解析式為y=￡x+c,

a

..?線段OE是由線段AC沿x軸正方向平移得到，且。為中點，

設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n,

1

將C］，代入y=痛+〃，

2

c

m=—

a

得得

c

n=——

2

直線OE的解析式為了=￡》-《

a2

同理可得直線3c的解析式為y=-￡x+C,

a

ccc3

由一x—=—X+c,得

a2a

所以b

13

??Q—Q-Q=—X—QX=6,

?°AEF~°ADE°AFD22

3

—ac=16,

2

..?點￡在函數(shù)y=［伍xO）的圖像上,

3

k=—ac=16,

2

故答案為：16.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)A的幾何意義、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握反比例函數(shù)中A

的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵.

12.（本題2分）（2023秋?浙江金華?九年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團?？奸_學(xué)考試）菱形A3CD在平面

直角坐標系中如圖1所示，已知NC=45。，CD〃x軸，點。的橫坐標為-1.直線y=x向左平移0個單位，

在平移過程中，被菱形截得的線段長為〃，〃與0之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則過點8的反比例函數(shù)表達

式為.

【分析】觀察所給圖象可知，當m=2時，平移后圖象經(jīng)過點C,由此求出點。的坐標；當平移后圖象在點

8和點，之間時，被菱形截得的線段長〃=2,由此求出菱形邊長，由此可解.

【詳解】解：直線y=x向左平移加個單位后的解析式為，=*+%,當平移后圖象經(jīng)過點戸時如下圖所示,

直線y=x+7〃與AD交于點E,過點8作3/丄CD于點F,

由圖2知，當m=2時，平移后圖象經(jīng)過點G即直線y=x+2經(jīng)過點G

點C的橫坐標為-1,y=-i+2=i,

，點，的坐標為(-M).

由圖2知，當平移后圖象在點6和點，之間時，被菱形截得的線段長〃=2,即亜=2,

AB〃CD〃x軸，

???直線V=x+機與43的夾角NABEH5。，

又；菱形ABCD中，ZA=ZC=45°,

ZAEB=90°,

厶4￡8是等腰直角三角形，

AB=?BE=20，

BC=AB=2應(yīng),

ZC=45°,BFLCD,

???/C是等腰直角三角形，

CF=BF=2>/2x—=2,

2

.??點6的坐標為(—1—2,1+2),即2(—3,3)

設(shè)過點8的反比例函數(shù)表達式為丁=：(4*0),

將5(—3,3)代入,得：左=—3x3=—9,

9

???點B的反比例函數(shù)表達式為y=—-,

x

9

故答案為：y=--.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標與圖象，一次函數(shù)圖象的平移，求反比例函數(shù)解析式，等腰直角三角

形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是求出菱形邊長和點c的坐標.

13.（本題2分）（2023?安徽六安??？级＃┤鐖D，反比例函數(shù)y=-，（x<0）的圖象經(jīng)過點4反比例函

bo

數(shù)>（無<0）的圖象經(jīng)過點B,A3所在直線垂直x軸于點C,M是y軸上一點，連接MB,若%MAB=~>

則k的值等于.

【答案】-2.4

【分析】首先設(shè)OC=7〃，依題意得點A、B的橫坐標均為一〃?，于是可表示出點A,B的縱坐標，進而可

9

表示出線段A3的長，然后依據(jù)若以“初=不可求出％的值.

【詳解】解：設(shè)點A橫坐標為m，則OC=-機，

依題意得：點A、B的橫坐標均為一相，

.?點A在反比例函數(shù)丁=-纟的圖象上，

X

???點A的縱坐標為：-纟，

m

?點5在反比例函數(shù)y=&的圖象上，

x

點3的縱坐標為:y,

o

…6kZ+6

二.AB=------=------,

mmm

-2

s-5，

19

-ABOC=-,

25

1,k+6、/、9

n即n：—,（-----）?（一機）=—，

2m5

解得：k=-2.4,

故答案為：-2.4.

k

【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)y=勺中，上的幾何意義，解題的關(guān)鍵是設(shè)加，并用加的代數(shù)式

X

表示出線段A5的長.

14.（本題2分）（2022?廣東珠海??？既＃﹥蓚€反比例函數(shù)》=丄和y=—在第一象限內(nèi)的圖象如圖所

xx

k7?

示，點夕在y=上的圖象上，PC丄x軸于點G交丁=女的圖象于點4丄y軸于點〃交y=4的圖象于

XXX

點6,當點戶在>=纟的圖象上運動時，以下結(jié)論：①△OD8與亠?的面積相等；②四邊形的面積

不會發(fā)生變化；③以與PB始終相等；④2<%<4.其中一定正確的是.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是根據(jù)反比例函數(shù)孑的幾何意義，對四個選項逐一進行分析,

即可得出正確答案.

【詳解】解：由于點/和點〃均在同一個反比例函數(shù)y=4的圖象上，

X

所以S.ODB=5孫=1，OCA=~A>，=1'

故△OD3與厶。。的面積相等，故①正確；

:矩形OCPD的面積是上而/XODB、厶。。為定值1,則四邊形的面積只與孑有關(guān)，

...四邊形的面積不會發(fā)生變化，故②正確；

只有當四邊形OCPD為正方形時滿足上4=PB,

.?.以與PB不一定相等，故③錯誤；

由圖象可知：當x=2時，y<2,則上<4,

又?.?當x取同一個值時，y=*的圖象在y=女的圖象的上方，

XX

故左>2,

：.2<k<4,故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)y=:（左#0）中左的幾何意義，即過雙曲線上任

意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為陶，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做

此類題一定要正確理解k的幾何意義.

15.（本題2分）（2023春?江蘇淮安?九年級統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=*（x>0）的圖象繞坐標原

點（0,0）順時針旋轉(zhuǎn)45。，旋轉(zhuǎn)后的圖象與X軸相交于/點，若直線y=gx與旋轉(zhuǎn)后的圖象相交于昆則OAB

的面積為.

外

【答案】在以也住6

333

【分析】反比例函數(shù)>=*（X>。）的圖象上點E繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得點A,過點E作防丄x軸于尸，

得出。4=?！?w，作3c丄x軸于C,設(shè)并且△OBC是由_OKH繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45。得到

的，則OH=OC=x,從而H—x,jx，可證出oKGH是等腰直角三角形，得K的坐標，代入y=—（x>0）

I22丿x

從而得出x的值，進而求得3C的長度，利用三角形面積公式解決問題.

【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)>=9（x>0）的圖象上點E繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得點A,過點E作EF丄x

X

軸于P,

設(shè)中,二，

QNEO戶=45。，

:.EF=OFf

5

a

a>0,

/.a=y/5，

OA=OE=JlO,

作BC丄x軸于C,AOBC是由aOKH繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45。得到的，

.?.點/在原反比例函數(shù)圖象上.

設(shè)

.-.OH=OC=x,

KH^BC=-x,

2

:.KG=GH=-x,

4

.J亞“亞叵亠6\Bnd3正，

..K.\----x-------Xf-----x-\------x.即K----XJ----------x

(2424丿(44

.V23A/2.

-----x-------x=5，

44

解得方迥或X一迥(舍),

33

故答案為：巫.

3

【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例

函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，求得8點的坐標是解題的關(guān)鍵.

16.（本題2分）（2023春?黑龍江大慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A，4,4…在反比例函數(shù)y=j尤>0）

的圖象上，點與，B?B3,…紇在y軸上，且/瓦。41=/及44=/"&4=……，直線y=x與雙曲線>=丄

X

交于點4，片A丄。4，與&丄與人,鳥人丄紇4…，則8”（〃為正整數(shù)）的坐標是.

J

54

5

3

8

52

1

【答案】（。,26）

【分析】如圖，過4作4"丄y軸于H,求解A。』），結(jié)合題意，片&為，&A鳥，…，都是

等腰直角三角形，想辦法求出。與，OB2,OB3,OB&,…,探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過A作4冃丄y軸于“，

1

y=—

vr%,其中x>o,

y=x

f%—1,、

解得：[=],即A(L1),

.?.OH=AlH=l,

：./AQH=45。，

.?…。44是等腰直角三角形,

OBX=2；

同理可得：一片層厶3鳥，…，都是等腰直角三角形,

?

歹/

54

83

2

55-

1

T

/7Z

------7厶---------------------------?

x\oX

同理設(shè)4（粧加+2）,

m（2+m）=l,

解得m=0-1,（負根舍去）

???。巴=2+2亞-2=2血，

同理可得：OB3=2y/3,

OBn=2>J~n,

???&（0,2冊）.

故答案為：（0,2冊）.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，一元二次方程的解法，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4

17.（本題2分）（2023?浙江溫州?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=—（x>0）

x

的圖象經(jīng)過平行四邊形。RC的頂點4將該反比例函數(shù)圖象沿y軸對稱，所得圖象恰好經(jīng)過5c中點

【答案】10

【分析】設(shè)《力,根據(jù)平行四邊形對邊平行得到點6的縱坐標*根據(jù)圖象沿y軸對稱所得圖

象為y=-:及中點性質(zhì)得到”[-2兌彳]，根據(jù)點。、力的水平距離為x及平行四邊形對邊平行且相等，推出

得至IJAB=』x

點、欣8的水平距離為推出得到S°ABC=10-

2I2尤2

4

【詳解】???>=—（x>0）的圖象經(jīng)過平行四邊形。1BC的頂點4

x

設(shè)厶（羽-1,

?.?AB.%軸，

4

???點戸的縱坐標為一，

x

44

???y=—圖象沿了軸對稱所得圖象為y=—-,這個圖象恰好經(jīng)過中點M,

xx

??,點。、/的水平距離為X,OA//BC,OA=BC,

???點B、。的水平距離也為x,

丄點從6的水平距離為1%,

2

A.B=xH—x——x,

22

54

---SOABC=ZT--=10-

2x

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，軸對稱，平行四邊形.解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象

上點的性質(zhì)，關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形邊的性質(zhì)，中點坐標的性質(zhì).

18.（本題2分）（2023春?山東日照?九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，菱形QBCD的邊

在x軸上，反比例函數(shù)>=—（尤>0）的圖像經(jīng)過菱形對角線的交點A,且與邊8C交于點尸，點C的坐標為

x

（8,4）,貝I]08尸的面積為

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點A坐標，將點A的坐標代入到反比例函數(shù)的一般形式后求得左值即可確定函

數(shù)的解析式；過點A作厶M丄無軸于點,過點。作CN丄入軸于點N,過點/作切丄工軸于〃，求得點B

的坐標，然后求得直線3c的解析式，確定直線和雙曲線的交點b坐標，然后根據(jù)求解即

可.

【詳解】解：；四邊形OBCD是菱形，

，OA=AC,

:點C的坐標為(8,4),

/.A(4,2),

把點44,2)代入反比例函數(shù)y=纟，解得左=8,

X

Q

...反比例函數(shù)的解析式為y=2；

X

過點厶作A〃丄x軸于點M,過點C^、CN丄x軸于點N,過點尸作丄x軸于如下圖，

貝i]CV=4-0=4,

設(shè)O3=x,貝U3C=C?=x,BN=S-x,

在Rt^CNB中，可有BM+CN2=BC2,即（8-X>+42=Y,

解得x=5,

...點B的坐標為(5,0),

設(shè)直線3c的函數(shù)表達式為丁=依+6,直線3c過點8（5,0）,C（8,4）,

4

a———

0=5Q+Z?3

4=8〃+獷解得

720

b=-----

3

...直線2C的解析式為y=*等,

8

y=-x=6

X

解（不合題意,舍去)或＜4,

y=-

4

???點尸的坐標為(6,§),

/.S=-OBFH=-x5x-=—.

O0BF2233

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、菱形的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合應(yīng)用等知識,

解題的關(guān)鍵是正確確定點B坐標，從而確定直線的解析式.

19.（本題2分）（2022?福建三明?統(tǒng)考模擬預(yù)測）反比例函數(shù)必=幺（a>0,。為常數(shù)）和%=?在第

XX

一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點M■在%=2的圖象上，MC丄X軸于點C,交％=9的圖象于點A；9丄y軸

XX

于點D,交％=幺的圖象于點B,當點M在％=2的圖象上運動時，以下結(jié)論：

XX

①SODB=SOCA；

②四邊形。4M3的面積為2-〃；

③當。=1時，點A是MC的中點;

④若S四邊形0AM§—SQDB+SOCA,則四邊形0cMe為正方形.

其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

【答案】①②③

【分析】①由反比例函數(shù)的幾何意義可得答案；②S四邊形=S矩形DMCO-SBDO-AOC，進行計算即可得到

答案；③連接OM,根據(jù)已知條件得到％=烏=丄，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；④由①②知，

XX

2-a=a,解得：a=l,得到0C不一定等于從而得出結(jié)論.

【詳解】解：①，MC丄x軸于點C,交3=4的圖象于點A；9