四川省敘永第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理科）試題

四川省敘永第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試

數(shù)學(xué)(理科)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A={x∣χ2+2x-3≤θ},8={x∣y=ln(x+2)},則AB=()

A.(-2,-IJB.(-2,3]C.(-2,1]D.[-2,1]

2.命題''VneN*j(")GM且〃的否定形式是()

A.,/(〃)任N*且/(〃)>〃

B.,/(〃)任N*或/,(〃)>〃

C.??wM,∕(*任M且/(%)>%

D.??wN*,∕(%)任N*或/(n0)>"(I

3.下列函數(shù)中，在上是增函數(shù)的是()

A.y=-x3B.y--x2-4xC.y-^~D.y=√2-x

l+x

4.已知命題P：空間中兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；命題q：空間中三

個(gè)平面α,β,/,若C/,β-Lr,aβ=l,貝則下列命題為真命題的是

()

A.PdqB.〃人rc.PYfD.-PM

5.二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21x21大小的，即441個(gè)點(diǎn)，根

據(jù)O和1的二進(jìn)制編碼，一共有2句種不同的碼，假設(shè)我們1秒鐘用掉1萬個(gè)二維碼，1

萬年約為3x10"秒，那么大約可以用(參考數(shù)據(jù)：lg2=O.3,lg3≈0.5)()

A.IO"?萬年B.117萬年C.10項(xiàng)萬年D.205萬年

6.已知α>0且α≠l,“函數(shù)〃X)=優(yōu)為增函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=x"~在(0,+“)上單調(diào)遞

增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)f(x)=∕+:g(χ)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

A.y=∕(χ)+g(χ)-!B.y=∕(χ)-g(χ)一!

44

C.y=∕(χ)g(χ)D.y=4τ?

f(χ)

8.如圖是某三棱錐的三視圖，已知網(wǎng)格紙的小正方形邊長(zhǎng)是1,則這個(gè)三棱錐中最長(zhǎng)

棱的長(zhǎng)為()

A.5B.√34C.741D.7

???l

9.若函數(shù)F(X)=FL是奇函數(shù)，則使f(X)>3成立的X的取值范圍為()

2-a

A.(-8,-I)B.(-1,0)C.(0,I)D.(1,+8)

10.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子’'的美譽(yù)，用其名

字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)XeR,用印表示不超過X的最大整數(shù)，則y=E]稱為高斯函

數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如："3.7]=T,[2.3]=2.已知/(X)==2,則函數(shù)y="(x)]

的值域?yàn)?)

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,-1,0|D.{-1,0,1)

?v>0

11.已知/(x)=e`-，若關(guān)于X的方程/⑶-對(duì)(χ)+,“7=O恰好有4個(gè)不相等

-x√c<O

的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)掰的取值范圍為()

A.d,2)u(2,e)B.(?,l)C.(1,?+!)D.(Le)

eeee

0.4

12.設(shè)α=lnl.l,?=e°1-1,c=tanθ.l,d=—,則()

π

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<h

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

二、填空題

13.己知基函數(shù)y=(∕+m-l)x""∣在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)，〃的值為.

14.已知圓錐的高為2,體積為8-若該圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面

上，則此球的體積為.

15.已知函數(shù)/(x)=OreTT+hu,若/(x)Wl,貝IJa的取值范圍為.

16.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(x+l)是奇函數(shù)，且/(lr)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,則下列結(jié)論正確的是.(只填序號(hào))

①/(x)為偶函數(shù)；

②g(x)為奇函數(shù)；

20

③￡f(k)=40；

k=?

20

④Xg(Z)=40.

k=l

三、解答題

17.在ΛBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,已知/+/?-c?=：仍.

⑴求COSC；

⑵若c=3√∏,求,,ABC外接圓的半徑.

18.已知函數(shù)f(x)=2Λ∕2COSXSin(X+-).

4

⑴求/(X)的最小正周期；

⑵現(xiàn)將/(X)圖象向左平移W個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到g。)的圖象，

O

若存在X€［-￡TT,曰TT，使得g(x)<“成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

63

19.設(shè)/'(X)為函數(shù)F(X)的導(dǎo)函數(shù)，已知f(x)=x+∕'(0)cos2x+α(αeR),且F(X)的圖

像經(jīng)過點(diǎn)(0,2).

(1)求曲線y=/(?)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)在［0,兀］上的單調(diào)區(qū)間.

20.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A8C。(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線

為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的封閉圖形.

(1)設(shè)8C=1,AB=2,求這個(gè)幾何體的表面積;

(2)設(shè)G是弧。尸的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且APLBE.求異面直線AG與BP所

成角的大小.

21.已知函數(shù)/(x)=?∣7,其中x>0,4>0.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/S)的極值;

(2)若方程K2=x-αlnx恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

e

X=2+2COSa

22.在平面直角坐標(biāo)系XO)，中，P為曲線G：.(α為參數(shù))上的動(dòng)點(diǎn)，若

γ=sιnα

將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標(biāo)保持不變，得到點(diǎn)。，記點(diǎn)。的軌跡為。2,

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求G的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)A,8是G上異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，且ZAOB=求AoB面積S的最大值.

23.已知函數(shù)F(X)=IX-α∣+∣x+3∣.

⑴當(dāng)“=1時(shí)，求不等式/(x)≥6的解集；

⑵若/(x)<2α有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.C

【分析】先化簡(jiǎn)集合AB,然后用交集的定義即可求解

【詳解】因?yàn)锳={x∣χ2+2x-3≤θ}={x∣-3≤x≤l},8={x∣y=ln(x+2)}={x∣x>-2},

所以AB=(-2,1]

故選：C

2.D

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“功蚱”,〃”)€乂且〃”)口的否定

形式是孤∈N*,f(%)任N*或f(n0)>n0

故選D.

考點(diǎn)：命題的否定

3.C

【解析】對(duì)AB：直接判斷其單調(diào)性；

X1

對(duì)C：把y=丁匚化為y=l-3一,判斷其單調(diào)性；

l+x1+x

對(duì)D：利用y=6判斷y=√Γ7的單調(diào)性.

【詳解】本題考查函數(shù)的單調(diào)性.

A項(xiàng)中，函數(shù)y=-V在R上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)中，二次函數(shù)y=-∕-4x的圖像開口向下，對(duì)稱軸方程為x=-2,故該函數(shù)在(—,-2]

上單調(diào)遞增，在(-2,E)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)中，函數(shù)y=W=I-士，在(F,-l)和(Ly)上分別單調(diào)遞增，故C正確；

D項(xiàng)中，函數(shù)y=萬^在(-8,2]上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：四個(gè)選項(xiàng)互不相關(guān)的選擇題，需要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.

4.D

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系定義、面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合與、或、非的真假性質(zhì)逐

一判斷即可.

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】因?yàn)榭臻g中兩條直線沒有公共點(diǎn)，兩條直線可以是異面直線,所以命題〃是假命題,

因此T7是真命題，

由面面垂直的性質(zhì)可知命題q是真命題，f為假命題，

所以〃八"為假命題，PAF為假命題，PVF為假命題，力八9為真命題，

故選：D

5.A

【分析】由題意估算出可用的年限，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式求解即可.

【詳解】由題意大約能用一二二萬年，

3×10"×104

,441

ljlij?g??θ?.=441ig2-lg3-15≈441×0.3-0.5-15≈117,

故選：A.

6.C

【詳解】函數(shù)/(X)=優(yōu)為增函數(shù),則4>1,此時(shí)α-l>O,故函數(shù)g(x)=x"T在(0,+8)上單調(diào)

遞增;當(dāng)g(x)=x"τ在(O,+e)上單調(diào)遞增吐，α-l>O,所以α>l,故/(x)=αA為增函數(shù).

故選：C

7.D

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.

【詳解】對(duì)于A,y=∕(x)+g(x)-J=χ2+sinχ,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不

符，排除A；

對(duì)于B,y=∕(x)-g(χ)-1=f-Sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；

對(duì)于C,y=/(x)g(x)=1χ2+；卜nx,則y=2xsinx+卜?}OSx,

當(dāng)X=f時(shí)，y'=gχ坐+11+!∣χ*>°，與圖象不符，排除c?

422(164)2

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，求出棱長(zhǎng)，即可判斷.

【詳解】由三視圖可得幾何體的直觀圖如下所示：

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

S

其中*=4,AB=3,AC=5,且SAL平面A8C,ABlAC,

所以5C=Jλβ2+Ac2=用,SC=JSA2+3=弧,SB≈√SA2+AB2=5-

所以三棱錐中最長(zhǎng)棱為SC=歷.

故選：C

9.C

【解析】由/(X)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求”，代入即可求解不等式.

2"

【詳解】解：???/(x)=T■是奇函數(shù)，

v72x-a

??/(-?)=-/(?),

R2"+12Λ÷1?Λ.r∏—-Z1+2'1+2Λ

即nF—=----整理可χ得-l-θ--------

2—aa—2,1—6f,2〃一21

1—6f,2'-U—2Λ,.?.α=1,

2x+1

???/(X)=

2r-l

2Λ+1

fM=>3,

2x-l

2v+lC4-2?2Λ

3=>0,

2Λ-1---------2Λ-1

2v-9

整理可得^―-<0,

2v-l

.?.1<2Λ<2,解可得0V%<1?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求參數(shù)，考查指數(shù)相關(guān)的不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為/(x)=-，+g,然后分析函數(shù)/(x)的值

域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定y=[∕(χ)]的值域.

【詳解】/(χ)=ι!---=-,

“八j+122√+l

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

二—5<∕(x)<0,0,J(X)<5,

.?.[∕(x)]=-l或O,

???y="(χ)]的值域?yàn)閧τ,0}.

故選：B.

11.C

【分析】由方程尸(X)-時(shí)(力+機(jī)-1=0可解得/(x)=l或〃x)=/n-1,從而可得方程

f(x)=〃2-l有3個(gè)不是T的根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得

答案.

【詳解1解方程∕2(%)-時(shí)(X)+機(jī)-1=0得=1或/(X)=W-1；

當(dāng)XNo時(shí)，/(x)=4,∕,(x)=?,

ee

故/(χ)在((U)上單調(diào)遞增，在―)上單調(diào)遞減；

/(0)=0,/(1)??,且x>0時(shí)，/(X)>O,所以O(shè)≤f(x)≤',

ee

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=r,在(-8,0)上是減函數(shù)，且/(x)>0;

若/(x)=l,可知x<0,從而“X)=—χ=l,解得χ=-l,

故方程/(x)=僅一1有3個(gè)不是T的根.

作出/(x)的大致圖象，

若使方程〃X)=W-I有3個(gè)不是T的根，即f(χ)的圖象與直線y=,"-l有3個(gè)交點(diǎn)，且交

點(diǎn)橫坐標(biāo)不為T,

由圖可知0<機(jī)T<!,即1<"7<1+L

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

故選：C.

12.B

【分析】觀察4個(gè)數(shù)易得均與Ol有關(guān),故考慮α(x)=ln(x+l),?(x)=et-l,c(x)=tanx,

4

d(x)==X在X=O.1時(shí)的大小關(guān)系，故利用作差法，分別構(gòu)造相減的函數(shù)判斷單調(diào)性以及與

π

0的大小關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)α(x)=ln(x+l),?(x)=ex-l,C(X)=tanx,d^x)=-x,易得

?(O)=Z?(O)=c?(0)=J(O).

設(shè)y=d(x)-/(X)=3x-e*+l,則令V=3-e*=0有X=In3，故y="(x)-b(x)在

7ΓTITI

-8,Inq)上單調(diào)遞增.

故即

①因?yàn)?gt;e即>e,IoInB>1,

ln3>0.1,故d(0.1)-6(0.1)>d(0)-b(0)=0,即4>人

TC

cA2

②設(shè)y=b(x)—C(X)=e"-l—tanx,貝IJy=e'----1=∞s??-l?/(x)=ecosx-l,

COs'xcosx

則∕,(τ)=ex(cos2x-2sinx)=eA(-sin2x—2SinX+1).

設(shè)g(x)=x-sinx,貝∣Jg'(X)=I—COSX≥0,故g(x)=x-sinx為增函數(shù)，故g(x)≥g(θ)=θ,

BR?≥sin%.

i?∕,(x)≥er(-x2-2x+l)=el[-(x+l)2+2],當(dāng)xe[0,0.1]時(shí)/KX)>0,/(x)=e'cos2x-l

為增函數(shù)，?∕(x)≥e0cos20-1=0,故當(dāng)Xe[0,0可時(shí)y=b(x)—c(x)為增函數(shù)，故

b(O.l)—C(O.l)>6(0)-C(O)=0,故b>c.

??X+SirI-X

≡y=φ)-φ)=tanx-ln(x÷l),"嬴=G旬c1√P易得當(dāng)時(shí)

y>0,?c(0.1)-a(0.1)>c(0)-α(0)=0,即c>α.

綜上”>b>c>a

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)大小的問題，需要根據(jù)題中所給

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

的信息判斷出需要構(gòu)造的函數(shù)，再求導(dǎo)適當(dāng)放縮分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)值的大小

即可.屬于難題.

13.I

【分析】根據(jù)基函數(shù)的概念以及幕函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)累函數(shù)的定義可得/+m-l=l,解得a=-2或〃?=1,

當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，y=k在(O,+/)上單調(diào)遞減，不合題意；

當(dāng)m=l時(shí)，y=f在(O,+∞)上單調(diào)遞增，符合題意.

故答案為：1?

一256

14.π

3

【分析】首先由已知求得圓錐底面半徑，再設(shè)球的半徑為凡根據(jù)圓錐的幾何特征及球的性

質(zhì)列出關(guān)于R的方程，解出R,則球的體積可求.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為一，圓錐的高為〃，

因?yàn)閳A錐的高為2,體積為8π,所以gπr%=8π,即gπx∕x2=8τt,解得r=2√L

當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心。的兩側(cè)時(shí)，如圖，

圓錐Sol的底面半徑O∣A=2百，高5?=2,設(shè)球。的半徑為R,

則(2—R)?+(2√5)2=Rt解得R=4,與R<2不符，故此種情況舍去,

當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球。的同側(cè)時(shí)，如圖，

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

圓錐Sa的底面半徑o∣A=2百，高Sa=2,

設(shè)球。的半徑為R，貝IJ(R-2)2+(26)2=片，解得R=4,符合題意.

綜上，此球的半徑為4,球的體積為Y=告兀內(nèi)=孚兀.

33

,^,256

故4a答λ案為δ：~~^~π.

15.(-∞,2e]

【分析】構(gòu)造函數(shù)f=τ+lnx,"x)Wl等價(jià)于αe'+Yl,再構(gòu)造函數(shù)g(f)=?，利用函

數(shù)單調(diào)性求出最小值，即可求出。的值.

1_I1

【詳解】f(x)Wl等價(jià)于祀/用+(—x+hu)≤l,令ι=r+lnr,則/=T+：=Hr2.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，/>0,r=-x+Inx單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(l,+∞)時(shí)，0,∕=-x+Inx單調(diào)遞減.

所以％≤—1.

故"x)<l轉(zhuǎn)化為"e'+t≤l,即"≤∕恒成立.

令g(t)=?1,YT，則g'(0=YT)=T<0,貝ιjg(∕)zg(τ)=lφll=2e,

因?yàn)棣痢芎旰愠闪?，所以α≤g(f)min=g(-l)=2e.

故α的取值范圍為(e,2e].

故答案為：(9Ze].

16.(1)@

【分析】結(jié)合已知條件和f(χ+l)是奇函數(shù)求出函數(shù)/(χ)的周期，然后利用周期和已知條件

得出“X)為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A;根據(jù)函數(shù)/(x+l)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項(xiàng)

B；根據(jù)的性質(zhì)分析可得〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,再根據(jù)〃x)的周期性即可判

斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)g(x)的周期即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】因?yàn)?(x)+g(x-3)=2,所以〃x+3)+g(x)=2,

又因?yàn)椤發(fā)-χ)+g(χ)=2,則有f(x+3)=f(l-x),

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

且/(x+l)是奇函數(shù),則/(x+l)=-∕(l-x),可得/(x+3)=-∕(x+l),即"x+2)=-∕(x),

貝IJy(X+4)=-，(x+2)=M=/(x),

即/(x+4)="x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),

因?yàn)镴(X+3)+g(x)=2,則g(x)=2-f(x+3),

可得g(x+4)=2-∕(x+4+3)=2-∕(x+3)=g(x),

故g(x)也是周期為4的周期函數(shù).

對(duì)于①：因?yàn)镼(χ+l)f(I-χ),則/(x+2)=-y(τ),即一/(x)=-4-x),

所以/(r)=∕(x),所以f(x)為偶函數(shù).故①正確；

對(duì)于②：：g(x)+g(τ)=[2-∕(x+3)]+[2-"τ+3)]=4-Iy(X+3)+"τ+3)]

=4-[∕(X-1)+∕(-X-1)]=4-[∕(1-X)+∕(X+1)]=4≠0,

Λg(x)≠-g(-x),故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：因?yàn)?(x+l)=-∕(l-x),令X=0,即/(1)=-/(1),則/(1)=0,

又因?yàn)?(x+2)=-∕(x),令χ=l,所以"3)=-"l)=0,

令x=2,則/(4)=?√(2),即42)+/(4)=0,

即"1)+J⑵+J⑶+f(4)=0,

20

所以Sy(Z)=50⑴+/(2)+α3)+∕(4)]=0,所以③錯(cuò)誤；

*=1

對(duì)于④：因?yàn)間(x)=2-∕(x+3),

所以g(l)+g⑵+g(3)+g⑷=[2-/(4)]+[2-〃5)]+[2-/(6)]+[2-∕(7)]

=8-卜0)+/⑵+α3)+八4)]=8,

20

所以∑>(%)=5[g⑴+g⑵+g(3)+g(4)]=40,所以④正確.

Jt=I

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱

性,在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系,推證函數(shù)的性質(zhì)，

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

17.⑴,

10

(2)5

【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可;

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出SinC,然后利用正弦定理求解即可.

【詳解】(I)因?yàn)?+/-C?=3,

222ab

所以由余弦定理得a+h-c51.

cosC=---------------=------=—

2ab2ab10

(2)因?yàn)镃oSC=Ce(0,π),所以SinC=Jl-([J=得

c=3√∏=

設(shè).ABC外接圓的半徑為R,由正弦定理得碇一菊T一

-κΓ

解得R=5,即ΛBC外接圓的半徑為5.

18.(l)π

6

(2)(------,+8)

2

【分析】(1)利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)的解析式，從而求得了(x)的最小正周期.

(2)利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得g(x),根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得。的取值范圍.

【詳解】(1)/(x)=2?∣2cosxsin(x÷?)=2V∑cosχ(~~s?n?+-?∞sx)

=2cosxsinx+2cos2x=sin2x+cos2x+l=y∣2sin(2x+3+1,

4

所以/(X)的最小正周期r=T2ττ=jt?

(2)由題意可得：

p(x)=>∣2sin(2(x+—)+—)+1-1=?J1sin(2x+—)=?j2cos2x

842

、1,TtTt,_71271

當(dāng)XeI-E時(shí)，2x∈[--,-],

O333

所以當(dāng)2x=g,即X=T時(shí)，go)*=g(1)=&x(-g)=-*，

??322

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

若存在xe[-^，勺，使得g(x)<α成立，只需g(x)mM<明

63

所以日，即實(shí)數(shù)”的取值范圍為(_*,+O0).

19.(DX-y+2=0

⑵單調(diào)遞增區(qū)間為°*)和售兀π5π

;單調(diào)遞減區(qū)間為

12,12

【分析】(1)求導(dǎo)，計(jì)算r(o)得到切線斜率，點(diǎn)斜式求切線方程.

(2)求出函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)解得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(I)/(X)=x+f'(O)CoS2x+α(αeR),則1(X)=I-2f'(0)sin2x,得/(0)=l.

由題意f(0)=2,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為y-2=x,即x-y+2=0.

(2)由已知得/(0)=r(0)+a=2.

又由(1)知/(0)=1,所以α=l.

故/(x)=x+cos2x+l.

f,{x}=l-2sin2x,x∈[O,πj,

由r(x)>0,得0≤χ<^∣,或需<χ4π;由/'(x)<0,得=<x<g.

故/O)在[0,兀]上的單調(diào)遞增區(qū)間為0?]?[τf'ππ5π]

;單調(diào)遞減區(qū)間為12,l2j,

20.(1)4+2萬

%

【分析】(I)將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組

成，分別求出后相加即可;

(2)先根據(jù)條件得到BEj_面PAB,通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角

即可

12萬??r

【詳解】(1)上下兩個(gè)扇形的面積之和為：2×→y×l2=^

兩個(gè)矩形面積之和為：4

2TT4乃

側(cè)面圓弧段的面積為：Yx2=Y

2TT4TT

故這個(gè)幾何體的表面積為：y+y+4=4+2^

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

(2)如下圖，將直線AG平移到下底面上為BGl

由ΛPL8E,且3E"L∕U3,APAB=A,可得：BE，面小3

TT

貝IJNPBE=2

2

而G是弧。尸的中點(diǎn)，∣i!∣JZE4G?I

由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線AG與直線3P的夾角等于直線BGl與直線BP的夾角，

TT7ΓTT

即NPBGl為所求，則ZPBG1=W-W=E

236

則直線AG與直線BP的夾角為JTT

21.(1)極小值為6,無極大值

(2)(0,l)u(l,+∞)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解極值即可；

(2)先對(duì)原方程進(jìn)行同構(gòu)變形，將換元后的方程通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷其有唯一零點(diǎn)，從

而將原方程簡(jiǎn)化為方程e=:有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,方程化簡(jiǎn)后兩邊取對(duì)數(shù),再構(gòu)造函數(shù)，

根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=~,/'(x)=e'(x,-D.

XJC

x>O,.,.當(dāng)O<xvl時(shí)，∕,(x)<O；當(dāng)1〉1時(shí)，f?x)>O.

.?.函數(shù)/(幻單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為α+∞).

???/。)的極小值為了⑴=e,無極大值.

(2)x>O,a>0,由方程=x-alnx,得J=IneX-Inf=In三，

eerx

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

令t=—>0,則一=In∕p.

令人。)=Inf-L,則/(r)=l-?l.

ete

，當(dāng)0<r<e時(shí)，∕z,W>0;當(dāng)∕>e時(shí)，h?t)<O.

函數(shù)”(f)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

Me)=O,方程;=Inf有唯一解f=e.

..?方程M=X-Rnx有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程e=號(hào)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

exxa

等價(jià)于方程HnX=X-I有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

構(gòu)造函數(shù)MX)="InX-X+1,貝IJN(X)=@-1.

X

a>0,二當(dāng)0<x<4時(shí)，k?x)>0；當(dāng)x>α?xí)r，k'(x)<0.

函數(shù)A(X)在(0.?)上單調(diào)遞增，在3,E)上單調(diào)遞減.

x→0+,%(x)→-∞;χ→+∞,k(x)→-∞.

二只需要k(α)="lnα-"+l>0,即Ina+工一1>0.

a

構(gòu)造函數(shù)m(α)=lnα+'-1,則/(a)=1--?.

aaa^

.?.當(dāng)OCa<1時(shí)，m,(a)<0；當(dāng)a>l時(shí)，m,(a)>0.

???函數(shù)機(jī)(“)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

∕M(1)=0,，當(dāng)aκl時(shí)，Ina+1-1>0恒成立.

a

的取值范圍為(0,1)51,+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根問題：

(1)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可

用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；

(2)方程的有解