求不定積分的幾種基本方法

關(guān)于求不定積分的幾種基本方法

一般地，如果是的一個(gè)原函數(shù)，則而如果又是另一個(gè)變量的函數(shù)且可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有由此得第2頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

是具有原函數(shù)于是有如下定理：定理1

設(shè)可導(dǎo)，則有換元公式（5-2）由此可見(jiàn)，一般地，如果積分不能直接利用利用基本積分公式計(jì)算，而其被積表達(dá)式能表示為的形式，且較易計(jì)算，那么可令第3頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天代入后有這樣就得到了的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.由于在積分過(guò)程中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個(gè)積分因子因此第一類換元法也稱為湊微分法.例2

求解

第4頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

再以代入，即得例3

求解

被積函數(shù)可看成與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，雖沒(méi)有這個(gè)因子，但我們可以湊出這個(gè)因子：，

如果令便有第5頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

，

一般地，對(duì)于積分總可以作變量代換，把它化為第6頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天，

例4

求解令則第7頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

，

例5

求解

令,則,有湊微分與換元的目的是為了便于利用基本積分公式．在比較熟悉換元法后就可以略去設(shè)中間變量和換元的步驟．第8頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7

求

例6

求解

解

第9頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天解

例8

求第10頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例9

求解

類似地可得第11頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10

求解

第12頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例11

求解

類似地可得第13頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天類似地可得例12

求解

例13

求解

第14頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一類換元法有如下幾種常見(jiàn)的湊微分形式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)第15頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、

第二類換元法

第一類換元法是通過(guò)變量代換，將積分化為積分．第二類換元法是通過(guò)變量代換，將積分化為積分在求出后一個(gè)積分后,再以反函數(shù)代回去,這樣換元積分公式可表示為:上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊的不定積分要存在，即被積函數(shù)的第16頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天有原函數(shù)；其次,的反函數(shù)要存在.我們有下面的定理．定理2

設(shè)函數(shù)連續(xù),單調(diào)、可導(dǎo)，并且，則有換元公式(5-3)下面舉例說(shuō)明公式(5-3)的應(yīng)用．第17頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例14

求解遇到根式中是一次多項(xiàng)式時(shí)，可先通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元將被積函數(shù)有理化，然后再積分．令,則，故第18頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例15

求解令，則,則有例16

求解為使被積函數(shù)有理化．利用三角公式令則它是的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，具有反函數(shù),且第19頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天因而例17

求解令則于是第20頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中例18

求解

被積函數(shù)的定義域?yàn)?令，這時(shí)故第21頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中,當(dāng)時(shí),可令類似地可得到相同形式的結(jié)果．以上三例中所作的變換均利用了三角恒等式，稱之為三角代換，可將將被積函數(shù)中的無(wú)理因式化為三角函數(shù)的有理因式．一般地，若被積函數(shù)中含有時(shí)，可作代換或；含有時(shí)，可作代換；含有時(shí)，可作代換第22頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天利用第二類換元法求不定積分時(shí)，還經(jīng)常用到倒代換即等．例19

求解

令,則因此當(dāng)時(shí)，,有第23頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，有綜合起來(lái)，得在本節(jié)的例題中，有幾個(gè)積分結(jié)果是以后經(jīng)常會(huì)遇到的．所以它們通常也被當(dāng)作公式使用．這樣,常用的積分公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(gè)(其中常數(shù)a＞0).第24頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)第25頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天(21)例20

求解

利用公式(18)，可得第26頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例21

求解

利用公式(21)，可得第27頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天三分部積分法

.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出一、分部積分公式的推導(dǎo)思考：諸如此類的不定積分，用換元積分法都不能求解．特點(diǎn)：被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積.需要用到求不定積分的另一種基本方法――分部積分法．設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．那么，移項(xiàng)，得第28頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得（5-4）公式（5-4）稱為分部積分公式.如果積分不易求,而積分比較容易時(shí),分部積分公式就可用了.為簡(jiǎn)便起見(jiàn),也可把公式（5-4）寫(xiě)成下面的形式:（5-5）現(xiàn)在通過(guò)例子說(shuō)明如何運(yùn)用這個(gè)重要公式.第29頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例22

求解由于被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積,選其中一那么另一個(gè)即為如果選擇則個(gè)為得如果選擇則得第30頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天上式右端的積分比原積分更不容易求出．由此可見(jiàn)，如果和選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果．所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取和是關(guān)鍵，一般以比易求出為原則．例23

求解

第31頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例24

求解

由上面的三個(gè)例子知道，如果被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為經(jīng)過(guò)一次積分，就可以使冪函數(shù)的次數(shù)降低一次．例25

求解

第32頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例26

求解

第33頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例27

求解

總結(jié)上面四個(gè)例子可以知道,如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并選擇反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為一般地,如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積,在多數(shù)情況下,可按下列順序:反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，將排在前面的那類函數(shù)選作，后面的那類函